word小學數(shù)學典型應用題小學數(shù)學中把含有數(shù)量關系的實際問題用語言或文字表示出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩局部構成。第一局部是條件簡稱條件，第二局部是所求問題簡稱問題。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。題目中有特殊的數(shù)量關系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題。這本資料主要研究以下30類典型應用題：  1、歸一問題  2、歸總問題  3、和差問題  4、和倍問題  5、差倍問題  6、倍比問題  7、相遇問題  8、追與問題  9、植樹問題 10、年齡問題11、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數(shù)問題19、“牛吃草問題20、雞兔同籠問題21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原如此問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題1  歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少即單一量，然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關系】總量÷份數(shù)1份數(shù)量         1份數(shù)量×所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量      另一總量÷總量÷份數(shù)所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。 例1、買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？÷50.12元 ×161.92元列成綜合算式 ÷5××161.92元例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6 天耕地多少公頃？解： 11臺拖拉機1天耕地多少公頃？  90÷3÷310公頃  25臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 10×5×6300公頃列成綜合算式： 90÷3÷3×5×610×30300公頃例3、 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？解： 11輛汽車1次能運多少噸鋼材？  100÷5÷45噸  27輛汽車1次能運多少噸鋼材？   5×735噸  3105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105÷353次列成綜合算式  105÷100÷5÷4×73次2  歸總問題【含義】解題時，常常先找出“總數(shù)量，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量是指貨物的總價、幾小時幾天的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等?！緮?shù)量關系】  1份數(shù)量×份數(shù)總量          總量÷1份數(shù)量份數(shù)     總量÷另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。 例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改良裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？×7912531.2米 2現(xiàn)在可以做多少套？ ÷2.8904套列成綜合算式 ×791÷2.8904套例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？解： 1紅巖這本書總共多少頁？ 24×12288頁 2小明幾天可以讀完紅巖？ 288÷368天列成綜合算式  24×12÷368天例3  食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解： 1這批蔬菜共有多少千克？  50×301500千克 2這批蔬菜可以吃多少天？  1500÷501025天列成綜合算式    50×30÷50101500÷6025天3  和差問題【含義】兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫和差問題?！緮?shù)量關系】 大數(shù)和差÷ 2            小數(shù)和差÷ 2【解題思路和方法】 簡單的題可以直接套用公式；復雜的題變通后再用公式。 例1  甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解：  甲班人數(shù)986÷252人 乙班人數(shù)986÷246人     例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解：  長182÷210厘米  寬182÷28厘米 長方形的面積 10×880平方厘米例3 有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙兩袋共重32千克，乙、丙兩袋共重30千克，甲、丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解： 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多32302千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知 甲袋化肥重量222÷212千克 丙袋化肥重量222÷210千克 乙袋化肥重量321220千克例4  甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解： “從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，這說明 甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是14×23，甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)9714×23÷264筐     乙車筐數(shù)976433筐4  和倍問題【含義】 兩個數(shù)的和與大數(shù)是小數(shù)的幾倍或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關系】  總和 ÷幾倍1較小的數(shù)        總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)      較小的數(shù) ×幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】  簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解：  1杏樹有多少棵？  248÷3162棵  2桃樹有多少棵？   62×3186棵 例2  東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？解：  1西庫存糧數(shù)480÷1.41200噸  2東庫存糧數(shù)480200280噸 例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，假如每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？解：  每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站2824輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)5232就相當于21倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為      5232÷2128輛所求天數(shù)為  5228÷28246天例4 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？解：  乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關系，因此把甲數(shù)作為1倍量。  因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；  又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； 這時17046就相當于123倍。那么，  甲數(shù)17046÷12328   乙數(shù)28×2452   丙數(shù)28×36905  差倍問題【含義】 兩個數(shù)的差與大數(shù)是小數(shù)的幾倍或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關系】  兩個數(shù)的差÷幾倍1較小的數(shù)      較小的數(shù)×幾倍較大的數(shù) 【解題思路和方法】  簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 例1  果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解:  1杏樹有多少棵？    