word 《初等數(shù)論》網(wǎng)絡作業(yè)1 1、證明整數(shù)能被1001整除。 證明：利用公式：假如n是正奇數(shù)，如此 ∴ ∴能夠整除 2、假如n是奇數(shù)，證明。 證明：設，如此 ∵ k，k＋1中必有一個是偶數(shù) ∴ 3、設正整數(shù)n的十進制表示為，其中，且 ，證明的充分必要條件是。 證明：∵， ∴ 對所有的，有 ∴ ∴的充分必要條件是 4、設是正奇數(shù)，證明對任意的正整數(shù)，不能整除。 證明：當n＝1時，結(jié)論顯然成立。 下面設，令 如此 利用公式：假如n是正奇數(shù)，如此 ∴ 對， ∴，是整數(shù) ∵ ∴ n＋2不能整除2S ∴ n＋2不能整除S 5、設n為正整數(shù)，證明。 證明：設 如此， ∴ ∴，即 ∴ 又∵ ∴ ∴ d＝1，即 6、設為正整數(shù)，證明。 證明：，另一方面 ∴ 7、設x，y都是實數(shù)，證明。 證明：設， 如此 ∵ ∴或 如果，如此顯然有 如果，如此a，b中至少有一個不小于，所以 因此，都有，從而 《初等數(shù)論》網(wǎng)絡作業(yè)2 1、設正整數(shù)的十進制表示為，即，證明當且僅當 證明：由 利用同余可加性和同余可乘性，得 ∴當且僅當 2、求被除的余數(shù)。 解：依次計算同余式得， ∴，即 ∴被641除的余數(shù)為0 3、設是一個使不能被5整除的自然數(shù)，試求除以的5的余數(shù)。 解：設， 對任意整數(shù)，有 當時，，但5不能整除， ∴ 當時，不能被5整除。 對于或，通過計算得，當時， 當時， 當時， ∴ 當是一個使不能被5整除的自然數(shù)時， 除以的5的余數(shù)為1或0或4。 4、求的個位數(shù)字。 解：∵ ∴ 如果，如此 ∵ ∴ ∴的個位數(shù)字是3 5、 設是整數(shù)，是正整數(shù)，假如2不能整除，如此 證明：對n作數(shù)學歸納。設， 當時，有，所以結(jié)論成立. 假設時，成立 下面要證明時，也成立 由于 ∴，其中為某個整數(shù) ∴ 由歸納法，對所有的正整數(shù)，成立 6、設是任意二個正奇數(shù)，如此當是任意二個連續(xù)奇數(shù)或連續(xù)偶數(shù)時，有.特別地，假如是二個連續(xù)的正奇數(shù)時，如此，且 證明：不妨設a，b是任意二個連續(xù)偶數(shù)， 如此，由于 且都是偶數(shù) ∴是偶數(shù) 設，如此 ∴ 7、設是整系數(shù)多項式，且都不能被整除，證明方程沒有整數(shù)解。 證明：對任意整數(shù)， 利用同余可加性和同余可乘性得 ∵都不能被整除 ∴，即沒有整數(shù)解。 《初等數(shù)論》網(wǎng)絡作業(yè)3 1、求不定方程的整數(shù)解。 解： 令，如此 令，如此 從而不可能同時為整數(shù) ∴ 原不定方程沒有整數(shù)解 2、甲種書每本5元，乙種書每本3元，丙種書1元三本，現(xiàn)用100元買這三種書共100本，問甲、乙、丙三種書各買多少本？ 解：設甲、乙、丙三種書分別買本，依題意得方程組 ，消去得， 顯然是方程的特解 因此方程的所有整數(shù)解是 令，所以，即可以取整數(shù)值 相應地求得的值分別是 3、求的一切整數(shù)解。 解：因為，而，所以原方程有整數(shù)解 對不定方程，即，把看做常數(shù)，得其通解為 對不定方程，解得通解為 在上述二個式子中消去得，原方程的全部整數(shù)解為 4、求不定方程的所有正整數(shù)解。 解：依次解不定方程 得和 在上述二個式子中消去得， 令，如此 ∴ ∴ 同理，由得，， 把代入得，原不定方程的唯一的正整數(shù)解是 5、求不定方程的所有整數(shù)解。 解：由于的系數(shù)絕對值最小， ∴ 把原方程變形為 令，如此 令，如此 逆推上去，依次解得和 令，如此原方程的所有整數(shù)解為 6、 解同余方程 解：因為，所以原同余方程只有一個解 下面利用同余變形法 ∵ 或者 ∴是原同余方程的解 7、解同余方程組 解：把第一個方程乘以2，減去第二個方程乘以3 得到，即，即，即 ∴ 代入得，即，即 ∴，即 ∴ 同余方程組的解是 8 / 8