解析幾何(9)12019·山東夏津一中月考已知圓C的圓心在直線xy10上，半徑為5，且圓C經(jīng)過點P(2,0)和點Q(5,1)(1)求圓C的標準方程；(2)求過點A(3,0)且與圓C相切的切線方程解析：(1)設(shè)圓C：(xa)2(yb)225，點C在直線xy10上，則有ab10.圓C經(jīng)過點P(2,0)和點Q(5,1)，則解得a2，b3.所以圓C：(x2)2(y3)225.(2)設(shè)所求直線為l.若直線l的斜率不存在，則直線l的方程是x3，與圓C相切，符合題意若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x3)，即kxy3k0.由題意知，圓心C(2，3)到直線l的距離等于半徑5，即5，解得k，故切線方程是y(x3)綜上，所求切線方程是x3或y(x3)22019·四川省南充市高考適應性考試如圖所示，已知拋物線C：y24x的焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A，B兩點(1)若線段AB的中點在直線y2上，求直線l的方程；(2)若線段|AB|20，求直線l的方程解析：(1)由已知，得拋物線的焦點為F(1,0)因為線段AB的中點在直線y2上，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直線l的方程是yx1.(2)設(shè)直線l的方程為xmy1，與拋物線方程聯(lián)立得消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24，16(m21)>0.|AB|y1y2|··4(m21)所以4(m21)20，解得m±2，所以直線l的方程是x±2y1，即x±2y10.32019·河北衡水模擬如圖，在平面直角坐標系xOy中，點F，直線l：x，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQFP，PQl.(1)求動點Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當M運動時，|TS|是否為定值？請說明理由解析：(1)依題意知，R是線段FP的中點，且RQFP，RQ是線段FP的垂直平分線連接QF，點Q在線段FP的垂直平分線上，|PQ|QF|.又PQl，|PQ|是點Q到直線l的距離，故動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y22x.(2)|TS|為定值理由如下：取曲線C上點M(x0，y0)，點M到y(tǒng)軸的距離d|x0|x0，圓的半徑r|MA|，則|TS|22，點M在曲線C上，x0，|TS|22，是定值42019·江西南昌一中模擬已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)直線l：ykxm與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點，若kOM·kON，求原點O到直線l的距離的取值范圍解析：(1)由題意知e，2b2，又a2b2c2，所以b1，a2，所以橢圓C的標準方程為y21.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(4k21)x28kmx4m240.則(8km)24(4k21)(4m24)>0，化簡得m2<4k21.x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOM·kON，則，即4y1y25x1x2，所以4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，則(4k25)x1x24km(x1x2)4m20，所以(4k25)·4km·4m20，化簡得m2k2.由得0m2，k2.因為原點O到直線l的距離d，所以d21，又k2，所以0d2，解得0d.所以原點O到直線l的距離的取值范圍為.52019·北京卷，18已知拋物線C：x22py經(jīng)過點(2，1)(1)求拋物線C的方程及其準線方程；(2)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點解析：本題主要考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，考查考生的運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算(1)由拋物線C：x22py經(jīng)過點(2，1)，得p2.所以拋物線C的方程為x24y，其準線方程為y1.(2)拋物線C的焦點為F(0，1)設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)由得x24kx40.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x24.直線OM的方程為yx.令y1，得點A的橫坐標xA.同理得點B的橫坐標xB.設(shè)點D(0，n)，則，·(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令·0，即4(n1)20，得n1或n3.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0,1)和(0，3)62019·廣東廣州調(diào)研已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點P在C上(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，求F1AB的內(nèi)切圓的半徑的最大值解析：(1)依題意有得故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)1AB的內(nèi)切圓半徑為r，由題意知F1AB的周長為|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8，所以SF1AB×4a×r4r.解法一根據(jù)題意知，直線l的斜率不為零，故可設(shè)直線l的方程為xmy1，由得(3m24)y26my90，(6m)236(3m24)>0，所以y1y2，y1y2，所以SF1AB|F1F2|·|y1y2|y1y2|，令t，則t1，SF1AB.令f(t)t，則當t1時，f(t)1>0，f(t)單調(diào)遞增，所以f(t)f(1)，SF1AB3，即當t1，m0時，SF1AB取得最大值，最大值為3，此時rmax.故當直線l的方程為x1時，F(xiàn)1AB的內(nèi)切圓的半徑取得最大值.解法二當直線l垂直于x軸時，可取A，B，則SF1AB|F1F2|·|AB|3.當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，由得(4k23)x28k2x4k2120.(8k2)24(4k23)(4k212)144(k21)>0，所以x1x2，x1x2，所以SF1AB|F1F2|·|y1y2|y1y2|k(x1x2)|.令t4k23，則t3,0<，所以SF1AB< 3.綜上，當直線l垂直于x軸時，SF1AB取得最大值，最大值為3，此時F1AB的內(nèi)切圓的半徑取得最大值.