第7講一元二次方程及其應(yīng)用1定義 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x2bxc0，其中a、b、c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)2解法(1)直接開平方法：方程符合x2m(m0)或(x±m)2n(n0)的形式；(2)配方法：二次項(xiàng)系數(shù)化為1；移項(xiàng)；配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；原方程寫成a(xh)2k的形式；當(dāng)k0時，直接開平方求解；(3)公式法：化為一般形式；確定a，b，c的值；求出b24ac的值；當(dāng)b24ac0時，將a，b，c的值代入得x；(4)因式分解法：將方程右邊化為0；將方程左邊進(jìn)行因式分解；令每個因式為零，得兩個一元一次方程；解這兩個一元一次方程，得原方程的兩個根3一元二次方程的根的判別式 對于一元二次方程ax2bxc0(a0)，其根的判別式為b24ac(或記為“”) (1)b24ac0方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； (2)b24ac0方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根； (3)b24ac0方程沒有實(shí)數(shù)根； (4)b24ac0方程有實(shí)數(shù)根4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩根分別為x1，x2，則有x1x2，x1x25一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用常見類型及關(guān)系(1)增長率問題：設(shè)a為原來量，m為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量，則a(1m)nb；當(dāng)m為平均下降率時，n為下降次數(shù)，b為下降后的量，則有a(1m)nb.(2)幾何圖形問題：面積問題：S長方形ab(a，b分別表示長和寬)；S正方形a2(a表示邊長)；S圓r2(r表示圓的半徑)；體積問題：V長方體abh(a、b、h分別表示長、寬、高)；V正方體a3(a表示邊長)；V圓錐r2h(r表示底面圓的半徑，h表示高)；考點(diǎn)1：一元二次方程的解法【例題1】嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式時，對于b24ac0的情況，她是這樣做的：由于a0，方程ax2bxc0變形為：x2x，第一步x2x()2()2，第二步(x)2，第三步x(b24ac0)，第四步x.第五步(1)嘉淇的解法從第四步開始出現(xiàn)錯誤；事實(shí)上，當(dāng)b24ac0時，方程ax2bxc0(a0)的求根公式是x；(2)用配方法解方程：x22x240.解：x22x24，x22x1241，(x1)225，x1±5，x1±5，x14，x26.歸納：一元二次方程有四種解法：因式分解法、直接開平方法、配方法和公式法(1)若一元二次方程缺少常數(shù)項(xiàng)，且方程的右邊為0，可考慮用因式分解法求解；(2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次項(xiàng)，可考慮用因式分解法或直接開平方法求解；(3)若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)時或常數(shù)項(xiàng)非常大時，可考慮用配方法求解；(4)若用以上三種方法都不容易求解時，可考慮用公式法求解考點(diǎn)2：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【例題2】(2019湖北宜昌10分)HW公司2018年使用自主研發(fā)生產(chǎn)的“QL”系列甲、乙、丙三類芯片共2800萬塊，生產(chǎn)了2800萬部手機(jī)，其中乙類芯片的產(chǎn)量是甲類芯片的2倍，丙類芯片的產(chǎn)量比甲、乙兩類芯片產(chǎn)量的和還多400萬塊這些“QL”芯片解決了該公司2018年生產(chǎn)的全部手機(jī)所需芯片的10%(1)求2018年甲類芯片的產(chǎn)量；(2)HW公司計劃2020年生產(chǎn)的手機(jī)全部使用自主研發(fā)的“QL”系列芯片從2019年起逐年擴(kuò)大“QL”芯片的產(chǎn)量，2019年、2020年這兩年，甲類芯片每年的產(chǎn)量都比前一年增長一個相同的百分?jǐn)?shù)m%，乙類芯片的產(chǎn)量平均每年增長的百分?jǐn)?shù)比m%小1，丙類芯片的產(chǎn)量每年按相同的數(shù)量遞增.2018年到2020年，丙類芯片三年的總產(chǎn)量達(dá)到1.44億塊這樣，2020年的HW公司的手機(jī)產(chǎn)量比2018年全年的手機(jī)產(chǎn)量多10%，求丙類芯片2020年的產(chǎn)量及m的值【考點(diǎn)】一元二次方程應(yīng)用題【分析】(1)設(shè)2018年甲類芯片的產(chǎn)量為x萬塊，由題意列出方程，解方程即可；(2)2018年萬塊丙類芯片的產(chǎn)量為3x+4001600萬塊，設(shè)丙類芯片的產(chǎn)量每年增加的熟