124÷3162棵 2桃樹有多少棵？     62×3186棵例2  爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解:  1兒子年齡27÷419歲 2爸爸年齡9×436歲例3  商場改革經(jīng)營管理方法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解: 如果把上月盈利作為1倍量，如此3012萬元就相當于上月盈利的21倍，因此     上月盈利3012÷2118萬元 本月盈利183048萬元例4  糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解:  由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差13894。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，如此幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，13894就相當于31倍，因此 剩下的小麥數(shù)量13894÷3122噸 運出的小麥數(shù)量942272噸 運糧的天數(shù)72÷98天6  倍比問題【含義】 有兩個的同類量，其中一個量是另一個量的假如干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關系】 總量÷一個數(shù)量倍數(shù)        另一個數(shù)量×倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】  先求出倍數(shù)，再用倍比關系求出要求的數(shù)。例1  100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解:  13700千克是100千克的多少倍？  3700÷10037倍 2可以榨油多少千克？    40×371480千克列成綜合算式    40×3700÷1001480千克 例2  今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解:  148000名是300名的多少倍？  48000÷300160倍 2共植樹多少棵？       400×16064000棵列成綜合算式    400×48000÷30064000棵例3  鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解:  1800畝是4畝的幾倍？  800÷4200倍 2800畝收入多少元？   11111×2002222200元 316000畝是800畝的幾倍？    16000÷80020倍 416000畝收入多少元？    2222200×2044444000元7  相遇問題【含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。【數(shù)量關系】  相遇時間總路程÷甲速乙速       總路程甲速乙速×相遇時間【解題思路和方法】 簡單的題可直接利用公式，復雜的題變通后再利用公式。例1  某某到某某的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從某某開出的船每小時行28千米，從某某開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？ 解:    392÷28218小時 例2  小李和小X在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小X每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解: “第二次相遇可以理解為二人跑了兩圈,因此總路程為400×2 相遇時間400×2÷53100秒 例3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解: “兩人在距中點3千米處相遇是正確理解此題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是3×2千米，因此， 相遇時間3×2÷15133小時 兩地距離1513×384千米8  追與問題【含義】    兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追與問題?！緮?shù)量關系】   追與時間追與路程÷快速慢速       追與路程快速慢速×追與時間【解題思路和方法】  簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解:  1劣馬先走12天能走多少千米？  75×12900千米 2好馬幾天追上劣馬？   900÷1207520天列成綜合算式   75×12÷12075900÷4520天例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解:  小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了500200米，要知小亮的速度，須知追與時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，如此跑500米用40×500÷200秒，所以小亮的速度是:500200÷40×500÷200300÷1003米 例3  我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解:  敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是2216小時，這段時間敵人逃跑的路程是10×226千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知: 追與時間10×22660÷3010     220÷2011小時 例4  一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解:  這道題可以由相遇問題轉化為追與問題來解決。從題中可知客車落后于貨車16×2千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為   16×2÷48404小時所以兩站間的距離為 4840×4352千米列成綜合算式   4840×16×2÷484088×4352千米例5  兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？解:  要求距離，速度，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在一樣時間從出發(fā)到相遇內(nèi)哥哥比妹妹多走180×2米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走9060米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為 180×2÷906012分鐘家離學校的距離為      90×12180900米例6 孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解:  手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到105分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了105分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9105分鐘。所以步行1千米所用時間為  1÷91050.25小時15分鐘跑步1千米所用時間為    15910511分鐘跑步速度為每小時     1÷11605.5千米9  植樹問題【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關系】 線形植樹     棵數(shù)距離÷棵距1     環(huán)形植樹     棵數(shù)距離÷棵距     方形植樹     棵數(shù)距離÷棵距4     三角形植樹     棵數(shù)距離÷棵距3     面積植樹     棵數(shù)面積÷棵距×行距【解題思路和方法】  先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解:   136÷2168169棵 例2  一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解:   400÷4100棵    例3  一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？解:   220×4÷841104106個 例4  給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解:  96÷×0.496÷0.24400塊 例5  一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，假如每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解:  1橋的一邊有多少個電桿？  500÷50111個 2橋的兩邊有多少個電桿？  