題型六二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 專題二解答重難點(diǎn)題型突破 類型一二次函數(shù)與圖形判定 例1 2017 營(yíng)口 如圖 拋物線y ax2 bx 2的對(duì)稱軸是直線x 1 與x軸交于A B兩點(diǎn) 與y軸交于點(diǎn)C 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 2 0 點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 過點(diǎn)P作PD x軸于點(diǎn)D 交直線BC于點(diǎn)E 1 求拋物線解析式 2 若點(diǎn)P在第一象限內(nèi) 當(dāng)OD 4PE時(shí) 求四邊形POBE的面積 3 在 2 的條件下 若點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn) 點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) 是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N 使得以點(diǎn)B D M N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 若存在 直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 1 求拋物線的解析式 2 若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m 當(dāng)m為何值時(shí) 以O(shè) C P F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 請(qǐng)說明理由 3 若存在點(diǎn)P 使 PCF 45 請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo) 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 2017 新鄉(xiāng)模擬 如圖 已知拋物線y ax2 bx c a 0 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q 2 1 且與y軸交于點(diǎn)C 0 3 與x軸交于A B兩點(diǎn) 點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè) 點(diǎn)P是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn) 從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與A不重合 過點(diǎn)P作PD y軸 交AC于點(diǎn)D 1 求該拋物線的解析式 2 當(dāng) ADP是直角三角形時(shí) 求點(diǎn)P的坐標(biāo) 3 在題 2 的結(jié)論下 若點(diǎn)E在x軸上 點(diǎn)F在拋物線上 問是否存在以A P E F為頂點(diǎn)的平行四邊形 若存在 求點(diǎn)F的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 1 解 1 拋物線的頂點(diǎn)為Q 2 1 設(shè)拋物線的解析式為y a x 2 2 1 將C 0 3 代入上式 得 3 a 0 2 2 1 a 1 y x 2 2 1 即y x2 4x 3 2 分兩種情況 當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí) 點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合 令y 0 得x2 4x 3 0 解得x1 1 x2 3 點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊 B 1 0 A 3 0 P1 1 0 設(shè)D2 x x 3 P2 x x2 4x 3 則有 x 3 x2 4x 3 0 即x2 5x 6 0 解得x1 2 x2 3 舍去 當(dāng)x 2時(shí) y x2 4x 3 22 4 2 3 1 P2的坐標(biāo)為P2 2 1 即為拋物線頂點(diǎn) P點(diǎn)坐標(biāo)為P1 1 0 P2 2 1 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 2017 甘肅 如圖 已知二次函數(shù)y ax2 bx 4的圖象與x軸交于點(diǎn)B 2 0 點(diǎn)C 8 0 與y軸交于點(diǎn)A 1 求二次函數(shù)y ax2 bx 4的表達(dá)式 2 連接AC AB 若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng) 不與點(diǎn)B C重合 過點(diǎn)N作NM AC 交AB于點(diǎn)M 當(dāng) AMN面積最大時(shí) 求N點(diǎn)的坐標(biāo) 3 連接OM 在 2 的結(jié)論下 求OM與AC的數(shù)量關(guān)系 類型三二次函數(shù)與線段問題 2015 23 2012 23 2014 23 例4 2015 河南 如圖 邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上 以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A 點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 含端點(diǎn) 過點(diǎn)P作PF BC于點(diǎn)F 點(diǎn)D E的坐標(biāo)分別為 0 6 4 0 連接PD PE DE 1 請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式 2 小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn) 當(dāng)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí) PD與PF的差為定值 進(jìn)而猜想 對(duì)于任意一點(diǎn)P PD與PF的差為定值 請(qǐng)你判斷該猜想是否正確 并說明理由 3 小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論 若將 使 PDE的面積為整數(shù) 的點(diǎn)P記作 好點(diǎn) 則存在多個(gè) 好點(diǎn) 且使 PDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P也是一個(gè) 好點(diǎn) 請(qǐng)直接寫出所有 好點(diǎn) 的個(gè)數(shù) 并求出 PDE周長(zhǎng)最小時(shí) 好點(diǎn) 的坐標(biāo) 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 2017 赤峰 如圖 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象交x軸于A B兩點(diǎn) 交y軸于點(diǎn)D 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 3 0 頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 1 4 1 求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式 2 點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 過點(diǎn)P作x軸的垂線 交拋物線于點(diǎn)M 當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí) 求線段PM長(zhǎng)度的最大值 3 在拋物線上是否存在異于B D的點(diǎn)Q 使 BDQ中BD邊上的高為2 若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 解 1 拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 1 4 可設(shè)拋物線解析式為y a x 1 2 4 點(diǎn)B 3 0 在該拋物線的圖象上 0 a 3 1 2 4 解得a 1 拋物線解析式為y x 1 2 4 即y x2 2x 3 點(diǎn)D在y軸上 令x 0可得y 3 D點(diǎn)坐標(biāo)為 0 3 可設(shè)直線BD解析式為y kx 3 把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3k 3 0 解得k 1 直線BD解析式為y x 3 2 2017 蘇州 如圖 二次函數(shù)y x2 bx c的圖象與x軸交于A B兩點(diǎn) 與y軸交于點(diǎn)C OB OC 點(diǎn)D在函數(shù)圖象上 CD x軸 且CD 2 直線l是拋物線的對(duì)稱軸 E是拋物線的頂點(diǎn) 1 求b c的值 2 如圖 連接BE 線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F 恰好在線段BE上 求點(diǎn)F的坐標(biāo) 3 如圖 動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上 過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M 與拋物線交于點(diǎn)N 試問 拋物線上是否存在點(diǎn)Q 使得 PQN與 APM的面積相等 且線段NQ的長(zhǎng)度最小 如果存在 求出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 如果不存在 說明理由 2 設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為 0 m 對(duì)稱軸為直線x 1 點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F 的坐標(biāo)為 2 m 由 1 可知拋物線解析式為y x2 2x 3 x 1 2 4 E 1 4 直線BE經(jīng)過點(diǎn)B 3 0 E 1 4 利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為y 2x 6 點(diǎn)F在BE上 m 2 2 6 2 即點(diǎn)F的坐標(biāo)為 0 2