專題09 圓必考點(diǎn)1 圓的有關(guān)性質(zhì) 在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫圓，固定的端點(diǎn)O叫圓心，線段OA叫半徑。 由圓的意義可知： 圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離等于定長的點(diǎn)都在圓上。 就是說：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，圓的內(nèi)部可以看作是到圓。心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合。 圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合。連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧。 圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫半圓，大于半圓的弧叫優(yōu)??；小于半圓的弧叫劣弧。由弦及其所對的弧組成的圓形叫弓形。 圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫同心圓。 能夠重合的兩個圓叫等圓。 同圓或等圓的半徑相等。 在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。 推理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對兩條弧。 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一個條弧。 推理2：圓兩條平行弦所夾的弧相等。 圓周角定理： 推理1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。 推理2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。 推理3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所以添加輔助線往往是添加能構(gòu)成直徑上的圓周角的輔助線。【典例1】（2019·山東中考真題）如圖，為的直徑，為上兩點(diǎn)，若，則的大小為（）A60°B50°C40°D20°【答案】B【解析】解：連接，為的直徑，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓弧的性質(zhì)，同弧的圓周角相等,這是考試的重點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握.【舉一反三】1. （2019·黑龍江中考真題）如圖，.分別與相切于.兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接.，若，則的度數(shù)為（ ）.A；B；C；D.【答案】D【解析】解：連接.，.分別與相切于.兩點(diǎn)，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)及圓周角定理，靈活應(yīng)用切線性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.2（2019·山東中考真題）如圖，是的直徑，是上的兩點(diǎn)，且平分，分別與，相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不一定成立的是（）ABCD【答案】C【解析】是的直徑，平分，選項(xiàng)A成立；，選項(xiàng)B成立；，選項(xiàng)D成立；和中，沒有相等的邊，與不全等，選項(xiàng)C不成立，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌圓周角定理和垂徑定理3（2019·吉林中考真題）如圖，在中，所對的圓周角，若為上一點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）A30°B45°C55°D60°【答案】B【解析】解：ACB=50°，AOB=2ACB=100°，AOP=55°，POB=45°，故選：B【點(diǎn)睛】本題是圓的一個計(jì)算題，主要考查了在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍必考點(diǎn)2 直線和圓的位置關(guān)系 1、直線和圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相交，這時直線叫圓的割線 直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切，這時直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。 直線和圓沒有公共點(diǎn)時，叫直線和圓相離。 2、若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則： 直線和圓相交dr；直線和圓相切dr；直線和圓相離dr；直線和圓相交dr 3、切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 4、切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑推理1：經(jīng)過圓心且垂直干切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推理2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。【典例2】（2019·浙江中考真題）如圖，已知O上三點(diǎn)A，B，C，半徑OC=1，ABC=30°，切線PA交OC延長線于點(diǎn)P，則PA的長為（ ）A2B CD【答案】B【解析】連接OA，ABC=30°，AOC=60°，PA是圓的切線，PAO=90°，tanAOC =,PA= tan60°×1=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的知識，根據(jù)圓周角定理可求出AOC=60°是解答本題的關(guān)鍵.【舉一反三】1.（2019·河南中考模擬）如圖，PA，PB分別與O相切于A，B兩點(diǎn)，若C65°，則P的度數(shù)為( )A65°B130°C50°D100°【答案】C【解析】PA、PB是O的切線，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90°，又AOB=2C=130°，則P=360°（90°+90°+130°）=50°故選C考點(diǎn)：切線的性質(zhì)2（2019·江蘇中考真題）如圖，為的切線，切點(diǎn)為，連接，與交于點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為( )ABCD【答案】D【解析】切線性質(zhì)得到故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等，掌握基礎(chǔ)定義是解題關(guān)鍵3（2019·廣西中考真題）如圖，在中，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（ ）A5B6C7D8【答案】B【解析】如圖，設(shè)O與AC相切于點(diǎn)D，連接OD，作垂足為P交O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，O與AC相切于點(diǎn)D，MN最小值為，如圖，當(dāng)N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，MN最大值，,MN長的最大值與最小值的和是6故選B【點(diǎn)睛】此題主要考查圓與三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).