2.4根式及其運算 2.4.1★化簡： （1）； （2）； （3）． 解析 （1）直接計算不是好辦法．注意到，于是 ． 故． （2）直接逐步展開太麻煩，觀察到式中因式都是、、，只不過符號不同而已．于是，我們將一些項適當(dāng)組合，利用平方差公式． ． （3） ， 所以，． 2.4.2★化簡： （1）； （2）（是自然數(shù)）； （3）； （4），． 解析 （1）原式 ． 因為，的零點分別是，，我們分情況討論如下： 當(dāng)時，原式； 當(dāng)時， 原式； 當(dāng)時，原式． （2）因為 ， 所以 ． （3）因為 ， 所以． （4）因為 ， 同理，． 故原式 ． 由于，，．且當(dāng)時，；而時，． 故當(dāng)時，原式； 當(dāng)時，原式． 2.4.3★化簡：． 解析1配方法： ， 故． 解析2 待定系數(shù)法： 設(shè)，則 ． 解主程組，得或． 從而， ． 解析3公式法： ． 評注本題解法中，配方法雖然較簡單，但對一些數(shù)字較大的題目，其解法仍困難．待定系數(shù)法雖然較麻煩，但它仍不失為一種普遍可行的方法． 2.4.4★★化簡：． 解析 被開方數(shù)中含有三個不同的根式，且系數(shù)都是2，可以看成是將平方得來的，因此用待定系數(shù)法來化簡．設(shè) ， 兩邊平方得 ． 所以 ②③④得 ． 因為、、均非負(fù)，所以，所以 ⑤②，有．同理有，．所求、、顯然滿足①，所以 原式． 2.4.5★★化簡： ． 解析 設(shè)原式，則 ， 顯然有，所以原式． 2.4.6★★化簡：． 解析1 利用來解． 設(shè)，兩邊立方得 ， 即． 將方程左端因式分解有 ． 因為，所以，．所以原式． 解析2 ． 同理．所以 原式． 評注 解析２看似簡單，但對于三次根號下的拼湊是很難的，因此本題解析1是一般常用的解法． 2.4.7★★化簡： ． 解析 由于，不為完全平方數(shù)，故對上式中每一項獨立化簡很困難．注意到與互為共軛根式．因此，我們可采取“以退為進(jìn)”的方法，即先平方，再開方． 設(shè)，則 ， ， 即．所以 ． 2.4.8★★化簡：． 解析 設(shè)，則 ． 而，所以 ． 即，． ． 由于無實數(shù)根，所以． 所以 ． 2.4.9★★設(shè)有正數(shù)，時，，求的值． 解析 因為 ． 所以 原式 ． 而，． 原式． 2.4.10★★計算： ． 解析 先將通項的分母有理化，并裂項，得 ， 所以，原式 ． 2.4.11★★求 的值． 解析 設(shè)根號內(nèi)的式子為，注意到，及平方差公式，所以 , 所以 原式． 2.4.12★★計算 ． 解析 原式 ． 2.4.13★★★計算： ． 解析考察中一般項，有 ． 所以 ． 2.4.14★★（1）求證： ； （2）計算：． 解析（1）因為 ， 上式兩邊開平方，得 ． （2）在（1）在令，，則 ， 所以，． 2.4.15★已知，求的值． 解析 因為，即．所以 ． 2.4.16★★記表示不超過的最大整數(shù)（如，等），求 的值． 解析 因為 ， 所以 ． 2.4.17★★若，，且，求的值． 解析 設(shè)，，那么 ，． 所以，， 于是，原式即 ， ， ． ， ． 即． 2.4.18★★已知函數(shù) ， 求的值． 解析 因為 ， 所以， ． 2.4.19★★設(shè)，，且 ， 求的值． 解析 因，可設(shè)，則，，．代入已知式得 ， 兩邊立方，化簡，得 ． 因為，，，所以 ． 2.4.20★★已知，，當(dāng)時，求 的值． 解析 當(dāng)時， ． ① 同樣（但請注意算術(shù)根！） ． ② 將①，②代入原式有 原式 2.4.21★★化簡 ． 解析 原式 ． 2.4.22★★化簡． 解析 ． 若，則 若，則 2.4.23★★化簡 ． 解析 因為 ， 所以 ． 2.4.24★★已知，．計算 ． 解析 由，得 ． 所以 ． 代入原式，得 評注 當(dāng)，時，其結(jié)果如下： 2.4.25★★已知，求的值． 解析 移項，兩邊平方，得 ， 化簡，得 ． 兩邊再平方，得 ， 整理得， 即， 所以． 2.4.26★★化簡： （1）； （2）． 解析 （1）原式 ． （2）原式 ． 評注 （2）也可用換元法來化簡： 令，則． 原式（因為） ． 2.4.27★★★化簡： ． 解析 用換元法 設(shè)，則，．所以 原式 ． 2.4.28★★若，計算 （共有200層）的值． 解析 先計算幾層，看一看有無規(guī)律可循． 因為，所以 ， 所以， 所以． 所以，不論多少層，原式． 2.4.29★★求根式的值． 解析 用構(gòu)造方程的方法來解．設(shè)原式為，利用根號的層數(shù)是無限的特點，有 ， 兩邊平方得 ， 即． 兩邊再平方得 ， 所以． 觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，2時，方程成立．因此，方程左端必有因式，將方程左端因式分解，有． 所以，，． 又因為，所以，，應(yīng)舍去，所以．即 原式． 2.4.30★★設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，試求的值． 解析 因為 ，而，所以，，所以 ． 16