練為y萬塊，則1600+1600+y+1600+2y14400，解得：y3200，得出丙類芯片2020年的產(chǎn)量為1600+2×32008000萬塊，2018年HW公司手機(jī)產(chǎn)量為2800÷10%28000萬部，由題意得出400(1+m%)2+2×400(1+m%1)2+800028000×(1+10%)，設(shè)m%t，化簡得：3t2+2t560，解得：t4，或t（舍去），即可得出答案【解答】解：(1)設(shè)2018年甲類芯片的產(chǎn)量為x萬塊，由題意得：x+2x+（x+2x）+4002800，解得：x400，答：2018年甲類芯片的產(chǎn)量為400萬塊；(2)2018年萬塊丙類芯片的產(chǎn)量為3x+4001600萬塊，設(shè)丙類芯片的產(chǎn)量每年增加的數(shù)量為y萬塊，則1600+1600+y+1600+2y14400，解得：y3200，丙類芯片2020年的產(chǎn)量為1600+2×32008000萬塊，2018年HW公司手機(jī)產(chǎn)量為2800÷10%28000萬部，400(1+m%)2+2×400(1+m%1)2+800028000×(1+10%)，設(shè)m%t，化簡得：3t2+2t560，解得：t4，或t（舍去），t4，m%4，m400；答：丙類芯片2020年的產(chǎn)量為8000萬塊，m400歸納：利用一元二次方程解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)題干尋找等量關(guān)系，從而建立方程；解方程時要注意檢驗(yàn)方程的根是否符合實(shí)際意義考點(diǎn)3： 一元二次方程與其它問題的綜合應(yīng)用【例題3】（2018重慶）在美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，某縣政府投入專項(xiàng)資金，用于鄉(xiāng)村沼氣池和垃圾集中處理點(diǎn)建設(shè)該縣政府計劃：2018年前5個月，新建沼氣池和垃圾集中處理點(diǎn)共計50個，且沼氣池的個數(shù)不低于垃圾集中處理點(diǎn)個數(shù)的4倍（1）按計劃，2018年前5個月至少要修建多少個沼氣池？（2）到2018年5月底，該縣按原計劃剛好完成了任務(wù)，共花費(fèi)資金78萬元，且修建的沼氣池個數(shù)恰好是原計劃的最小值據(jù)核算，前5個月，修建每個沼氣池與垃圾集中處理點(diǎn)的平均費(fèi)用之比為1：2為加大美麗鄉(xiāng)村建設(shè)的力度，政府計劃加大投入，今年后7個月，在前5個月花費(fèi)資金的基礎(chǔ)上增加投入10a%，全部用于沼氣池和垃圾集中處理點(diǎn)建設(shè)經(jīng)測算：從今年6月起，修建每個沼氣池與垃圾集中處理點(diǎn)的平均費(fèi)用在2018年前5個月的基礎(chǔ)上分別增加a%，5a%，新建沼氣池與垃圾集中處理點(diǎn)的個數(shù)將會在2018年前5個月的基礎(chǔ)上分別增加5a%，8a%，求a的值【分析】（1）設(shè)2018年前5個月要修建x個沼氣池，則2018年前5個月要修建（50x）個垃圾集中處理點(diǎn)，根據(jù)沼氣池的個數(shù)不低于垃圾集中處理點(diǎn)個數(shù)的4倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)單價=總價÷數(shù)量可求出修建每個沼氣池的平均費(fèi)用，進(jìn)而可求出修建每個垃圾集中點(diǎn)的平均費(fèi)用，設(shè)y=a%結(jié)合總價=單價×數(shù)量即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出y值，進(jìn)而可得出a的值【解答】（1）設(shè)2018年前5個月要修建x個沼氣池，則2018年前5個月要修建（50x）個垃圾集中處理點(diǎn)，根據(jù)題意得：x4（50x），解得：x40答：按計劃，2018年前5個月至少要修建40個沼氣池（2）修建每個沼氣池的平均費(fèi)用為78÷40+（5040）×2=1.3（萬元），修建每個垃圾處理點(diǎn)的平均費(fèi)用為1.3×2=2.6（萬元）根據(jù)題意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），設(shè)y=a%，整理得：50y25y=0，解得：y1=0（不合題意，舍去），y2=0.1，a的值為10一、選擇題：1. （2018臨沂）一元二次方程y2y=0配方后可化為（）A（y+）2=1B（y）2=1C（y+）2=D（y）2=【答案】B【解答】y2y=0y2y=y2y+=1（y）2=1故選：B2. （2019湖南懷化4分）一元二次方程x2+2x+10的解是（）Ax11，x21Bx1x21Cx1x21Dx11，x22【答案】C【解答】解：x2+2x+10，（x+1）20，則x+10，解得x1x21，故選：C3. （2019河北省2分）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c0（a0）時，只抄對了a1，b4，解出其中一個根是x1他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2則原方程的根的情況是（）A不存在實(shí)數(shù)根B有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C有一個根是x1D有兩個相等的實(shí)數(shù)根【答案】A 【解答】解：小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c0（a0）時，只抄對了a1，b4，解出其中一個根是x1，（1）24+c0，解得：c3，故原方程中c5，則b24ac164×1×540，則原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根4. 