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平面幾何與圓錐曲線 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 19分 19分 19分 19分 19分 19分 24分 19分 (2007年高考廣東卷第11小題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)，則該拋物線的方程是 ． (2007年高考廣東卷第19小題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限，半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為． （1）求圓的方程； （2）試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 19解:(1) 設(shè)圓C的圓心為 (m, n)（m<0,n>0） 依題意可得 解得 所求的圓的方程為 (2) 由已知可得 橢圓的方程為 , 右焦點(diǎn)為 F( 4, 0)； 設(shè)，依題意 解得或（舍去） 存在點(diǎn) (2008年高考廣東卷第6小題)經(jīng)過圓的圓心C，且與直線 垂直的直線方程是（ C ） A. x + y + 1 = 0 B. x + y － 1 = 0 C. x － y + 1 = 0 D. x － y － 1 = 0 (2008年高考廣東卷第20小題)設(shè)b>0，橢圓方程為，拋物線方程為。如圖所示，過點(diǎn)F（0，b + 2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G。已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F1。 （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程； （2）設(shè)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)， 試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？ 若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）。 【解析】（1）由得， 當(dāng)?shù)茫珿點(diǎn)的坐標(biāo)為，，， 過點(diǎn)G的切線方程為即， 令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為， 即，即橢圓和拋物線的方程分別為和； （2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)， 同理 以為直角的只有一個(gè)。 若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。 關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)， 因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。 (2009年高考廣東卷第13小題)以點(diǎn)（2，）為圓心且與直線相切的圓的方程是 . 【答案】 【解析】將直線化為,圓的半徑,所以圓的方程為 (2009年高考廣東卷第19小題)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn). (1)求橢圓G的方程 (2)求的面積 (3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由. 【解析】（1）設(shè)橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：. (2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3）若，由可知點(diǎn)（6，0）在圓外， 若，由可知點(diǎn)（-6，0）在圓外； 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G. (2010年高考廣東卷第6小題)若圓心在軸上、半徑為的圓位于軸左側(cè)，且與直線相切，則圓的方程是 D A． B． C． D． (2010年高考廣東卷第7小題)若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 B A． B． C． D． (2011年高考廣東卷第8小題)設(shè)圓 A A．拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D. 圓 (2011年高考廣東卷第21小題) 在平面直角坐標(biāo)系中，直線軸于點(diǎn)，設(shè)是上一點(diǎn)，是線段的垂直平分線上的一點(diǎn)，且滿足 （1） 當(dāng)點(diǎn)在上與動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程； （2） 已知設(shè)是上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)； （3） 過點(diǎn)且不平行于軸的直線與軌跡有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍。 21．（本小題滿分14分） 解：（1）如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q， 因此即 ① 另一種情況，見圖2（即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)）。 MQ為線段OP的垂直平分線， 又 因此M在軸上，此時(shí)，記M的坐標(biāo)為 為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn) 由 （即）得， 故的軌跡方程為 ② 綜合①和②得，點(diǎn)M軌跡E的方程為 （2）由（1）知，軌跡E的方程由下面E1和E2兩部分組成（見圖3）： ； 當(dāng)時(shí)，過Ｔ作垂直于的直線，垂足為，交E1于。 再過H作垂直于的直線，交因此，（拋物線的性質(zhì)）。（該等號(hào)僅當(dāng)重合（或H與D重合）時(shí)取得）。 當(dāng)時(shí)，則 綜合可得，|HO|+|HT|的最小值為3，且此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為 （3）由圖3知，直線的斜率不可能為零。 設(shè) 故的方程得： 因判別式所以與E中的E1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。 又由E2和的方程可知，若與E2有交點(diǎn)， 則此交點(diǎn)的坐標(biāo)為有唯一交點(diǎn)，從而表三個(gè)不同的交點(diǎn)。 因此，直線的取值范圍是 (2012年高考廣東卷第8小題) 在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交 于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于 (B) A． B． C． D． (2012年高考廣東卷第20小題)（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上． （1） 求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓和拋物線相切，求直線的方程． 解：(1):依題意：c=1,…………………………………………………………………………1分 則：,…………………………………………………………………………2分 設(shè)橢圓方程為：………………………………………………………………3分 將點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得：…………………………………………………………4分 所以 故橢圓方程為：…………………………………………………………………………5分 （2）設(shè)所求切線的方程為：……………………………………………6分 消除y ………7分 化簡(jiǎn)得： ①………………………………………………………8分 同理：聯(lián)立直線方程和拋物線的方程得： 消除y得： ……………………………………………………………………9分 化簡(jiǎn)得： ② …………………………………………………………………………10分 將②代入①解得： 解得： ………………………………………………………12分 故切線方程為：…………………………………………………14分 (2013年高考廣東卷第7小題)垂直于直線y=x+1且與圓相切于第一象限的直線方程是( A ) A. B. C. D. (2013年高考廣東卷第9小題).已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于，則C的方程是（ D ） A. B. C. D. (2013年高考廣東卷第20小題) (本題滿分14分) 已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線L:x-y-2=0的距離為 . 設(shè)P為直線L上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB,其中A,B為切點(diǎn)。 （1） 求拋物線C的方程； （2） 當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線L上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程； （3） 當(dāng)點(diǎn)P在直線L上移動(dòng)時(shí)，求|AF||BF|的最小值. 20、解：（Ⅰ）由得，或（舍去）， 所以拋物線的方程為. （Ⅱ）設(shè)，則有，即， 因?yàn)?，所以? 化簡(jiǎn)可得…①. 同理，設(shè)，可得…②. 由①②可得直線的方程為. （Ⅲ）聯(lián)立，得 ， ∴ ，. 由拋物線的定義可知，， ∴ ∵ 點(diǎn)在直線上移動(dòng)，所以， ∴ ， ∴ 當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為. (2014年高考廣東卷第8小題)若實(shí)數(shù)滿足，則曲線與曲線的（ D ） A.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 B.虛半軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等 (2014年高考廣東卷第20小題)（本小題滿分14分） 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為。 （1） 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2） 若動(dòng)點(diǎn)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程. 20.解：（1） （2）