專題11 相似形必考點(diǎn)1 比例線段1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：bm：n（或） 2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。 說明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長度。 3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如 4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。 5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。 6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。 7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:b=b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。 8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。 9、比例的基本性質(zhì)：如果a：bc：d那么adbc逆命題也成立，即如果adbc，那么a：bc：d 10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。 11、合比性質(zhì)：如果，那么 12等比性質(zhì)：如果，（），那么 說明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡單不易出錯(cuò)。 13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。 說明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)?！镜淅?】（2019·四川中考真題）若，且，則的值是（）A4B2C20D14【答案】A【解析】解：由a：b3：4知，所以所以由得到：，解得所以所以故選：A【點(diǎn)睛】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積若，則【舉一反三】1（2019·安徽初三月考）若，則的值為（）A1BCD【答案】D【解析】，=，故選D2（2019·河南初三期末）已知（a0，b0），下列變形錯(cuò)誤的是（）AB2a=3bCD3a=2b【答案】B【解析】解：由得，3a=2b，A、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；B、由等式性質(zhì)可得2a=3b，錯(cuò)誤；C、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；D、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積3（2019·河南初三期中）已知，則的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】，設(shè)出b=5k，得出a=13k，把a(bǔ)，b的值代入，得，故選D必考點(diǎn)2 平行線分線段成比例 1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。3平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。【典例2】（2019·青海中考真題）如圖，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)已知AB=1，BC=3，DE=1.2，則DF的長為（）ABCD【答案】B【解析】解：，即，故選：【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型【舉一反三】1（2019·四川中考真題）如圖，在中，則的長為（）A6B7C8D9【答案】C【解析】，即，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵在于求出AE2（2019·廣西中考真題）如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，若，則等于（）A5B6C7D8【答案】B【解析】解：， ，即，解得：，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵3.（2019·四川中考真題）如圖，在中，D在AC邊上，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長交BC于E，則（ ）A1：2B1：3C1：4D2：3【答案】B【解析】解：如圖，過O作，交AC于G，O是BD的中點(diǎn)，G是DC的中點(diǎn)又，設(shè)，又，故選：B【點(diǎn)睛】考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識(shí)，難度較大，注意熟練運(yùn)用中位線定理和三角形面積公式必考點(diǎn)3 相似三角形 1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。 說明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。 2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 說明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。 4、三角形相似的判定定理： （1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似?？珊唵握f成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 （2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡單說成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。 （3）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡單說成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 說明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來判定兩個(gè)三角形的相似。 第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。 5、相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 （2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長的比等于相似比。 說明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。 （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 說明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。【典例3】（2019·山東中考真題）如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，且若的面積為，則的面積為（）ABCD【答案】C【解析】【詳解】，即，解得，的面積為，的面積為：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì).【舉一反三】1（2019·四川中考真題）如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）ABCD【答案】B【解析】解：因?yàn)橹杏幸粋€(gè)角是135°，選項(xiàng)中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型2（2019·四川中考真題）如圖ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長AD至E，使，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則（ ）A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【解析】解：設(shè)，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，表示出CF是解本題的關(guān)鍵3（2019·海南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交BC于點(diǎn)Q，D為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)BD平分時(shí)，AP的長度為（）ABCD【答案】B【解析】解：，又，即，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵1（2019·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，分別是邊上的點(diǎn)，若，則的長是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】解：，即，解得， ，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查分線段成比例定理，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵2（2019·太原市志達(dá)中學(xué)校初三月考）若，則的值為（ ）A2BCD9【答案】C【解析】設(shè)，則a=2k，b=3k，c=4k，原式，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡便3（2019·廣西中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，若，則線段的長為（）ABCD5【答案】C【解析】解：設(shè)，設(shè)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型.4（2019·廣西中考真題）如圖，EF與AC交于點(diǎn)G，則是相似三角形共有（ ）A3對(duì)B5對(duì)C6對(duì)D8對(duì)【答案】C圖中三角形有：，共有6個(gè)組合分別為：，故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理.5（2019·黑龍江中考真題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是（ ）.ABCD【答案】D【解析】解：在中，易證四邊形為平行四邊形易證，A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用兩者性質(zhì)確定線段比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6（2019·湖北中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，8），B（10，2），若以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A（5，1）B（4，3）C（3，4）D（1，5）【答案】C【解析】以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，端點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半，又A（6，8），端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）故選C點(diǎn)睛：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵7（2019·遼寧中考真題）如圖，點(diǎn)P（8，6）在ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將ABC縮小到原來的，得到ABC，點(diǎn)P在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的的坐標(biāo)為（）A（4，3）B（3，4）C（5，3）D（4，4）【答案】A【解析】點(diǎn)P（8，6）在ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將ABC縮小到原來的，得到ABC，點(diǎn)P在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的的坐標(biāo)為：（4，3）故選：A【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵8（2019·西藏中考真題）如圖，在中，分別為邊上的中點(diǎn)，則與的面積之比是（）ABCD【答案】A【解析】由題意可知：是的中位線，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型9（2019·河南初三期中）如圖，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長交AC于點(diǎn)E若AB=10，BC=16，則線段EF的長為（）A2B3C4D5【答案】B【解析】解：AFBF，AFB=90°，AB=10，D為AB中點(diǎn)，DF=AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又BF平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，即，解得：DE=8，EF=DE-DF=3，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用其判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10（2019·江蘇中考模擬）如圖，ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BADC，AB6，BD4，則CD的長為_【答案】5【解析】解：BAD=C，B=B，BADBCA，AB=6，BD=4，BC=9，CD=BC-BD=9-4=5【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記判定方法準(zhǔn)確找到相似三角形對(duì)應(yīng)邊是本題的解題關(guān)鍵.11（2019·廣西中考真題）如圖，以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到，則_【答案】【解析】解：以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到，故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出對(duì)應(yīng)邊的比值是解題關(guān)鍵12（2016·江蘇中考真題）如圖，ABC中，D、E分別在AB、AC上，DEBC，AD：AB=1：3，則ADE與ABC的面積之比為_【答案】1：9【解析】由DEBC，可得ADEABC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得SADE：SABC=（AD：AB）2=1：9.考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì).13（2019·遼寧中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，以點(diǎn)為位似中心，相們比為，把縮小，得到，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_【答案】或【解析】解：以點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，點(diǎn)的坐標(biāo)是則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即或，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形，熟練掌握位似變換是解題的關(guān)鍵.14（2019·內(nèi)蒙古中考真題）已知三個(gè)邊長分別為2，3，5的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為_【答案】【解析】解：如圖，對(duì)角線所分得的三個(gè)三角形相似，根據(jù)相似的性質(zhì)可知，解得，即陰影梯形的上底就是（）再根據(jù)相似的性質(zhì)可知，解得：，所以梯形的下底就是，所以陰影梯形的面積是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例15（2019·四川初三）已知，且，則的值為_【答案】12【解析】，設(shè)a=6x，b=5x，c=4x，a+b-2c=6，6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12故答案為12點(diǎn)睛：此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵16（2019·四川中考模擬）如圖，已知ABCD，若，則=_【答案】【解析】ABCD，AOBCOD，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17（2019·青海中考真題）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的端時(shí)，杠桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端向上翹起，石頭就被撬動(dòng)現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的端必須向上翹起，已知杠桿的動(dòng)力臂與阻力臂之比為，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端向下壓_.【答案】【解析】解：如圖；都與水平線垂直，即；易知：；，杠桿的動(dòng)力臂與阻力臂之比為，即；當(dāng)時(shí)，；故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端點(diǎn)向下壓故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