2019山東省聊城市3分）若關(guān)于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）Ak0B k0且k2CkDk且k2【答案】D【解答】解：（k2）x22kx+k60，關(guān)于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有實(shí)數(shù)根，解得：k且k2故選：D5. （2018嘉興）歐幾里得的原本記載，形如x2+ax=b2的方程的圖解法是：畫RtABC，使ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜邊AB上截取BD=則該方程的一個正根是（）AAC的長BAD的長CBC的長DCD的長【答案】B【解答】歐幾里得的原本記載，形如x2+ax=b2的方程的圖解法是：畫RtABC，使ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜邊AB上截取BD=，設(shè)AD=x，根據(jù)勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，則該方程的一個正根是AD的長，故選：B二、填空題：6. （2018年四川省南充市）若2n（n0）是關(guān)于x的方程x22mx+2n=0的根，則mn的值為【答案】【解答】解：2n（n0）是關(guān)于x的方程x22mx+2n=0的根，4n24mn+2n=0，4n4m+2=0，mn=故答案是：7. （2018黃岡）一個三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程x210x+21=0的根，則三角形的周長為 【答案】16【解答】解：解方程x210x+21=0得x1=3、x2=7，3第三邊的邊長9，第三邊的邊長為7這個三角形的周長是3+6+7=16故答案為：168.（2018年四川省內(nèi)江市）已知關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，則方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根之和為1【答案】1【解答】解：設(shè)x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根分別是x3，x4，at2+bt+1=0，由題意可知：t1=1，t2=2，t1+t2=3，x3+x4+2=3故答案為：19. （2018黔南州）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x26x+8=0的解，則此三角形周長是 【答案】13【解答】x26x+8=0，（x2）（x4）=0，x2=0，x4=0，x1=2，x2=4，當(dāng)x=2時，2+36，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，所以x=2舍去，當(dāng)x=4時，符合三角形的三邊關(guān)系定理，三角形的周長是3+6+4=13，故答案為：13三、解答題：10. 解方程：x212(x1)【解答】解：方法一(因式分解法)：(x1)(x1)2(x1)，(x1)(x3)0.x10或x30.x11，x23.方法二(配方法)：整理，得x22x3.配方，得(x1)24.兩邊開平方，得x1±2.解得x11，x23.方法三(公式法)：整理成一般形式為x22x30.a1，b2，c3，(2)24×1×(3)16>0.x1±2.x11，x23.11. 已知，一個矩形周長為56厘米(1)當(dāng)矩形面積為180平方厘米時，長、寬分別為多少？(2)能圍成面積為200平方厘米的矩形嗎？請說明理由【分析】(1)設(shè)矩形的一邊長為未知數(shù)，用周長公式表示出另一邊長，根據(jù)矩形的面積公式列出相應(yīng)方程求解即可；(2)同樣列出方程，若方程有解則可，否則就不可以【解答】解：(1)設(shè)矩形的長為x厘米，則另一邊長為(28x)厘米，依題意，得x(28x)180.解得x110(舍去)，x218.則28x281810.答：長為18厘米，寬為10厘米(2)不能圍成面積為200平方厘米的矩形理由：設(shè)矩形的長為x厘米，則寬為(28x)厘米，依題意，得x(28x)200，即x228x2000，則b24ac2824×2007848000，原方程無解故不能圍成一個面積為200平方厘米的矩形12. （2019·廣西賀州·8分）2016年，某貧困戶的家庭年人均純收入為2500元，通過政府產(chǎn)業(yè)扶持，發(fā)展了養(yǎng)殖業(yè)后，到2018年，家庭年人均純收入達(dá)到了3600元（1）求該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率；（2）若年平均增長率保持不變，2019年該貧困戶的家庭年人均純收入是否能達(dá)到4200元？