2013年北京豐臺區(qū)高三二模理科數學試題及參考答案.doc
豐臺區(qū)2013年高三第二學期統(tǒng)一練習(二)數學(理科)第一部分(選擇題 共40分)一 、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1. 復數的虛部為(A)3 (B) (C)4 (D) 2. 設向量a=(x,1), b=(4,x),且a,b方向相反,則x的值是(A)2 (B)-2 (C) (D)03.展開式中的常數項是(A)6 (B)4 (C)-4 (D)-64. 已知數列an, 則“an為等差數列”是“a1+a3=2a2”的(A)充要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分而不必要條件 (D)既不充分又不必要條件5. 下列四個函數中,最小正周期為,且圖象關于直線對稱的是(A) (B) (C) (D)6. 在平面區(qū)域內任取一點,若滿足的概率大于,則的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 7. 用5,6,7,8,9組成沒有重復數字的五位數,其中兩個偶數數字之間恰有一個奇數數字的五位數的個數是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 728. 已知偶函數f(x)(xR),當時,f(x)=-x(2+x),當時,f(x)=(x-2)(a-x)().關于偶函數f(x)的圖象G和直線:y=m()的3個命題如下: 當a=4時,存在直線與圖象G恰有5個公共點; 若對于,直線與圖象G的公共點不超過4個,則a2; ,使得直線與圖象G交于4個點,且相鄰點之間的距離相等.其中正確命題的序號是(A) (B) (C) (D) 第二部分(非選擇題 共110分)二、填空題共6小題,每小題5分,共30分.9. 圓的半徑是_。10.已知變量具有線性相關關系,測得的一組數據如下:,其回歸方程為,則的值是 。11. 如圖,已知O的弦AB交半徑OC于點D,若AD=4,BD=3,OC=4,則CD的長為_。 12. 若雙曲線C: 的離心率為,則拋物線的焦點到C的漸近線距離是_。13. 曲線在處的切線方程是_,在x=x0處的切線與直線和y軸圍成三角形的面積為 。14. 在圓上有一點P(4,3),點E,F是y軸上兩點,且滿足,直線PE,PF與圓交于C,D,則直線CD的斜率是_。三、解答題共6小題,共80分.解答要寫出文字說明,演算步驟或證明過程.15(本小題13分) 已知的三個內角分別為A,B,C,且()求A的度數;()若求的面積S.16(本小題13分)國家對空氣質量的分級規(guī)定如下表:污染指數05051100101150151200201300>300空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染 某市去年6月份30天的空氣污染指數的監(jiān)測數據如下:3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648 根據以上信息,解決下列問題:()寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值;()某人計劃今年6月份到此城市觀光4天,若將()中的頻率作為概率,他遇到空氣質量為優(yōu)或良的天數用X表示,求X的分布列和均值EX.頻率分布表分組頻數頻率0,50 14(50,100 ax(100,1505(150,200by(200,2502合計30117. (本小題13分)如圖(1),等腰直角三角形ABC的底邊AB=4,點D在線段AC上,于E,現將ADE沿DE折起到PDE的位置(如圖(2). ()求證:PBDE;()若PEBE,直線PD與平面PBC所成的角為30,求PE長. 圖(1) 圖(2)18.(本小題13分)已知函數 .()當時,求函數f(x)在1,e上的最大值和最小值;()若a>0,討論的單調性.19.(本小題14分)已知橢圓C:的短軸的端點分別為A,B,直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點,其中點M (m,) 滿足,且.()求橢圓C的離心率e;()用m表示點E,F的坐標;()若BME面積是AMF面積的5倍,求m的值. 20.(本小題14分)已知等差數列的通項公式為an=3n-2,等比數列中,.記集合 ,把集合U中的元素按從小到大依次排列,構成數列.()求數列bn的通項公式,并寫出數列的前4項;()把集合中的元素從小到大依次排列構成數列,求數列的通項公式,并說明理由;()求數列的前n項和豐臺區(qū)2013年高三第二學期統(tǒng)一練習(二)數學(理科)一 、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.題號12345678答案ABACC DBD二、填空題共6小題,每小題5分,共30分.9. 1; 10. 0.9; 11. 2; 12.; 13. 3x+y-4=0, 2; 14. .三、解答題共6小題,共80分.解答要寫出文字說明,演算步驟或證明過程.15(本小題13分) 已知的三個內角分別為A,B,C,且()求A的度數;()若求的面積S.