11×222個 3大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22×244盞10  年齡問題【含義】 這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關系】 年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變這個特點?！窘忸}思路和方法】  可以利用“差倍問題的解題思路和方法。例1  爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解:   35÷57倍    35+1÷5+16倍 例2  母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解: 1母親比女兒的年齡大多少歲？    37730歲2幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 30÷4173年 列成綜合算式  377÷4173年例3  3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解:  今年父子的年齡和應該比3年前增加3×2歲， 今年二人的年齡和為  493×255歲 把今年兒子年齡作為1倍量，如此今年父子年齡和相當于41倍，因此，今年兒子年齡為      55÷4111歲 今年父親年齡為      11×444歲 例4  甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解: 這里涉與到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：              過去某一年今  年將來某一年   甲  歲 歲    61歲   乙   4歲 歲   歲    表中兩個“表示同一個數(shù)，兩個“表示同一個數(shù)。 因為兩個人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數(shù)列，所以，61應該比4大3個年齡差，  因此二人年齡差為   614÷319歲   甲今年的歲數(shù)為  611942歲   乙今年的歲數(shù)為 421923歲11  行船問題【含義】  行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度(順水速度)是船速與水速之和；船只逆水航行的速度逆水速度是船速與水速之差。【數(shù)量關系】  順水速度逆水速度÷2船速      順水速度逆水速度÷2水速       順水速船速×2逆水速逆水速水速×2       逆水速船速×2順水速順水速水速×2【解題思路和方法】  大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1  一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解:  由條件知，順水速船速水速320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時   320÷81525千米船的逆水速為      251510千米船逆水行這段路程的時間為   320÷1032小時 例2  甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？解:  甲船速水速360÷1036  甲船速水速360÷1820可見   3620相當于水速的2倍，所以，水速為每小時    3620÷28千米又因為， 乙船速水速360÷15，所以，乙船速為  360÷15832千米乙船順水速為   32840千米所以，  乙船順水航行360千米需要       360÷409小時例3   一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？解:  這道題可以按照流水問題來解答。1兩城相距多少千米？ 57624×31656千米2順風飛回需要多少小時？ 1656÷576242.76小時列成綜合算式 57624×3÷576242.76小時12  列車問題【含義】 這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關系】 火車過橋： 過橋時間車長橋長÷車速 火車追與： 追與時間甲車長乙車長距離÷甲車速乙車速  火車相遇： 相遇時間甲車長乙車長距離÷甲車速乙車速【解題思路和方法】  大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1  一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解:  火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。1火車3分鐘行多少米？  900×32700米2這列火車長多少米？    27002400300米列成綜合算式    900×32400300米 例2  一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解:  火車過橋所用的時間是2分5秒125秒，所走的路程是8×125米，這段路程就是200米橋長，所以，橋長為 8×125200800米例3  一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解:  從追上到追過，快車比慢車要多行225140米，而快車比慢車每秒多行2217米，因此，所求的時間為225140÷221773秒 例4  一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解:  如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。 150÷2236秒 例5  一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解:  車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋?858秒的時間內(nèi)行駛了20001250米的路程，因此，火車的車速為每秒 20001250÷885825米進而可知，車長和橋長的和為25×58米，因此，車長為   25×581250200米13  時鐘問題【含義】  就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追與問題相類比?！緮?shù)量關系】  分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。     通常按追與問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】 變通為“追與問題后可以直接利用公式。例1  從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解:  鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走11/1211/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為    20÷11/12 22分答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。 例2  四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解:  鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格包括分針在時針的前或后15格兩種情況。四點整的時候，分針在時針后5×4格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走5×415格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走5×415格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走11/12格就可以求出二針成直角的時間。 5×415÷11/12 6分5×415÷11/12 38分 答：4點06分與4點38分時兩針成直角。 例3  六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解:  六點整的時候，分針在時針后5×6格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追與問題。 5×6÷11/12 33分答：6點33分的時候分針與時針重合。14  盈虧問題【含義】  根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余盈，一次不足虧，或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題。【數(shù)量關系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，如此有：      參加分配總人數(shù)盈虧÷分配差如果兩次都盈或都虧，如此有：      參加分配總人數(shù)大盈小盈÷分配差      參加分配總人數(shù)大虧小虧÷分配差【解題思路和方法】  大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1  給幼兒園小朋友分蘋果，假如每人分3個就余11個；假如每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解:   按照“參加分配的總人數(shù)盈虧÷分配差的數(shù)量關系： 1有小朋友多少人？  