期末復(fù)習(xí)五 分式 復(fù)習(xí)目標(biāo) 要求 知識與方法 了解 分式的概念 分式方程的概念 分式方程根的檢驗 理解 分式的基本性質(zhì)及分式符號法則 分式的約分、通分 分式的加、減、乘、除運算 解可化為一元一次方程的分式方程 運用 利用分式及其運算解決簡單的實際問題 列分式方程解簡單的應(yīng)用題 必備知識與防范點 一、必備知識： 1． 表示兩個整式相除，且除式中含有 ，這樣的代數(shù)式叫做分式． 2． 分式的分子與分母都乘以（或除以） 的整式，分式的值不變． 3． 分式乘分式，用分子的積做積的 ， 做積的分母；分式除以分式，把 顛倒位置后，與被除式相乘． 4． 同分母的分式相加減，把 相加減， 不變． 把分母不相同的幾個分式，化成分母相同的分式，叫做 ． 一般地，異分母分式相加減的方法是：先 ，化為同分母的分式，再按同分母分式相加減法則進行計算． 5． 只含分式，或分式和整式，并且分母中含有 的方程叫做分式方程．解分式方程必須 ． 把求得的根代入 ，或代入原方程兩邊所乘的 ，使分母為零的根是 ，增根必須舍去． 二、防范點： 1． 分式基本性質(zhì)使用過程中始終要注意乘以（或除以）的整式不能為零． 2． 分式乘除運算要注意運算順序，約分過程中要先把分子、分母中的多項式因式分解，才能進行約分． 3． 分式的加減運算是通分，而解分式方程往往是去分母，兩者不要混淆． 4． 分式方程一定不要遺漏驗根． 例題精析 考點一 分式、分式方程概念 例1 （1）在，，，中，屬于分式的個數(shù)為（ ） A． 0個 B． 1個 C． 2個 D． 3個 （2）在①=5；②（x-1）+（x+1）=4；③-=1；④+=-1；⑤（3x-7）中，分式方程有（ ） A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 （3）當(dāng)x= 時，分式無意義． （4）分式的值為0，則b= ． 反思：判斷分式及分式方程，主要看分母中是否含有字母，方程還應(yīng)是一個等式． 分式無意義則分母等于零；分式的值為零則分子等于零且分母不等于零，不要遺漏分母不為零． 考點二 分式的基本性質(zhì)及符號法則 例2 （1）不改變分式的值，把分子和分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)，則所得的結(jié)果為（ ） A． B． C． D． （2）下列各式中，變形不正確的是（ ） A． =- B． = C． =- D． -= （3）若把分式中的x和y都擴大為原來的3倍，那么分式的值（ ） A． 擴大為原來的3倍 B． 不變 C． 縮小為原來的 D． 縮小為原來的 反思：分式的基本性質(zhì)及符號法則是分式運算中兩個重要的法則，分式基本性質(zhì)運用過程中要注意乘或除以的式子不能為零，符號法則運用過程中要注意變兩個位置的符號，不要產(chǎn)生錯誤． 考點三 分式的加、減、乘、除運算 例3 （1）下列分式為最簡分式的是（ ） A． B． C． D． （2）計算÷·的結(jié)果是（ ） A． B． - C． - D． - （3）計算： ①·； ②-a-1； ③（-）÷. 反思：分式的乘除運算就是利用分式基本性質(zhì)對分式進行約分，注意分子、分母只有在乘積的形式下才能互相約分．分式的加減運算要對分式進行通分，化成同分母后才可以進行加減運算． 考點四 分式相關(guān)的條件求值 例4 （1）已知b=3a，a=5c，求的值． （2）已知-=4，求的值． （3）已知==，求的值． 反思：條件求值就是把條件進行轉(zhuǎn)化，找出不同字母之間的關(guān)系，把字母與字母的關(guān)系代入原分式即可解決問題．在運算過程中常用到整體思想，有時也可以通過換元來簡化運算． 考點五 分式方程及分式方程的應(yīng)用 例5 （1）解分式方程-=-1，去分母后，得（ ） A． 3（x-5）-（x+5）（x-3）=-1 B． 3x-5-（x+5）（x-3）=-（x+5）（x-5） C． 3x-15-x2+15=-（x+5）（x-5） D． 3（x-5）-（x+5）（x-3）=-（x+5）（x-5） （2）已知關(guān)于x的方程2+=有增根，則a的值為（ ） A． 1 B． -1 C． 0 D． 2 （3）七年級學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達． 已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度．