復(fù)變函數(shù)作業(yè)一 一、判斷（對(duì)的用T表示，錯(cuò)的用F表示）1、如果存在，那么在解析。（ F ）2、。（ F ）3、當(dāng)且僅當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù)。（ F ）4、設(shè)在區(qū)域內(nèi)是解析的，如果是實(shí)常數(shù)，那么在整個(gè)內(nèi)是常數(shù)；如果是實(shí)常數(shù)，那么在內(nèi)也是常數(shù)。（ T ）2、 填空1、= ；= 。2、設(shè)是1的次根，則= 0 。3、在映射下，扇形區(qū)域的像區(qū)域?yàn)?。4、若，則= 。三、計(jì)算1、 計(jì)算下列函數(shù)值：1）；2）。1）、解：主值 ,2）、解： 設(shè)3+4i的平方根是x+yi，x、yR，則有 x2-y2=3，且 2xy=4，求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1，故3+4i的平方根是 2+i，或-2-i，故答案為：2+i，或-2-i 2、下列函數(shù)在復(fù)平面上何處可導(dǎo)？何處解析？1）；2）。1）；解：因?yàn)?f(z)=|z| 當(dāng)趨于0-時(shí) f(z)=|-1； 當(dāng)趨于0+時(shí) f(z)=|1； 右極限不等于左極限。所以f(z)=|z|在z=0處不可導(dǎo)，而在除0以外的其他地方都可導(dǎo)且解析。2）。解：僅在直線上可導(dǎo)，在復(fù)平面上處處不解析。3、函數(shù)是否為解析函數(shù)？求出其導(dǎo)數(shù)。解：不是解析函數(shù)，因?yàn)闈M(mǎn)足條件的只有兩個(gè)點(diǎn)，不成區(qū)域4、已知，求。解：5、計(jì)算積分 1）；解：1）； 2）；解：在內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)，所以令，所以3） ；解: 4） 。解： 四、證明：若積分路徑不經(jīng)過(guò)，則。證明：如果積分路徑不經(jīng)過(guò)，且不繞過(guò)， 則由柯西定理得，若積分繞z=轉(zhuǎn) 圈，則積分值為 若繞z = -i轉(zhuǎn) 圈，則積分值為故在一般情況下，積分值為五、證明：設(shè)是的共軛調(diào)和函數(shù)，問(wèn)下列各對(duì)函數(shù)中后者是不是前者的共軛調(diào)和函數(shù)？判斷并給出理由：1）（為常數(shù)）；2）。1）證明：2） 不是 的共軛調(diào)和函數(shù)證明： 因?yàn)樵谀硡^(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)一定是該區(qū)域內(nèi)某解析函數(shù)(可能多值)的實(shí)部或虛部，反之，某區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)其實(shí)部與虛部都是該區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。和不滿(mǎn)足此條件，應(yīng)該是2uv是的共軛調(diào)和函數(shù)。綜上所述，不是 的共軛調(diào)和函數(shù)。復(fù)變函數(shù)作業(yè)二一、判斷1、在z=0收斂，在z=3發(fā)散。（ F）2、在區(qū)域內(nèi)解析，且在區(qū)間（-R，R）取實(shí)數(shù)值的函數(shù)f(z)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù)時(shí)，展開(kāi)式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)。（ T）3、在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)不能展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)。（ F）4、z=0是的本性奇點(diǎn)。（ T）二、填空1、的收斂半徑為 。2、展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑= 。3、z=0是的 3 級(jí)零點(diǎn)。4、以z=a為m級(jí)和n級(jí)極點(diǎn)，則z=a為的 m+n 級(jí) 極 點(diǎn)。三、計(jì)算1、求在處的泰勒展開(kāi)式。解：2、 求解：3、 求在z=1處的泰勒展開(kāi)式。解：當(dāng)z=1時(shí)，此函數(shù)的泰勒展開(kāi)式為：（z-1）3-(z-1)2-3(z-1)4、將在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)。解: 四、若為整函數(shù)，且，則是不高于n 次的多項(xiàng)式。證明：當(dāng)時(shí)，令當(dāng)時(shí)，復(fù)變函數(shù)作業(yè)三一、 判斷題（對(duì)的用“T”表示，錯(cuò)的用“F”表示）1、若在區(qū)域內(nèi)單葉解析，則在內(nèi)。（F）2、線性變換將平面上的圓周變?yōu)閳A周或直線。（T ）3、解析函數(shù)具有保形性。（F）4、函數(shù)在可去奇點(diǎn)處的留數(shù)為0。（ F ）二、 填空題1、方程在單位圓內(nèi)有 6 個(gè)根。2、關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 x+(y-1)=1 。3、，則= 4 。4、在點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角為 ，伸縮率為 20 。三、 計(jì)算題1、解：設(shè)f1(z)=1/(z-2)(z-48)(z-50)，f2(z)=1/(z-1)(z-48)(z-50)，f3(z)=1/(z-1)(z-2)(z-50)，則答案為 2if1(1)+f2(2)+f3(48)2、解：3、解： 4、求把平面的單位圓變?yōu)槠矫娴膯挝粓A，并使1成為不動(dòng)點(diǎn)，使變?yōu)闊o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的線性變換。解：依題意得，設(shè) ，因?yàn)?+i關(guān)于單位圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于單位圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是0，5、 求把平面的單位圓 變?yōu)槠矫娴膯挝粓A的線性變換，使。解：設(shè)圓周內(nèi)部一點(diǎn)Z=a()變?yōu)閣=0,點(diǎn)a(a0)關(guān)于單位圓周 對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，應(yīng)該變?yōu)閣=0 關(guān)于單位圓周 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，因此所求變換具有形式為： 其中 為常數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，故取z=1，對(duì)應(yīng)點(diǎn)w滿(mǎn)足 因此令 從而所求的變換為