豐臺區(qū)2013年高三第二學期統(tǒng)一練習（二）數學（理科）第一部分（選擇題 共40分）一 、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1. 復數的虛部為（A）3 （B） （C）4 （D） 2. 設向量a=(x,1), b=(4,x),且a,b方向相反，則x的值是（A）2 （B）-2 （C） （D）03.展開式中的常數項是（A）6 （B）4 （C）-4 （D）-64. 已知數列an， 則“an為等差數列”是“a1+a3=2a2”的（A）充要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分而不必要條件 （D）既不充分又不必要條件5. 下列四個函數中，最小正周期為，且圖象關于直線對稱的是（A） （B） （C） （D）6. 在平面區(qū)域內任取一點，若滿足的概率大于，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D） 7. 用5,6,7,8,9組成沒有重復數字的五位數，其中兩個偶數數字之間恰有一個奇數數字的五位數的個數是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 728. 已知偶函數f(x)（xR），當時，f(x)=-x(2+x)，當時，f(x)=(x-2)(a-x)（）.關于偶函數f(x)的圖象G和直線:y=m（）的3個命題如下： 當a=4時，存在直線與圖象G恰有5個公共點； 若對于，直線與圖象G的公共點不超過4個，則a2； ，使得直線與圖象G交于4個點，且相鄰點之間的距離相等.其中正確命題的序號是(A) (B) (C) (D) 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9. 圓的半徑是_。10.已知變量具有線性相關關系，測得的一組數據如下：，其回歸方程為，則的值是 。11. 如圖，已知O的弦AB交半徑OC于點D,若AD=4,BD=3,OC=4,則CD的長為_。 12. 若雙曲線C: 的離心率為,則拋物線的焦點到C的漸近線距離是_。13. 曲線在處的切線方程是_，在x=x0處的切線與直線和y軸圍成三角形的面積為 。14. 在圓上有一點P(4,3)，點E,F是y軸上兩點，且滿足,直線PE，PF與圓交于C，D，則直線CD的斜率是_。三、解答題共6小題，共80分.解答要寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15（本小題13分） 已知的三個內角分別為A,B,C,且（）求A的度數；（）若求的面積S.16（本小題13分）國家對空氣質量的分級規(guī)定如下表：污染指數05051100101150151200201300>300空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染 某市去年6月份30天的空氣污染指數的監(jiān)測數據如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648 根據以上信息，解決下列問題：（）寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值；（）某人計劃今年6月份到此城市觀光4天，若將（）中的頻率作為概率，他遇到空氣質量為優(yōu)或良的天數用X表示，求X的分布列和均值EX.頻率分布表分組頻數頻率0,50 14(50,100 ax(100,1505(150,200by(200,2502合計30117. （本小題13分）如圖(1)，等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，于E，現將ADE沿DE折起到PDE的位置（如圖（2）. （）求證：PBDE；（）若PEBE，直線PD與平面PBC所成的角為30，求PE長. 圖（1） 圖（2）18.（本小題13分）已知函數 .（）當時，求函數f(x)在1,e上的最大值和最小值；（）若a>0，討論的單調性.19.（本小題14分）已知橢圓C：的短軸的端點分別為A,B,直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點，其中點M (m,) 滿足，且.（）求橢圓C的離心率e；（）用m表示點E,F的坐標；（）若BME面積是AMF面積的5倍，求m的值. 20.（本小題14分）已知等差數列的通項公式為an=3n-2，等比數列中，.記集合 ，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構成數列.（）求數列bn的通項公式，并寫出數列的前4項；（）把集合中的元素從小到大依次排列構成數列，求數列的通項公式，并說明理由；（）求數列的前n項和豐臺區(qū)2013年高三第二學期統(tǒng)一練習（二）數學（理科）一 、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678答案ABACC DBD二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9. 1； 10. 0.9； 11. 2； 12.； 13. 3x+y-4=0, 2； 14. .三、解答題共6小題，共80分.解答要寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15（本小題13分） 已知的三個內角分別為A,B,C,且（）求A的度數；（）若求的面積S.