111÷4312人 2有多少個蘋果？     3×121147個 例2   修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解:  題中原定完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總人數(shù)，按照“參加分配的總人數(shù)大虧小虧÷分配差的數(shù)量關系，可以得知原定完成任務的天數(shù)為  260×8300×4÷30026022天這條路全長為       300×2247800米 例3  學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解:  此題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總人數(shù)，于是就有 1有多少車？  300÷45406輛2有多少人？   40×630270人15  工程問題【含義】  工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程、“一塊土地、“一條水渠、“一件工作等，在解題時，常常用單位“1表示工作總量。【數(shù)量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾，進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。    工作量工作效率×工作時間         工作時間工作量÷工作效率     工作時間總工作量÷甲工作效率乙工作效率【解題思路和方法】  變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。 例1  一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解:  題中的“一項工程是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的1/101/15。由此可以列出算式：   1÷1/101/151÷1/66天答：兩隊合做需要6天完成。 例2  一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解一:  設總工作量為1，如此甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成1/61/8，二人合做時每小時完成1/61/8。因為二人合做需要1÷1/61/8小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以 1每小時甲比乙多做多少零件？ 24÷1÷1/61/87個 2這批零件共有多少個？     7÷1/61/8168個解二：  上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為  1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的  43  /  43  1/7所以，這批零件共有    24÷1/7168個 例3  一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解：  必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，如此甲乙丙三人的工作效率分別是甲： 60÷125  乙：  60÷106 丙： 60÷154          因此余下的工作量由乙丙合做還需要            605×2÷645小時 例4  一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有假如干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解： 注排水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率與總工作量一池水。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，如此4個進水管5小時注水量為1×4×5，2個進水管15小時注水量為1×2×15，從而可知 每小時的排水量為    1×2×151×4×5÷1551即一個排水管與每個進水管的工作效率一樣。由此可知一池水的總工作量為   1×4×51×515  又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為  1×2，所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？ 151×2÷1×9個16  正反比例問題【含義】  兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定即商一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系?！緮?shù)量關系】 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比擬簡捷?！窘忸}思路和方法】  解決這類問題的重要方法是：把分率倍數(shù)轉化為比，應用比和比例的性質(zhì)去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題根本類似。例1  修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解：  由條件知，公路總長不變。  原已修長度總長度11314312  現(xiàn)已修長度總長度11213412比擬以上兩式可知，把總長度當作12份，如此300米相當于43份，從而知公路總長為    300÷43×123600米 答： 這條公路總長3600米。例2  X晗做4道應用題用28分鐘，照這樣計算，91分鐘能做幾道應用題？解： 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關系 設91分鐘可以做X應用題  如此有  28491X       28X91×4    X91×4÷28     X13例3  孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解：  書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關系設X天可以看完，就有  2436X15          36X24×15   X10例4  一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如下列圖，求大矩形的面積。A                                                252036B16解：  由面積÷寬長可知，當長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，       A362016   25B2016   解這兩個比例，得  A45  B20所以，大矩形面積為  45362520201616217  按比例分配問題【含義】  所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成假如干份。這類題的條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各局部占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關系】  從條件看，總量和幾個局部量的比；從問題看，求幾個局部量各是多少。  總份數(shù)比的前后項之和【解題思路和方法】  先把各局部量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各局部占總量的幾分之幾以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子，再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各局部量的值。 例1  學校把植樹560棵的任務按人數(shù)分配給五年級三個班，一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解：  總份數(shù)為  474845140  一班植樹    560×47/140188棵  二班植樹    560×48/140192棵  三班植樹    560×45/140180棵例2  用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長各是多少厘米？解：  34512    60×3/1215厘米  60×4/1220厘米 60×5/1225厘米例3  從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解：  如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，如此很容易得到  1/21/31/9962 總份數(shù)：96217    大兒子：17×9/179   二兒子：17×6/176    小兒子：17×2/172 例4  某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為81221，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？