2 5二次函數(shù)與一元二次方程 第二章二次函數(shù) 導(dǎo)入新課 講授新課 當(dāng)堂練習(xí) 課堂小結(jié) 九年級數(shù)學(xué)下 BS 教學(xué)課件 第1課時(shí)二次函數(shù)與一元二次方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 通過探索 理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系 難點(diǎn) 2 能運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象 性質(zhì)確定方程的解 重點(diǎn) 導(dǎo)入新課 情境引入 問題如圖 以40m s的速度將小球沿與地面成30 角的方向擊出時(shí) 球的飛行路線是一條拋物線 如果不考慮空氣的阻力 球的飛行高度h 單位 m 與飛行時(shí)間t 單位 s 之間具有關(guān)系 h 20t 5t2 你能否解決以下問題 1 球的飛行高度能否達(dá)到15m 如果能 需要多少飛行時(shí)間 2 球從飛出到落地要用多少時(shí)間 現(xiàn)在不能解決也不要緊 學(xué)完本課 你就會(huì)清楚了 思考觀察思考下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎 如果有 公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少 當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí) 函數(shù)的值是多少 由此你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎 1 y x2 x 2 2 y x2 6x 9 3 y x2 x 1 講授新課 觀察圖象 完成下表 0個(gè) 1個(gè) 2個(gè) x2 x 1 0無解 3 x2 6x 9 0 x1 x2 3 2 1 x2 x 2 0 x1 2 x2 1 知識要點(diǎn) 有兩個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 為交點(diǎn)的橫坐標(biāo) b2 4ac 0 有一個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 為交點(diǎn)的橫坐標(biāo) b2 4ac 0 沒有交點(diǎn) 沒有實(shí)數(shù)根 b2 4ac 0 二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2 bx c 0根的關(guān)系 例1已知關(guān)于x的二次函數(shù)y mx2 m 2 x 2 m 0 1 求證 此拋物線與x軸總有交點(diǎn) 2 若此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn) 且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù) 求正整數(shù)m的值 1 證明 m 0 m 2 2 4m 2 m2 4m 4 8m m 2 2 m 2 2 0 0 此拋物線與x軸總有交點(diǎn) 典例精析 2 解 令y 0 則 x 1 mx 2 0 所以x 1 0或mx 2 0 解得x1 1 x2 當(dāng)m為正整數(shù)1時(shí) x2為整數(shù)且x1 x2 即拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn) 且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù) 所以正整數(shù)m的值為1 例1已知關(guān)于x的二次函數(shù)y mx2 m 2 x 2 m 0 1 求證 此拋物線與x軸總有交點(diǎn) 2 若此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn) 且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù) 求正整數(shù)m的值 變式 已知 拋物線y x2 ax a 2 1 求證 不論a取何值時(shí) 拋物線y x2 ax a 2與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 2 設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A x1 0 B x2 0 且x1 x2的平方和為3 求a的值 1 證明 a2 4 a 2 a 2 2 4 0 不論a取何值時(shí) 拋物線y x2 ax a 2與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 2 解 x1 x2 a x1 x2 a 2 x12 x22 x1 x2 2 2x1 x2 a2 2a 4 3 a 1 例2如圖 以40m s的速度將小球沿與地面成30 角的方向擊出時(shí) 球的飛行路線是一條拋物線 如果不考慮空氣的阻力 球的飛行高度h 單位 m 與飛行時(shí)間t 單位 s 之間具有關(guān)系 h 20t 5t2 你能否解決以下問題 典例精析 1 球的飛行高度能否達(dá)到15m 如果能 需要多少飛行時(shí)間 15 1 3 當(dāng)球飛行1s或3s時(shí) 它的高度為15m 解 解方程15 20t 5t2 