解: （）, .2分, .4分. .6分（）在中, ,或(舍),.10分 . .13分16（本小題13分）國家對空氣質量的分級規(guī)定如下表：污染指數05051100101150151200201300>300空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染 某市去年6月份30天的空氣污染指數的監(jiān)測數據如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648 根據以上信息，解決下列問題：（）寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值；（）某人計劃今年6月份到此城市觀光4天，若將（）中的頻率作為概率，他遇到空氣質量為優(yōu)或良的天數用X表示，求X的分布列和均值EX.頻率分布表分組頻數頻率0,50 14(50,100 ax(100,1505(150,200by(200,2502合計301解：（）, .4分 （）由題意，該市4月份空氣質量為優(yōu)或良的概率為P=，.5分 . .10分的分布列為: X01234P .11分XB(4，), . .13分17. （本小題13分）如圖(1)，等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，于E，現將ADE沿DE折起到PDE的位置（如圖（2）. （）求證：PBDE；（）若PEBE，直線PD與平面PBC所成的角為30，求PE的長. 圖（1） 圖（2）解: （），,DEPE, .2分， DE平面PEB, , BP DE; .4分（）PEBE， PEDE，,所以，可由DE,BE,PE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖），5分設PE=a，則B(0,4-a ,0),D(a,0,0)，C(2,2-a,0),P(0,0,a)，7分xyz，,8分設面PBC的法向量,令, , 10分 .10分, .12分BC與平面PCD所成角為30, . .11分 ， 解得：a=,或a=4(舍)，所以，PE的長為.13分18.（本小題13分）已知函數 .（）當時，求函數f(x)在1,e上的最大值和最小值；（）若a>0，討論的單調性.解：（）的定義域為, .1分當時， .2分令在1,e上得極值點x20增減 .4分 .5分. .7分（）， .8分 時，由>0得0<x<2或x>,所以f(x)的單調增區(qū)間是(0,2),由<0得2<x<,所以f(x)的單調減區(qū)間是(2,)； .10分時，在（0，+）上恒成立，且當且僅當，在（0，+）單調遞增； .11分 當時，由>0得0<x<或x>2,所以f(x)的單調增區(qū)間是(0,),由<0得<x<2,所以f(x)的單調減區(qū)間是(,2). .13分19.（本小題14分）已知橢圓C：的短軸的端點分別為A,B（如圖）,直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點，其中點M (m,) 滿足，且.（）求橢圓C的離心率e；（）用m表示點E,F的坐標；（）若BME面積是AMF面積的5倍，求m的值.解：（）依題意知,; 3分（）,M (m,)，且， 4分直線AM的斜率為k1=,直線BM斜率為k2=, 直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y= , 6分由得， 8分由得，； 10分（）,，, .12分 ，整理方程得，即，又， ，為所求. 14分20.（本小題14分）已知等差數列的通項公式為an=3n-2，等比數列中，.記集合 ，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構成數列.（）求數列bn的通項公式，并寫出數列的前4項；（）把集合中的元素從小到大依次排列構成數列，求數列的通項公式，并說明理由；（）求數列的前n項和解：（）設等比數列的公比為q，則q3=8，q=2，bn=2n-1， .2分數列的前4項為1,4,7,10，數列bn的前4項為1,2,4,8，數列的前4項為1，2，4，7； .3分（）據集合B中元素2，8，32，128A，猜測數列的通項公式為dn =22n-1.4分dn=b2n ，只需證明數列bn中，b2n-1A，b2nA（）. 證明如下：b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=34n-1,即b2n+1=b2n-1+34n-1，若mN*,使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+34n-1=3(m+4n-1)-2，所以，若b2n-1A，則b2n+1A.因為b1A，重復使用上述結論，即得b2n-1A（）。同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=24n-24n-1=324n-1,即b2n+2=b2n+324n-1，因為“324n-1” 數列的公差3的整數倍，所以說明b2n 與b2n+2同時屬于A或同時不屬于A，當n=1時，顯然b2=2A，即有b4=2A，重復使用上述結論，即得b2nA，dn =22n-1； 8分（）（1）當n=1時，所以因為，所以S1=1； .9分（2）當n2時，由（）知，數列bn中，b2n-1A，b2nA，則，且k<n，使得. . 11分下面討論正整數k與n的關系：數列中的第n項不外如下兩種情況： 或者 ，若成立，即有，若成立，即有 ，有或者，顯然=N*，所以.綜上所述，. .14分