專題復(fù)習(xí)（七）幾何綜合題類型1類比探究的幾何綜合題類型2與圖形變換有關(guān)的幾何綜合題類型3與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何綜合題類型4與實(shí)際操作有關(guān)的幾何綜合題類型5其他類型的幾何綜合題類型1類比探究的幾何綜合題（2018蘇州）（2018煙臺(tái)）（2018東營(yíng)）（1）某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：如圖1，在ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，BAO=30°，OAC=75°，AO=，BO：CO=1:3，求AB的長(zhǎng)經(jīng)過(guò)社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BDAC，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，通過(guò)構(gòu)造ABD就可以解決問(wèn)題（如圖2）請(qǐng)回答：ADB= °，AB= （2）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：如圖3，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，ACAD，AO=，ABC=ACB=75°， BO：OD=1:3，求DC的長(zhǎng)(第24題圖3)(第24題圖2)(第24題圖1)（2018長(zhǎng)春）（2018陜西）（2018齊齊哈爾）（2018河南）（2018仙桃）問(wèn)題：如圖，在RtABC中，ABAC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為 ；探索：如圖，在RtABC與RtADE中，ABAC，ADAE，將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖，在四邊形ABCD中，ABCACBADC45°若BD9，CD3，求AD的長(zhǎng)（2018襄陽(yáng)）如圖(1)，已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GEBC，垂足為點(diǎn)E，GFCD， 垂足為點(diǎn)F(1)證明與推斷：求證：四邊形CEGF是正方形；推斷：的值為 ；(2)探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角(0°<<45°)，如圖(2)所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)拓展與運(yùn)用正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖(3)所示，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H若AG=6，GH=2，則BC= （2018淮安）（2018咸寧）（2018黃石）在ABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點(diǎn)（不與A、B、C重合）.（1）如圖1，若EFBC，求證：（2）如圖2，若EF不與BC平行，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若EF上一點(diǎn)G恰為ABC的重心，,求的值.（2018山西）（2018鹽城）【發(fā)現(xiàn)】如圖，已知等邊，將直角三角形的角頂點(diǎn)任意放在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），使兩邊分別交線段、于點(diǎn)、.（1）若，則_；（2）求證：.【思考】若將圖中的三角板的頂點(diǎn)在邊上移動(dòng)，保持三角板與、的兩個(gè)交點(diǎn)、都存在，連接，如圖所示.問(wèn)點(diǎn)是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【探索】如圖，在等腰中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處（其中），使兩條邊分別交邊、于點(diǎn)、（點(diǎn)、均不與的頂點(diǎn)重合），連接.設(shè)，則與的周長(zhǎng)之比為_(kāi)（用含的表達(dá)式表示）.（2018紹興）（2018達(dá)州）（2018菏澤）（2018揚(yáng)州）問(wèn)題呈現(xiàn)如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)、和、，與相交于點(diǎn)，求的值.方法歸納求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問(wèn)題.比如連接格點(diǎn)、，可得，則，連接，那么就變換到中.問(wèn)題解決（1）直接寫出圖1中的值為_(kāi)；（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，與相交于點(diǎn)，求的值；思維拓展（3）如圖3，點(diǎn)在上，且，延長(zhǎng)到，使，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求的度數(shù).（2018常德）已知正方形中與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，作直線交直線于,過(guò)作于,設(shè)直線交于.（1）如圖14，當(dāng)在線段上時(shí)，求證：；（2）如圖15，當(dāng)在線段上，連接,當(dāng)時(shí)，求證：；（3）在圖16，當(dāng)在線段上，連接,當(dāng)時(shí)，求證：.（2018濱州）（2018湖州）（2018自貢）如圖，已知,在的平分線上有一點(diǎn),將一個(gè)120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與直線相交于點(diǎn) .當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.（2018嘉興、舟山）.（2018淄博）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，小明畫了一個(gè)等腰三角形，其中，在的外側(cè)分別以為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形，分別取，的中點(diǎn)，連接.小明發(fā)現(xiàn)了：線段與的數(shù)量關(guān)系是 ；位置關(guān)系是 .（2）類比思考：如圖，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.把等腰三角形換為一般的銳角三角形，其中，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）深入研究：如圖，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究.向的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形，其它條件不變，試判斷的形狀，并給與證明.類型2與圖形變換有關(guān)的幾何綜合題（2018宜昌）在矩形中，是邊上一點(diǎn)，把沿直線折疊，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為且在上，交于點(diǎn).(1)如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證:；(2) 如圖2，求證: ；當(dāng)，且時(shí)，求的值；當(dāng)時(shí)，求的值.圖1 圖2 圖2備用圖23.(1)證明：在矩形中，,如圖1，又，圖1,(2)如圖2，圖2在矩形中，,沿折疊得到,當(dāng)時(shí)，,又,設(shè)，則，解得，,由折疊得，,設(shè)， 則在中，,若,解法一：連接，（如圖3）,四邊形是平行四邊形,平行四邊形是菱形,解法二：如圖2，,又,由得,解法三：（如圖4）過(guò)點(diǎn)作，垂足為圖4（2018邵陽(yáng)）（2018永州）（2018無(wú)錫）（2018包頭）（2018赤峰）（2018昆明）（2018岳陽(yáng)）（2018宿遷）（2018綿陽(yáng)）（2018南充）（2018徐州）類型3與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何綜合題（2018吉林）（2018黑龍江龍東）（2018黑龍江龍東）（2018廣東）已知RtOAB，OAB=90o，ABO=30o，斜邊OB=4，將RtOAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，如圖25-1圖，連接BC.