《必做04 離散型隨機(jī)變量地分布列、均值與方差(原卷版)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《必做04 離散型隨機(jī)變量地分布列、均值與方差(原卷版)（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、word 理科必做題　 專題4 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 【三年高考】 1.【2017某某，理23】一個(gè)口袋中有個(gè)白球，個(gè)黑球()，這些球除顏色外全部一樣．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如下列圖的編號(hào)為的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號(hào)為的抽屜． 1 2 3 〔1〕試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率； 〔2〕隨機(jī)變量表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，是的數(shù)學(xué)期望，證明：． 2. 【2014某某，理22】盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全一樣. 〔1〕從盒中一次隨機(jī)抽出2個(gè)球，求取出的2

2、個(gè)球的顏色一樣的概率； 〔2〕從盒中一次隨機(jī)抽出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別為，隨機(jī)變量表示的最大數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 3．【2012某某，理22】設(shè)ξ為隨機(jī)變量．從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 4．【2017某某，理18】〔本小題總分為12分〕在心理學(xué)研究中，常采用比照試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組承受甲種心理暗示，另一組承受乙種心理暗

3、示，通過(guò)比照這兩組志愿者承受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人承受甲種心理暗示，另5人承受乙種心理暗示. 〔I〕求承受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。 〔II〕用X表示承受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. 5.【2017課標(biāo)1，理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸〔單位：cm〕．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． 〔1〕假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)

4、正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求與的數(shù)學(xué)期望； 〔2〕一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)展檢查． 〔ⅰ〕試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性； 〔ⅱ〕下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)展檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和〔準(zhǔn)確到0.01〕． 附：假如隨機(jī)變量

5、服從正態(tài)分布，如此， ，． 6.【2017課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)展某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量比照，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量〔單位：kg〕某頻率分布直方圖如下： （1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg〞，估計(jì)A的概率； （2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估

6、計(jì)值〔準(zhǔn)確到0.01〕 附： 7.【2017，理17】間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成如下圖，其中“*〞表示服藥者，“+〞表示未服藥者. 〔Ⅰ〕從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率； 〔Ⅱ〕從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī).選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E〔〕； 〔Ⅲ〕試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.〔只需寫出結(jié)論〕 8.【2017某某，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.

7、 〔Ⅰ〕設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； 〔Ⅱ〕假如有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率. 9.【2017課標(biāo)3，理18】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量一樣，進(jìn)貨本錢每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫〔單位：℃〕有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25〕，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

8、最高氣溫 [10，15〕 [15，20〕 [20，25〕 [25，30〕 [30，35〕 [35，40〕 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. 〔1〕求六月份這種酸奶一天的需求量X〔單位：瓶〕的分布列； 〔2〕設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y〔單位：元〕.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n〔單位：瓶〕為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 10．【2016高考新課標(biāo)1卷】〔本小題總分為12分〕某公司計(jì)劃購(gòu)置2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)置這種零件作為備件,每個(gè)2

9、00元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)置,如此每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)置機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)置幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖： 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購(gòu)置2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)置的易損零件數(shù). 〔I〕求的分布列； 〔II〕假如要求,確定的最小值； 〔III〕以購(gòu)置易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)？ 11.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險(xiǎn)種的根本保費(fèi)為〔單位：元〕，繼續(xù)購(gòu)置該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)

10、保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費(fèi) 2 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 〔Ⅰ〕求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于根本保費(fèi)的概率； 〔Ⅱ〕假如一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于根本保費(fèi)，求其保費(fèi)比根本保費(fèi)高出60%的概率； 〔Ⅲ〕求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與根本保費(fèi)的比值． 12．【2016年高考某某理數(shù)】〔本小題總分為12分〕 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用