解: (), .2分, .4分. .6分()在中, ,或(舍),.10分 . .13分16(本小題13分)國家對空氣質量的分級規(guī)定如下表:污染指數05051100101150151200201300>300空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染 某市去年6月份30天的空氣污染指數的監(jiān)測數據如下:3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648 根據以上信息,解決下列問題:()寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值;()某人計劃今年6月份到此城市觀光4天,若將()中的頻率作為概率,他遇到空氣質量為優(yōu)或良的天數用X表示,求X的分布列和均值EX.頻率分布表分組頻數頻率0,50 14(50,100 ax(100,1505(150,200by(200,2502合計301解:(), .4分 ()由題意,該市4月份空氣質量為優(yōu)或良的概率為P=,.5分 . .10分的分布列為: X01234P .11分XB(4,), . .13分17. (本小題13分)如圖(1),等腰直角三角形ABC的底邊AB=4,點D在線段AC上,于E,現將ADE沿DE折起到PDE的位置(如圖(2). ()求證:PBDE;()若PEBE,直線PD與平面PBC所成的角為30,求PE的長. 圖(1) 圖(2)解: (),,DEPE, .2分, DE平面PEB, , BP DE; .4分()PEBE, PEDE,,所以,可由DE,BE,PE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系(如圖),5分設PE=a,則B(0,4-a ,0),D(a,0,0),C(2,2-a,0),P(0,0,a),7分xyz,,8分設面PBC的法向量,令, , 10分 .10分, .12分BC與平面PCD所成角為30, . .11分 , 解得:a=,或a=4(舍),所以,PE的長為.13分18.(本小題13分)已知函數 .()當時,求函數f(x)在1,e上的最大值和最小值;()若a>0,討論的單調性.解:()的定義域為, .1分當時, .2分令在1,e上得極值點x20增減 .4分 .5分. .7分(), .8分 時,由>0得0<x<2或x>,所以f(x)的單調增區(qū)間是(0,2),由<0得2<x<,所以f(x)的單調減區(qū)間是(2,); .10分時,在(0,+)上恒成立,且當且僅當,在(0,+)單調遞增; .11分 當時,由>0得0<x<或x>2,所以f(x)的單調增區(qū)間是(0,),由<0得<x<2,所以f(x)的單調減區(qū)間是(,2). .13分19.(本小題14分)已知橢圓C:的短軸的端點分別為A,B(如圖),直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點,其中點M (m,) 滿足,且.()求橢圓C的離心率e;()用m表示點E,F的坐標;()若BME面積是AMF面積的5倍,求m的值.解:()依題意知,; 3分(),M (m,),且, 4分直線AM的斜率為k1=,直線BM斜率為k2=, 直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y= , 6分由得, 8分由得,; 10分(),,, .12分 ,整理方程得,即,又, ,為所求. 14分20.(本小題14分)已知等差數列的通項公式為an=3n-2,等比數列中,.記集合 ,把集合U中的元素按從小到大依次排列,構成數列.()求數列bn的通項公式,并寫出數列的前4項;()把集合中的元素從小到大依次排列構成數列,求數列的通項公式,并說明理由;()求數列的前n項和解:()設等比數列的公比為q,則q3=8,q=2,bn=2n-1, .2分數列的前4項為1,4,7,10,數列bn的前4項為1,2,4,8,數列的前4項為1,2,4,7; .3分()據集合B中元素2,8,32,128A,猜測數列的通項公式為dn =22n-1.4分dn=b2n ,只需證明數列bn中,b2n-1A,b2nA(). 證明如下:b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=34n-1,即b2n+1=b2n-1+34n-1,若mN*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+34n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若b2n-1A,則b2n+1A.因為b1A,重復使用上述結論,即得b2n-1A()。同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=24n-24n-1=324n-1,即b2n+2=b2n+324n-1,因為“324n-1” 數列的公差3的整數倍,所以說明b2n 與b2n+2同時屬于A或同時不屬于A,當n=1時,顯然b2=2A,即有b4=2A,重復使用上述結論,即得b2nA,dn =22n-1; 8分()(1)當n=1時,所以因為,所以S1=1; .9分(2)當n2時,由()知,數列bn中,b2n-1A,b2nA,則,且k<n,使得. . 11分下面討論正整數k與n的關系:數列中的第n項不外如下兩種情況: 或者 ,若成立,即有,若成立,即有 ,有或者,顯然=N*,所以.綜上所述,. .14分