人  數(shù)80人一共多少人？對應的份數(shù)12881221解：  80÷128×81221820人18  百分數(shù)問題【含義】  百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常常可以通分、約分，而百分數(shù)如此無需；分數(shù)既可以表示“率，也可以表示“量，而百分數(shù)只能表示“率；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%。在實際中和常用到“百分點這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。【數(shù)量關系】 掌握“百分數(shù)、“標準量“比擬量三者之間的數(shù)量關系：     百分數(shù)比擬量÷標準量        標準量比擬量÷百分數(shù)【解題思路和方法】   一般有三種根本類型： 1求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾； 2一個數(shù)，求它的百分之幾是多少； 3一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例1  倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解:  1用去的占    720÷720648010% 2剩下的占    6480÷720648090% 例2  紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？   解: 此題中女職工為標準量，男職工比女職工少的是比賽所以    525420÷5250.220%  或者  1420÷5250.220% 答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3  紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？  解:  此題中以男職工為標準量，女職工比男職工多的為比擬量，因此    525420÷4200.2525% 或者  525÷42010.2525%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4  紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解:  1男職工占  420÷4205250.44444.4% 2女職工占  525÷4205250.55655.6%答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。例5  百分數(shù)又叫百分率，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應用很廣，常見的百分率有： 增長率增長數(shù)÷原來基數(shù)×100% 合格率合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%出勤率實際出勤人數(shù)÷應出勤人數(shù)×100%出勤率實際出勤天數(shù)÷應出勤天數(shù)×100%缺席率缺席人數(shù)÷實有總人數(shù)×100%發(fā)芽率發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%成活率成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%出粉率面粉重量÷小麥重量×100%出油率油的重量÷油料重量×100%廢品率廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%命中率命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%烘干率烘干后重量÷烘前重量×100%與格率與格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%19 “牛吃草問題【含義】 “牛吃草問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。【數(shù)量關系】  草總量原有草量草每天生長量×天數(shù)【解題思路和方法】  解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。例1  一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解:  草是均勻生長的，所以，草總量原有草量草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：1求草每天的生長量因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即1×10×20；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以     1×10×20原有草量20天內(nèi)生長量同理    1×15×10原有草量10天內(nèi)生長量由此可知  2010天內(nèi)草的生長量為: 1×10×201×15×1050因此，草每天的生長量為:  50÷20105 2求原有草量 原有草量10天內(nèi)總草量10內(nèi)生長量1×15×105×10100 3求5 天內(nèi)草總量 5 天內(nèi)草總量原有草量5天內(nèi)生長量1005×5125 4求多少頭牛5 天吃完草 因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。 因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)    125÷525頭答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2  一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？解:  這是一道變相的“牛吃草問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)相當于“牛數(shù)，求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算： 1求每小時進水量  因為，3小時內(nèi)的總水量1×12×3原有水量3小時進水量  10小時內(nèi)的總水量1×5×10原有水量10小時進水量所以， 103小時內(nèi)的進水量為:  1×5×101×12×314因此， 每小時的進水量為:    14÷10322求淘水前原有水量  原有水量1×12×33小時進水量362×3303求17人幾小時淘完  17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小 時減少的水量為172，所以17人淘完水的時間是      30÷1722小時答：17人2小時可以淘完水。20  雞兔同籠問題【含義】  這是古典的算術問題?；\子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題?！緮?shù)量關系】 第一雞兔同籠問題：假設全都是雞，如此有       兔數(shù)實際腳數(shù)2×雞兔總數(shù)÷42  假設全都是兔，如此有       雞數(shù)4×雞兔總數(shù)實際腳數(shù)÷42  第二雞兔同籠問題：假設全都是雞，如此有        兔數(shù)2×雞兔總數(shù)雞與兔腳之差÷42  假設全都是兔，如此有        雞數(shù)4×雞兔總數(shù)雞與兔腳之差÷42【解題思路和方法】  解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。例1  長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？解:  假設35只全為兔，如此  雞數(shù)4×3594÷4223只 兔數(shù)352312只 也可以先假設35只全為雞， 例2  2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？解:  此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠問題。“每畝菠菜施肥1÷2千克與“每只雞有兩個腳相對應，“每畝白菜施肥3÷5千克與“每只兔有4只腳相對應，“16畝與“雞兔總數(shù)相對應，“9千克與“雞兔總腳數(shù)相對應。假設16畝全都是菠菜，如此有 白菜畝數(shù)91÷2×16÷3÷51÷210畝例3  李教師用69元給學校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？解:  此題可以變通為“雞兔同籠問題。假設45本全都是日記本，如此有 ×45÷3.200.7015本 日記本數(shù)451530本答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4  第二雞兔同籠問題雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？解:  假設100只全都是雞，如此有 兔數(shù)2×10080÷4220只