11、水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)〔噸〕、一位居民的月用水量不超過(guò)的局部按平價(jià)收費(fèi)，超出的局部按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量〔單位：噸〕，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如下列圖的頻率分布直方圖. 〔I〕求直方圖中a的值； 〔II〕設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由； 〔III〕假如該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)〔噸〕，估計(jì)的值，并說(shuō)明理由. .13.【2016年高考理數(shù)】〔本小題13分〕 A、B、C三個(gè)班共有100名學(xué)生，

12、為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了局部學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表〔單位：小時(shí)〕； A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 〔1〕試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)； 〔2〕從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率； 〔3〕再?gòu)腁、B、C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25〔單位：小時(shí)〕，這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成

13、的新樣本的平均數(shù)記 ，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，試判斷和的大小，〔結(jié)論不要求證明〕 14．【2016高考某某理數(shù)】〔本小題總分為12分〕 甲、乙兩人組成“星隊(duì)〞參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，如此“星隊(duì)〞得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，如此“星隊(duì)〞得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，如此“星隊(duì)〞，乙每輪猜對(duì)的概率是“星隊(duì)〞參加兩輪活動(dòng)，求： 〔I〕“星隊(duì)〞至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率； 〔Ⅱ〕“星隊(duì)〞兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 15.【2016高考某某理數(shù)】〔本小題總分為13分〕 某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,

14、3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì). 〔I〕設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4〞，求事件A發(fā)生的概率； 〔II〕設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 16.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】如下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量〔單位：億噸〕的折線圖 〔I〕由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明； 〔II〕建立關(guān)于的回歸方程〔系數(shù)準(zhǔn)確到0.01〕，預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)

15、 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ． 17．【2015高考某某，理16】某銀行規(guī)定，一X銀行卡假如在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)展嘗試.假如密碼正確，如此完畢嘗試；否如此繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定. (Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 18.【2015高考某某，理19】假如是一個(gè)三位正整數(shù)，且的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，

16、如此稱為“三位遞增數(shù)〞〔如137,359,567等〕.在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)〞中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)如此如下：假如抽取的“三位遞增數(shù)〞的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；假如能被5整除，但不能被10整除，得分；假如能被10整除，得1分. 〔I〕寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)〞 ； 〔II〕假如甲參加活動(dòng)，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望. 19.【2015高考某某，理16】為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的開(kāi)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員

17、中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (I)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)〞求事件A發(fā)生的概率； (II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 20.【2015高考某某，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì) 〔1〕求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率. 〔2〕某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得

18、分布列和數(shù)學(xué)期望. 【2018年高考命題預(yù)測(cè)】 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差問(wèn)題是某某高考理科選修內(nèi)容，考試時(shí)一般為解答題.第一問(wèn)主要考查等可能事件的概率計(jì)算公式,互斥事件的概率加法公式，對(duì)立事件的概率減法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)種恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式等五個(gè)根本公式的應(yīng)用，第二問(wèn)主要考查分布列、均值與方差問(wèn)題，特別是離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差也是高考的重點(diǎn)，試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的根底題或中檔題. 從高考試題來(lái)看，頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、分布列是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題考查知識(shí)點(diǎn)較單

19、一，解答題考查得較為全面，常常和概率、平均數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．根據(jù)這幾年高考試題預(yù)測(cè)2018年高考，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望仍然是考查的熱點(diǎn)，同時(shí)應(yīng)注意和概率、平均數(shù)、分布列，期望，二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等知識(shí)的結(jié)合． 【2018年高考考點(diǎn)定位】 本節(jié)主要有離散型隨機(jī)變量的分布列，超幾何分布，數(shù)學(xué)期望，方差等根本公式的應(yīng)用，‘試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的根底題或中檔題.只要我們理解和掌握五個(gè)概率公式與其應(yīng)用,夯實(shí)根底,借助排列組合知識(shí)和化歸轉(zhuǎn)化思想方法,就能順利解答高考概率與統(tǒng)計(jì)試題. 最多的概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的分值占整個(gè)卷面分值的12%，且本局部題多為