t2 4t 3 0 t1 1 t2 3 你能結(jié)合上圖 指出為什么在兩個(gè)時(shí)間球的高度為15m嗎 h 20t 5t2 2 球的飛行高度能否達(dá)到20m 如果能 需要多少飛行時(shí)間 你能結(jié)合圖形指出為什么只在一個(gè)時(shí)間球的高度為20m嗎 20 4 解方程 20 20t 5t2 t2 4t 4 0 t1 t2 2 當(dāng)球飛行2s時(shí) 它的高度為20m h 20t 5t2 3 球的飛行高度能否達(dá)到20 5m 如果能 需要多少飛行時(shí)間 你能結(jié)合圖形指出為什么球不能達(dá)到20 5m的高度 20 5 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因?yàn)?4 2 4 4 1 0 所以方程無解 即球的飛行高度達(dá)不到20 5m h 20t 5t2 4 球從飛出到落地要用多少時(shí)間 0 20t 5t2 t2 4t 0 t1 0 t2 4 當(dāng)球飛行0s和4s時(shí) 它的高度為0m 即0s時(shí)球從地面飛出 4s時(shí)球落回地面 h 20t 5t2 從上面發(fā)現(xiàn) 二次函數(shù)y ax2 bx c何時(shí)為一元二次方程 一般地 當(dāng)y取定值且a 0時(shí) 二次函數(shù)為一元二次方程 如 y 5時(shí) 則5 ax2 bx c就是一個(gè)一元二次方程 所以二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切 例如 已知二次函數(shù)y x2 4x的值為3 求自變量x的值 可以解一元二次方程 x2 4x 3 即x2 4x 3 0 反過來 解方程x2 4x 3 0又可以看作已知二次函數(shù)y x2 4x 3的值為0 求自變量x的值 1 如圖 某足球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門 將足球從離地面0 5m的A處正對球門踢出 點(diǎn)A在y軸上 足球的飛行高度y 單位 m 與飛行時(shí)間t 單位 s 之間滿足函數(shù)關(guān)系y at2 5t c 已知足球飛行0 8s時(shí) 離地面的高度為3 5m 1 足球的飛行時(shí)間是多少 針對訓(xùn)練 解 1 由題意得 函數(shù)y at2 5t c的圖象經(jīng)過 0 0 5 0 8 3 5 拋物線的解析式為 故足球的飛行時(shí)間為 2 足球飛行的時(shí)間是多少時(shí) 足球離地面最高 最大高度是多少 解 拋物線的解析式為 當(dāng)t 時(shí) y最大 4 5 3 若足球飛行的水平距離x 單位 m 與飛行時(shí)間t 單位 s 之間具有函數(shù)關(guān)系x 10t 已知球門的高度為2 44m 如果該運(yùn)動(dòng)員正對球門射門時(shí) 離球門的水平距離為28m 他能否將球直接射入球門 解 把x 28代入x 10t得t 2 8 當(dāng)t 2 8時(shí) 他能將球直接射入球門 1 若二次函數(shù)y x2 2x k的部分圖象如圖所示 且關(guān)于x的一元二次方程 x2 2x k 0的一個(gè)解x1 3 則另一個(gè)解x2 1 2 一元二次方程3x2 x 10 0的兩個(gè)根是x1 2 x2 那么二次函數(shù)y 3x2 x 10與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 2 0 0 當(dāng)堂練習(xí) 3 若一元二次方程無實(shí)根 則拋物線的圖象位于 A x軸上方B 第一 二 三象限C x軸下方D 第二 三 四象限 A 4 已知函數(shù)y k 3 x2 2x 1的圖象與x軸有交點(diǎn) 求k的取值范圍 解 當(dāng)k 3時(shí) 函數(shù)y 2x 1是一次函數(shù) 一次函數(shù)y 2x 1與x軸有一個(gè)交點(diǎn) k 3 當(dāng)k 3時(shí) y k 3 x2 2x 1是二次函數(shù) 二次函數(shù)y k 3 x2 2x 1的圖象與x軸有交點(diǎn) b2 4ac 0 b2 4ac 22 4 k 3 4k 16 4k 16 0 k 4且k 3 綜上所述 k的取值范圍是k 4 5 如圖 某學(xué)生推鉛球 鉛球出手 點(diǎn)A處 的高度是0 6m 出手后的鉛球沿一段拋物線運(yùn)行 當(dāng)運(yùn)行到最高3m時(shí) 水平距離x 4m 1 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式 2 該同學(xué)把鉛球推出去多遠(yuǎn) 解 1 設(shè)二次函數(shù)的解析式為y a x 4 2 3 把 0 0 6 代入得0 6 a 0 4 2 3 2 當(dāng)y 0時(shí) 答 該男同學(xué)把鉛球推出去 4 2 m遠(yuǎn) 課堂小結(jié) 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 y ax2 bx c a 0 當(dāng)y取定值時(shí)就成了一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 右邊換成y時(shí)就成了二次函數(shù) 二次函數(shù)與一元二次方程根的情況 二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 判別式的符號 一元二次方程根的情況