（1）填空：OBC=_o；（2）如圖25-1圖，連接AC，作OPAC，垂足為P，求OP的長(zhǎng)度；（3）如圖25-2圖，點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在OCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿OCB路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿OBC路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？（結(jié)果可保留根號(hào)）（2018衡陽(yáng)）（2018黔東南）如圖，已知矩形，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)為止；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng).（1）點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是_，此時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離是_；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，、兩點(diǎn)的距離為_(kāi)；（3）請(qǐng)你計(jì)算出發(fā)多久時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離是；（4）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，連結(jié)，與相交于點(diǎn)，若雙曲線過(guò)點(diǎn)，問(wèn)的值是否會(huì)變化？若會(huì)變化，說(shuō)明理由；若不會(huì)變化，請(qǐng)求出的值.（2018青島）已知：如圖，四邊形，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為.點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以為邊作平行四邊形，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，.根據(jù)題意解答下列問(wèn)題：（1）用含的代數(shù)式表示；（2）設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時(shí)，求的值；（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)在的平分線上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2018廣州）如圖12，在四邊形ABCD中，B=60°，D=30°，AB=BC.(1)求A+C的度數(shù)（2）連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。（3）若AB=1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足,求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度。（2018溫州）（2018江西）（2018濰坊）類型4與實(shí)際操作有關(guān)的幾何綜合題（2018徐州）如圖1，一副直角三角板滿足ABBC，ACDE，ABCDEF90°，EDF30°【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q【探究一】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1） 如圖2，當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.（2） 如圖3，當(dāng)時(shí)EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由.（3） 根據(jù)你對(duì)（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為_(kāi),其中的取值范圍是_(直接寫出結(jié)論，不必證明)【探究二】若，AC30cm，連續(xù)PQ，設(shè)EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說(shuō)明理由.（2） 隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取值范圍.（2018成都）（2018棗莊）（2018德州）類型5其他類型的幾何綜合題（2018寧波）（2018安徽）如圖1,RtABC中,ACB=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.（1）求證:CM=EM；（2）若BAC=50°,求EMF的大小；（3）如圖2,若DAECEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn),求證:ANEM.17. （1）證明：M為BD中點(diǎn)RtDCB中，MC=BDRtDEB中，EM=BDMC=ME（2）BAC=50°ADE=40°CM=MBMCB=CBMCMD=MCB+CBM=2CBM同理，DME=2EBMCME=2CBA=80°EMF=180°-80°=100°（3）同（2）中理可得CBA=45°CAB=ADE=45°DAECEMDE=CM=ME=BD=DM，ECM=45°DEM等邊EDM=60°MBE=30°MCB+ACE=45°CBM+MBE=45°ACE=MBE=30°ACM=ACE+ECM=75°連接AM，AE=EM=MBMEB=EBM=30°AME=MEB=15°CME=90°CMA=90°-15°=75°=ACMAC=AMN為CM中點(diǎn)ANCMCMEMANCM（2018金華、麗水）在RtABC中，ACB=90°，AC=12.點(diǎn)D在直線CB上，以CA,CD為邊作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點(diǎn)分別為F,G.（1）如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形.若點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng).若DG=GF，求BC的長(zhǎng).（2）已知BC=9，是否存在點(diǎn)D,使得DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.ABDCFGE第24題圖 （2018金華（麗水）在RtABC中，ACB=90°，AC=12.點(diǎn)D在直線CB上，以CA,CD為邊作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點(diǎn)分別為F,G.（1）如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形.若點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng).若DG=GF，求BC的長(zhǎng).（2）已知BC=9，是否存在點(diǎn)D,使得DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.(2018眉山）如圖，在四邊形ABCD中，ACBD于點(diǎn)E，AB=AC=BD，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線段AM上的點(diǎn)，且MB=MN.（1）求證：BN平分ABE；（2）若BD=1，連結(jié)DN，當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)；（3）如圖，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)FN、FM，求證：MFNBDC.(2018泰安)（2018威海）如圖，在四邊形中，垂足分別為，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接.(1)如圖，當(dāng)，時(shí)，求的值；(2)若，則可求出圖中哪些線段的長(zhǎng)？寫出解答過(guò)程；(3)連接，試證明與全等；(4)在(3)的條件下，圖中還有哪些其它的全等三角形？請(qǐng)直接寫出.解：(1)分別是的中點(diǎn)，.四邊形是平行四邊形.又.平行四邊形是矩形.又，即.矩形為正方形.，(AAS)，.，.(2)可求線段的長(zhǎng).由(1)知，四邊形為矩形，即，.，.，.(3)，.與都是直角三角形.分別是中點(diǎn).，.，.，.，.，.(SAS).(4).（2018武漢）在ABC中，ABC90°、(1) 如圖1，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為M、N，求證：ABMBCN(2) 如圖2，P是邊BC上一點(diǎn)，BAPC，tanPAC，求tanC的值(3) 如圖3，D是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AEAB，DEB90°，sinBAC，直接寫出tanCEB的值 （2018貴陽(yáng)）（2018哈爾濱）(2018沈陽(yáng))61