第7講立體幾何中的向量方法 二 求空間角 知識梳理1 兩條異面直線所成角的求法設(shè)a b分別是兩異面直線l1 l2的方向向量 則 辨析感悟1 直線的方向向量與平面的法向量 1 若n1 n2分別是平面 的法向量 則n1 n2 2 兩直線的方向向量的夾角就是兩條直線所成的角 3 已知a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 則a c a b 感悟 提升 1 利用空間向量求空間角 避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩 使空間點線面的位置關(guān)系的判定和計算程序化 簡單化 主要是建系 設(shè)點 計算向量的坐標(biāo) 利用數(shù)量積的夾角公式計算 2 兩種關(guān)系一是異面直線所成的角與其方向向量的夾角 當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時 就是該異面直線的夾角 否則向量夾角的補角是異面直線所成的角 如 2 二是二面角與法向量的夾角 利用平面的法向量求二面角的大小時 當(dāng)求出兩半平面 的法向量n1 n2時 要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向 從而確定二面角與向量n1 n2的夾角是相等 還是互補 如 6 圖1 圖2 訓(xùn)練1 如圖所示 在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為 考點二利用空間向量求直線與平面所成的角 例2 2013 湖南卷 如圖 在直棱柱ABCD A1B1C1D1中 AD BC BAD 90 AC BD BC 1 AD AA1 3 1 證明 AC B1D 2 求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值 1 證明法一因為BB1 平面ABCD AC 平面ABCD AC BB1 又AC BD AC 平面BB1D 又B1D 平面BB1D 從而AC B1D 規(guī)律方法 1 本題求解時關(guān)鍵是結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行空間聯(lián)想 抓住垂直條件有目的推理論證 在第 2 問中 運用空間向量 將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量夾角 考查化歸思想與方程思想 2 利用空間向量求線面角有兩種途徑 一是求斜線和它在平面內(nèi)射影的方向向量的夾角 或其補角 二是借助平面的法向量 訓(xùn)練2 2014 青島質(zhì)檢 如圖 在三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 證明 AB A1C 2 若平面ABC 平面AA1B1B AB CB 求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值 1 證明如圖1 取AB的中點O 連接OC OA1 A1B 因為CA CB 所以O(shè)C AB 由于AB AA1 BAA1 60 故 AA1B為等邊三角形 所以O(shè)A1 AB 因為OC OA1 O 所以AB 平面OA1C 又A1C 平面OA1C 故AB A1C 圖1 圖2 考點三利用向量求二面角 例3 2013 天津卷 如圖 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 側(cè)棱A1A 底面ABCD AB DC AB AD AD CD 1 AA1 AB 2 E為棱AA1的中點 1 證明B1C1 CE 2 求二面角B1 CE C1的正弦值 訓(xùn)練3 2014 重慶調(diào)研 如圖 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD BC CD 2 AC 4 ACB ACD F為PC的中點 AF PB 1 求PA的長 2 求二面角B AF D的正弦值 1 若利用向量求角 各類角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來運算 1 求兩異面直線a b的夾角 須求出它們的方向向量a b的夾角 則cos cos a b 2 求直線l與平面 所成的角 可先求出平面 的法向量n與直線l的方向向量a的夾角 則sin cos n a 3 求二面角 l 的大小 可先求出兩個平面的法向量n1 n2所成的角 則 n1 n2 或 n1 n2 2 1 利用向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角時 一定要注意向量夾角與各空間角的定義 范圍不同 2 求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角 根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向 從而確定二面角與向量n1 n2的夾角是相等 還是互補 這是利用向量求二面角的難點 易錯點 規(guī)范解答 1 證明取BC B1C1的中點分別為D和D1 連接A1D1 DD1 AD 由BB1C1C為矩形知 DD1 B1C1 因為平面BB1C1C 平面A1B1C1 所以DD1 平面A1B1C1 又由A1B1 A1C1知 A1D1 B1C1 故以D1為坐標(biāo)原點 可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1 xyz 3分 自主體驗 如圖所示 在三棱錐P ABQ中 PB 平面ABQ BA BP BQ D C E F分別是AQ BQ AP BP的中點 AQ 2BD PD與EQ交于點G PC與FQ交于點H 連接GH 1 求證 AB GH 2 求二面角D GH E的余弦值 1 證明因為D C E F分別是AQ BQ AP BP的中點 所以EF AB DC AB 所以EF DC 又EF 平面PCD DC 平面PCD 所以EF 平面PCD 又EF 平面EFQ 平面EFQ 平面PCD GH 所以EF GH 又EF AB 所以AB GH