20、中低檔題.從而可以看出近幾年高考中概率與統(tǒng)計(jì)所占地位的重要性. 【考點(diǎn)1】離散型隨機(jī)變量的分布列 【備考知識(shí)梳理】 1．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．假如是隨機(jī)變量，，其中是常數(shù)，如此也是隨機(jī)變量. (1)兩點(diǎn)分布：假如隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為 0 1 其中，如此稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率． (2)

21、超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，如此事件{}發(fā)生的概率為，，其中，且，稱分布列為超幾何分布列. 0 1 … m … (3)設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為，，…，，…，取每一個(gè)值 ()的概率為，如此稱表 … … … … 為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱X的分布列．有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式，表示的分布列． 分布列的兩個(gè)性質(zhì)：①，；②. 【規(guī)律方法技巧】 1. 求分布列的三種方法 (1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列；(1)可設(shè)出隨機(jī)變量Y，并確定隨機(jī)變量的所有可能取值作為第一行

22、數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義． (2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列；求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率．而超幾何分布就是此類問(wèn)題中的一種． (3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列． 2. 求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟 (1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；

23、 (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確． 3. 解答離散型隨機(jī)變量的分布列與相關(guān)問(wèn)題的一般思路 (1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值． (2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解． 注意　解題中要善于透過(guò)問(wèn)題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量與其分布列的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1．小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機(jī)發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個(gè). 〔Ⅰ〕假如小王發(fā)放5元的紅包2個(gè)，求甲恰得1個(gè)的概率； 〔Ⅱ〕假如小王發(fā)放3個(gè)紅包，其中5元的

24、2個(gè)，10元的1個(gè).記乙所得紅包的總錢數(shù)為X，求X的分布列和期望. 2.學(xué)校為測(cè)評(píng)班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師的滿意度，采用“100分制〞打分的方式來(lái)計(jì)分.現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們對(duì)某教師的滿意度分?jǐn)?shù)〔以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉〕： 規(guī)定假如滿意度不低于98分，測(cè)評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀〞. 〔I〕求從這10人中隨機(jī)選取3人，至多有1人評(píng)價(jià)該教師是“優(yōu)秀〞的概率； 〔II〕以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)班級(jí)的總體數(shù)據(jù)，假如從該班任選3人，記表示抽到評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀〞的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【考點(diǎn)2】離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【備考知識(shí)梳理】 1．均值

25、 假如離散型隨機(jī)變量X的分布列為 … … … … 稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平． 假如，其中為常數(shù)，如此也是隨機(jī)變量，且. 假如服從兩點(diǎn)分布，如此； 假如，如此. 假如離散型隨機(jī)變量X的分布列為 … … … … 如此描述了 ()相對(duì)于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機(jī)變量的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差． 假如，其中為常數(shù)，如此也是隨機(jī)變量，且． 假如服從兩點(diǎn)分布，如此． 假如，

26、如此． 【規(guī)律方法技巧】. 1. 求離散型隨機(jī)變量均值、方差的根本方法 (1)隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； (2)隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． 2. 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟 (1)理解隨機(jī)變量的意義，寫出可能取得的全部值； (2)求的每個(gè)值的概率； (3)寫出的分布列； (4)由均值定義求出． 3. 六條性質(zhì) (1) (為常數(shù)) (2) (為常數(shù)) (3

27、) (4)如果相互獨(dú)立，如此 (5) (6) 4. 均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用假如是隨機(jī)變量，如此一般仍是隨機(jī)變量，在求的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以防止再求的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照題目要求獨(dú)立完成規(guī)定:至少正確完成其中道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響 〔1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望； 〔2〕請(qǐng)分析比擬甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性大？ 位員工．?dāng)M在