必考點(diǎn)3 正多邊形和圓 各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。 定理：把圓分成n（n3）等分： （l）依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)按正多邊形； （2）經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個圓的外切正n邊形。 定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓。 正多邊形的外接（或內(nèi)切）圓的圓心叫正多邊形的中心。外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距。 正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，叫正多邊形的中心角。 正n邊形的每個中心角等于 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。 若n為偶數(shù)，則正n邊形又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。 邊數(shù)相同的正多邊形相似，所以周長的比等于邊長的比，面積的比等于邊長平方的比。【典例3】（2019·浙江中考真題）如圖，已知正五邊形內(nèi)接于，連結(jié)，則的度數(shù)是（ ）ABCD【答案】C【解析】五邊形為正五邊形故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形和圓的關(guān)系、多邊形內(nèi)角和等于（n-2）×180°是解題的關(guān)鍵【舉一反三】1（2019·四川中考模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，AB=2，則的長是（）ABC2D【答案】A【解析】連接OA、OB，正方形ABCD內(nèi)接于O，AB=BC=DC=AD，AOB=×360°=90°，在RtAOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，的長為=，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式和正方形的性質(zhì)，求出AOB的度數(shù)和OA的長是解此題的關(guān)鍵2（2019·貴州中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，連接BD則CBD的度數(shù)是（ ）A30°B45°C60°D90°【答案】A【解析】在正六邊形ABCDEF中，BCD120°，BCCD，CBD（180°120°）30°，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵3（2019·山東初三期中）已知圓內(nèi)接正三角形的面積為，則該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是（）ABCD【答案】B【解析】因?yàn)閳A內(nèi)接正三角形的面積為，所以圓的半徑為，所以該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距×sin60°×1，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的圖形的邊心距必考點(diǎn)4 圓中的計(jì)算 圓扇形，弓形的面積 l、圓面積：； 2、扇形面積：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。 在半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形面積S扇形的計(jì)算公式為： 注意：因?yàn)樯刃蔚幕￠L。所以扇形的面積公式又可寫為 （3）弓形的面積 由弦及其所對的弧組成的圓形叫做弓形。 弓形面積可以在計(jì)算扇形面積和三角形面積的基礎(chǔ)上求得。如果弓形的弧是劣弧，則弓形面積等于扇形面積減去三角形面積。若弓形的弧是優(yōu)弧，則弓形面積等于扇形面積加上三角形面積。 3、圓錐的側(cè)面展開圖 圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，圓錐的底面周長等于扇形弧長，計(jì)算側(cè)面積就是計(jì)算扇形面價 半徑是母線長R，圓錐側(cè)面積為S側(cè)面=【典例4】（2019·河北中考模擬）若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為 （ ）A120°B180°C240°D300°【答案】B【解析】設(shè)母線長為R，底面半徑為r，底面周長=2r，底面面積=r2，側(cè)面面積=rR，側(cè)面積是底面積的2倍，2r2=rR，R=2r，設(shè)圓心角為n，有=2r=R，n=180°故選B考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算【舉一反三】1（2019·浙江中考真題）若扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的弧長為（ ）ABCD【答案】C【解析】解：該扇形的弧長.故選C【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算：弧長公式：（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）2（2019·浙江中考真題）如圖，內(nèi)接于圓，若，則弧的長為（ ）ABCD【答案】A【解析】連接OB，OCA=180°-ABC-ACB=180°-65°-70°=45°，BOC=90°，BC=2，OB=OC=2，的長為=，故選A【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，弧長公式，等腰直角三角形的性質(zhì)的等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識3（2019·西藏中考真題）如圖，從一張腰長為，頂角為的等腰三角形鐵皮中剪出一個最大的扇形，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計(jì)損耗），則該圓錐的底面半徑為（）ABCD【答案】A【解析】過作于，弧的長，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長1（2010·山東中考真題）如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)且則的長為（ ）.ABCD【答案】D【解析】連接OA，OCAB，AB=6則AD=3且OA2=OD2+AD2，OA2=16+9，OA =OC=5cmDC =OC-OD=1 cm故選D2（2019·湖北中考真題）如圖，點(diǎn)，均在上，當(dāng)時，的度數(shù)是（ ）ABCD【答案】A【解析】，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半3（2019·陜西中考真題）如圖，AB是O的直徑，EF，EB是O的弦，且EF=EB，EF與AB交于點(diǎn)C，連接OF，若AOF=40°，則F的度數(shù)是（ ）A20°B35°C40°D55°【答案】B【解析】連接FB，則FOB=180°-AOF=180°-40°=140°，F(xiàn)EBFOB=70°，F(xiàn)OBO，OFBOBF=(180°-FOB)÷2=20°，EFEB，EFBEBF=(180°-FEB)÷2=55°，EFOEBF-OFB=55°-20°=35°，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.4（2019·甘肅中考真題）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C、D是圓上兩點(diǎn)，且AOC126°，則CDB（）A54°B64°C27°D37°【答案】C【解析】解：AOC126°，BOC180°AOC54°，CDBBOC27°故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半5（2019·湖北中考真題）如圖，AB為的直徑，BC為的切線，弦ADOC，直線CD交的BA延長線于點(diǎn)E，連接BD下列結(jié)論：CD是的切線；其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A4個B3個C2個D1個【答案】A【解析】解：連結(jié)為的直徑，為的切線，又，在和中，又點(diǎn)在上，是的切線；故正確，垂直平分，即，故正確；為的直徑，為的切線，故正確；，故正確；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵6（2019·廣東中考真題）平面內(nèi)，O的半徑為1，點(diǎn)P到O的距離為2，過點(diǎn)P可作O的切線條數(shù)為（ ）A0條B1條C2條D無數(shù)條【答案】C【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)P到O的距離為2，大于半徑1，所以點(diǎn)P在圓外，所以，過點(diǎn)P可作O的切線有2條；故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的關(guān)系、切線的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.7（2019·湖南中考真題）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長線交圓O于點(diǎn)D，下列結(jié)論不一定成立的是( )APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD【答案】D【解析】PA，PB是O的切線，PAPB，所以A成立；BPDAPD，所以B成立；ABPD，所以C成立；PA，PB是O的切線，ABPD，且ACBC，只有當(dāng)ADPB，BDPA時，AB平分PD，所以D不一定成立，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.8（2019·江蘇初三期末）如圖，在ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，將ABC繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)40°得到ADE，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BD，是圖中陰影部分的面積為（）A6BC3D+【答案】B【解析】解：AB=5，AC=3，BC=4，ABC為直角三角形，由題意得，AED的面積=ABC的面積，由圖形可知，陰影部分的面積=AED的面積+扇形ADB的面積ABC的面積，陰影部分的面積=扇形ADB的面積=，故選B【點(diǎn)睛】考查的是扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，根據(jù)圖形得到陰影部分的面積=扇形ADB的面積是解題的關(guān)鍵9（2019·江蘇中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在O上，BC6，BAC30°，則O的半徑為_【答案】6【解析】解：連接OB,OCBOC2BAC60°，又OBOC，BOC是等邊三角形OBBC6，故答案為6【點(diǎn)睛】本題綜合運(yùn)用圓周角定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì)10（2018·湖北中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在O上，A=40度，C=20度，則B=_度【答案】60【解析】如圖，連接OA，OA=OC，OAC=C=20°，OAB=OAC+BAC=20°+40°=60°，OA=OB，B=OAB=60°，故答案為60【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握圓的半徑相等、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵11（2019·山東中考模擬）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C是O上的一點(diǎn)，若BC=6，AB=10，ODBC于點(diǎn)D，則OD的長為_【答案】4【解析】解：ODBC，BD=CD=BC=3，OB=AB=5，在RtOBD中，OD=4故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及其勾股定理，熟記定理并靈活應(yīng)用是本題的解題關(guān)鍵12（2019·四川中考真題）如圖，是O的內(nèi)接三角形，且AB是O的直徑，點(diǎn)P為O上的動點(diǎn)，且，O的半徑為6，則點(diǎn)P到AC距離的最大值是_【答案】【解析】過O作于M，延長MO交O于P，則此時，點(diǎn)P到AC距離的最大，且點(diǎn)P到AC距離的最大值，O的半徑為6，則點(diǎn)P到AC距離的最大值是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵13（2015·河南中考真題）如圖，在扇形AOB中，AOB=90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CEOA交于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長為半徑作交OB于點(diǎn)D，若OA=2，則陰影部分的面積為 .【答案】.【解析】連接OE、AE，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CEO=30°，EOC=60°，AEO為等邊三角形，S扇形AOE= S陰影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-SCOE）= = =14（2019·貴州中考真題）如圖，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，A100°，則DCE的度數(shù)為_；【答案】100°【解析】四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，DCEA100°，故答案為100°【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，難度不大15（2019·江蘇中考真題）如圖，PA、PB是的切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C、D在O上若P102°，則AC_°【答案】219【解析】解：連接AB，PA、PB是O的切線，PAPB，P102°，PABPBA（180°102°）39°，DABC180°，PADCPABDABC180°39°219°，故答案為：219°【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵16（2019·四川中考真題）如圖，在中，的半徑為2，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線(點(diǎn)為切點(diǎn))，則線段長的最小值為_【答案】【解析】連接是的切線，；，當(dāng)時，線段OP最短，PQ的長最短，在中，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，得到時，線段最短是關(guān)鍵