【分析】（1）設(shè)該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率為x，根據(jù)該該貧困戶2016年及2018年家庭年人均純收入，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)2019年該貧困戶的家庭年人均純收入2018年該貧困戶的家庭年人均純收入（1+增長率），可求出2019年該貧困戶的家庭年人均純收入，再與4200比較后即可得出結(jié)論【解答】解：（1）設(shè)該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率為x，依題意，得：2500（1+x）23600，解得：x10.220%，x22.2（舍去）答：該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率為20%（2）3600×（1+20%）4320（元），43204200答：2019年該貧困戶的家庭年人均純收入能達(dá)到4200元13. 已知關(guān)于x的方程x2(2m1)xm(m1)0.(1)求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)已知方程的一個根為x0，求代數(shù)式(2m1)2(3m)(3m)7m5的值(要求先化簡，再求值)【解析】：(1)證明：(2m1)24m(m1)10.方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(2)x0是此方程的一個根，把x0代入方程中得到m(m1)0.原式4m24m19m27m53m23m53m(m1)55.14. （2019四川省廣安市10分）已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：無論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根為、，滿足，求的值；（3）若的斜邊為5，另外兩條邊的長恰好是方程的兩個根、，求的內(nèi)切圓半徑.【解析】 （1）證明：， 無論為任何實(shí)數(shù)時，此方程總有兩個實(shí)數(shù)根. （2）由題意得：， ，即，解得：； （3）解方程得：， 根據(jù)題意得：，即， 設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，如圖，由切線長定理可得：，直角三角形的內(nèi)切圓半徑=；15. (2018·張家口一模)已知n邊形的對角線共有條(n是不小于3的整數(shù))；(1)五邊形的對角線共有5條；(2)若n邊形的對角線共有35條，求邊數(shù)n；(3)若n邊形的邊數(shù)增加1，對角線總數(shù)增加9，求邊數(shù)n.【解析】：（1）5(2)35，整理，得n23n700.解得n10或n7(舍去)所以邊數(shù)n10.(3)根據(jù)題意，得9.解得n10.所以邊數(shù)n10.16. （2018東營）關(guān)于x的方程2x25xsinA+2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，其中A是銳角三角形ABC的一個內(nèi)角（1）求sinA的值；（2）若關(guān)于y的方程y210y+k24k+29=0的兩個根恰好是ABC的兩邊長，求ABC的周長【分析】（1）利用判別式的意義得到=25sin2A16=0，解得sinA=；（2）利用判別式的意義得到1004（k24k+29）0，則（k2）20，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y(tǒng)1=y2=5，則ABC是等腰三角形，且腰長為5分兩種情況：當(dāng)A是頂角時：如圖，過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D，利用三角形函數(shù)求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到ABC的周長；當(dāng)A是底角時：如圖，過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D，在RtABD中，AB=5，利用三角函數(shù)求出AD得到AC的長，從而得到ABC的周長【解答】（1）根據(jù)題意得=25sin2A16=0，sin2A=，sinA=或 ，A為銳角，sinA=；（2）由題意知，方程y210y+k24k+29=0有兩個實(shí)數(shù)根，則0，1004（k24k+29）0，（k2）20，（k2）20，又（k2）20，k=2，把k=2代入方程，得y210y+25=0，解得y1=y2=5，ABC是等腰三角形，且腰長為5分兩種情況：當(dāng)A是頂角時：如圖，過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D，在RtABD中，AB=AC=5sinA=，AD=3，BD=4DC=2，BC= ABC的周長為10+；當(dāng)A是底角時：如圖，過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D，在RtABD中，AB=5，sinA=，A D=DC=3，AC=6ABC的周長為16，綜合以上討論可知：ABC的周長為10+或16 13