28、新年聯(lián)歡會(huì)中，增加一個(gè)摸球兌獎(jiǎng)的環(huán)節(jié)，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲的中獎(jiǎng)?lì)~．企業(yè)預(yù)算抽獎(jiǎng)總額為元，共提出兩種方案． 方案一：袋中所裝的個(gè)球中有兩個(gè)球所標(biāo)的面值為元，另外兩個(gè)標(biāo)的面值為元； 方案二：袋中所裝的個(gè)球中有兩個(gè)球所標(biāo)的面值為元，另外兩個(gè)標(biāo)的面值為元． 〔Ⅰ〕求兩種方案中，某員工獲獎(jiǎng)金額的分布列； 〔Ⅱ〕在兩種方案中，請(qǐng)幫助該企業(yè)選擇一個(gè)適合的方案，并說(shuō)明理由． 【兩年模擬詳解析】 1．局得分〔〕的情況就算游戲過(guò)關(guān)，同時(shí)游戲完畢，假如四局過(guò)后仍未過(guò)關(guān)，游戲也完畢. 〔1〕求在一局游戲中得3分的概率； 〔

29、2〕求游戲完畢時(shí)局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. 2．【某某市、某某市2017屆高三年級(jí)第一次模擬】〔本小題總分為10分〕 某年級(jí)星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課〔上午不排該課程〕，X教師與王教師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐課程. 〔1〕求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課〞的概率； 〔2〕設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)〞為X，求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望E(X). 3．【2017年第三次全國(guó)大聯(lián)考某某卷】袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為．現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中

30、的球取完即終止．假如摸出白球，如此記2分，假如摸出黑球，如此記1分．每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的．用表示甲、乙最終得分差的絕對(duì)值． 〔1〕求袋中原有白球的個(gè)數(shù)； 〔2〕求隨機(jī)變量的分布列與期望． 4．【2017年第一次全國(guó)大聯(lián)考某某卷】正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，現(xiàn)從該正四棱柱的個(gè)頂點(diǎn)中任取的值為以取出的個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積. 〔1〕求概率； 〔2〕求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望 5．【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷02〔某某卷〕】某校為了解本校學(xué)生的課后玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)展調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天玩電腦游戲的時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖．

31、〔Ⅰ〕根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)抽取樣本的平均數(shù)和眾數(shù)〔同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表〕； 〔Ⅱ〕樣本中玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)在的學(xué)生中，男生比女生多1人，現(xiàn)從中選人進(jìn)展回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與期望． 6．【某某市2016—2017學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)】〔本小題總分為10分〕 為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時(shí)間開(kāi)設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《生活中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》、《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機(jī)選一門進(jìn)展學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的. 〔1〕求甲、乙、丙三人選擇的課程互不一樣的概

32、率； 〔2〕設(shè)為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 7．【2017某某某某某某蘇北四市高三二?！俊脖拘☆}總分為10分〕 某樂(lè)隊(duì)參加一戶外音樂(lè)節(jié)，準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機(jī)選擇4首進(jìn)展演唱． 〔1〕求該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率； 〔2〕假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為a〔a為常數(shù)〕，演唱一首經(jīng)典歌曲觀 眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為2a．求觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)之和的概率分布與數(shù)學(xué)期望． 8. 【某某省某某中學(xué)2015—2016學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流

33、量(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米〕都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立． 〔1〕求在未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率； 〔2〕水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系； 年入流量 發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 1 2 3 假如某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，如此該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；假如某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，如此該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利

34、潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？ 9．【某某省蘇中三市〔某某、某某、某某〕2016屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】〔本小題總分為10分〕一個(gè)摸球游戲，規(guī)如此如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小一樣、顏色各異的玻璃球．參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒(méi)收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，倍的獎(jiǎng)勵(lì)〔〕，且游戲費(fèi)仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為元．〔1〕求概率的值；〔2〕為使收益的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求的最小值．〔注：概率學(xué)源于賭博，請(qǐng)自