設(shè)學(xué)生騎車的速度為x千米/小時，則所列方程正確的是（ ） A． =- B． =-20 C． =+ D． =+20 （4）解下列分式方程： ①+=； ②+=1. （5）某工程隊（有甲、乙兩組）承包一項工程，規(guī)定若干天內(nèi)完成． ①已知甲組單獨完成這項工程所需時間比規(guī)定時間多30天，乙組單獨完成這項工程所需時間比規(guī)定時間多12天，如果甲乙兩組先合做20天，剩下的由甲組單獨做，恰好按規(guī)定的時間完成，那么規(guī)定的時間是多少天？ ②實際工作中，甲乙兩組合做完成這項工程的后，工程隊又承包了新工程，需要抽調(diào)一組過去，從按時完成任務(wù)考慮，你認為留下哪一組更好？說明理由． 反思：解分式方程要先去分母，去分母時注意不要漏乘，最后還必須得驗根． 分式方程的增根問題，一般過程是先去分母，再找增根，代入增根后求解未知數(shù)即可，但如果是無解問題要考慮多種情況． 校內(nèi)練習(xí) 1． 如果分式的值是整數(shù)，則整數(shù)x可取的值的個數(shù)是（ ） A． 10個 B． 8個 C． 6個 D． 4個 2． 若x=4是方程=8的解，則a= . 3． 約分化簡：= ；= ． 4． 已知關(guān)于x的方程+=無解，則a的值為 ． 5. 某社區(qū)要清理一個衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，租用甲、乙兩車運送，兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元. 已知甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾，乙車所運趟數(shù)是甲車的2倍，且乙車每趟運費比甲車少100元. （1）求甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾各需運多少趟？ （2）若單獨租用一臺車，租用哪臺車合算？請說明理由. 6. 甲，乙兩人兩次同時在同一家超市購買糖果，兩次購買糖果的價格分別為每千克a元和b元（a≠b）. 甲每次購買10千克糖果，乙每次花10元錢購買糖果. （1）甲兩次購買糖果共付款 元，乙兩次共購買 千克糖果（用含a，b的代數(shù)式表示）； （2）請你判斷甲，乙兩人的購買方式哪一種購買的平均價格更低？請說明理由. 參考答案 期末復(fù)習(xí)五 分式 【必備知識與防范點】 1. 字母 2. 同一個不等于零 3. 分子 分母的積 除式的分子和分母 4. 分子 分母 通分 通分 5. 字母 驗根 原方程 公分母 增根 【例題精析】 例1 （1）C （2）B （3）3 （4）-2 例2 （1）B （2）D （3）C 例3 （1）D （2）D （3）①·=·= ②-a-1=-= ③（-）÷=[-]·x2=·x2=-5x 例4 （1）由條件得，a=5c，b=15c，代入分式得，原式===-16 （2）由-=4，得b-a=4ab，即a-b=-4ab，∴原式====6 （3）設(shè)===k，則x=2k，y=3k，z=4k，代入原分式得，∴原式===. 例5 （1）D （2）A （3）C （4）①計算得x=1，是增根，所以原方程無解 ②x=0 （5）①設(shè)規(guī)定的時間是x天，則甲單獨完成需要（x+30）天，乙單獨完成需要（x+12）天，由題意，得20（+）+×（x-20）=1，解得：x=24. 經(jīng)檢驗，x=24是原方程的根，答：規(guī)定的時間是24天. ②∵規(guī)定時間是24天，∴甲單獨完成需要24+30=54天，乙單獨完成需要24+12=36天. 留下甲完成需要的時間是：÷（+）+（1-）÷=18+9=27天＞24天，不能在規(guī)定時間完成任務(wù)；留下乙完成需要的時間是：÷（+）+（1-）÷=18+6=24天，能在規(guī)定時間完成任務(wù). ∴留下乙組較好. 【校內(nèi)練習(xí)】 1. B 2. 2 3. 4. -4或6或1 5. （1）設(shè)甲車單獨運完此堆垃圾需運x趟，則乙車單獨運完此堆垃圾需運2x趟. 根據(jù)題意得12（+）=1. 解得x=18，則2x=36. 經(jīng)檢驗，x=18是原方程的解. 答：甲車單獨運完需18趟，乙車單獨運完需36趟. （2）設(shè)甲車每一趟的運費是a元，由題意得 12a+12（a-100）=4800，解得a=250，則乙車每一趟的費用是250-100=150（元），單獨租用甲車總費用是18×250=4500（元），單獨租用乙車總費用是36×150=5400（元），4500＜5400，故單獨租用一臺車，租用甲車合算. 6. （1）（10a+10b） （+） （2）甲兩次購買糖果的平均價格：元；乙兩次購買糖果的平均價格：=元. 則-=＞0，則乙的平均價格更低. 8