35、覺(jué)遠(yuǎn)離不正當(dāng)?shù)挠螒?！? 10．【某某市、某某市2016屆高三年級(jí)第二次模擬考試】〔本小題總分為10分〕 甲、乙兩人投籃命中的概率分別為與，各自相互獨(dú)立．現(xiàn)兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球． 〔1〕求比賽完畢后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)的概率； 〔2〕設(shè)ξ表示比賽完畢后甲、乙兩人進(jìn)球數(shù)的差的絕對(duì)值，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 11．【某某市2016屆高三年級(jí)第三次模擬考試】〔本小題總分為10分〕 從0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)中任選三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，記X為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和． 〔1〕求X是奇數(shù)的概率； 〔2〕求X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望． 1

36、2．【某某省蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學(xué)情況調(diào)研〔二〕數(shù)學(xué)試題】〔本小題總分為10分〕 一個(gè)口袋中裝有大小一樣的個(gè)白球和個(gè)紅球，從中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，假如有次摸到紅球即停止． 〔1〕求恰好摸次停止的概率； 〔2〕記次之內(nèi)〔含次〕摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列． 13．【某某省蘇北三市〔某某市、某某市、宿遷市〕2016屆高三最后一次模擬考試】〔本小題總分為10分〕 甲箱中裝有3個(gè)紅球、3個(gè)黑球，乙箱中裝有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全一樣. 某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，設(shè)獎(jiǎng)規(guī)如此如下：每次分別從以上兩個(gè)箱中各隨機(jī)摸出2個(gè)球，共4個(gè)球. 假如摸出4個(gè)球都是紅球，如此

37、獲得一等獎(jiǎng)；摸出的球中有3個(gè)紅球，如此獲得二等獎(jiǎng)；摸出的球中有2個(gè)紅球，如此獲得三等獎(jiǎng)；其他情況不獲獎(jiǎng). 每次摸球完畢后將球放回原箱中. 〔1〕求在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)的概率； 〔2〕假如連續(xù)摸獎(jiǎng)2次，求獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【一年原創(chuàng)真預(yù)測(cè)】 1. 某校為了提高學(xué)生身體素質(zhì)，決定組建學(xué)校足球隊(duì)，學(xué)校為了解報(bào)名學(xué)生的身體素質(zhì),對(duì)他們的體重進(jìn)展了測(cè)量,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出了頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右3個(gè)小組的頻率之比為,其中第2小組的頻數(shù)為. (Ⅰ)求該校報(bào)名學(xué)生的總?cè)藬?shù); (Ⅱ)假如從報(bào)名的學(xué)生中任選3人,設(shè)表示體重超過(guò)60kg的學(xué)生人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望與

38、方差. 2.2015年3月15日，中央電視臺(tái)揭露局部汽車4S店維修黑幕，國(guó)家工商總局針對(duì)汽車制造行業(yè)中的壟斷行為加大了調(diào)查力度，對(duì)汽車零部件加工的相關(guān)企業(yè)開(kāi)出了巨額罰單.某品牌汽車制造商為了壓縮本錢，計(jì)劃對(duì)、、三種汽車零部件進(jìn)展招標(biāo)采購(gòu)，某著名汽車零部件加工廠參入了該次競(jìng)標(biāo)，種零部件中標(biāo)后即可簽合同，而、種零部件的概率為，只中標(biāo)種零部件的概率為，、兩種零部件簽訂合同的概率為. 〔Ⅰ〕求該汽車零部件加工廠種汽車零部件中標(biāo)的概率； 〔Ⅱ〕設(shè)該汽車零部件加工廠簽訂合同的汽車零部件種數(shù)為，求的分布列與期望. 3.某校高三〔1〕班有名學(xué)生,從中按照系統(tǒng)抽樣的方法抽取名學(xué)生. (1)假如第組抽出的為,寫出所有被抽出學(xué)生的； (2)分別統(tǒng)計(jì)這名學(xué)生某高校自主招生考試成績(jī)〔總分為:分〕,獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下列圖,現(xiàn)從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生成績(jī),其中有名學(xué)生的成績(jī)是超過(guò)的,求的分布列與期望. 16 / 16