DepartmentofEngineeringMechanicsTaiyuanUniversityofTechnology FLUIDMECHANICS Email casjeon Email illtlx PassWord 123456Tel 13700500252 Q YZhang 3 1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法 LagrangianMethod 研究組成整個(gè)運(yùn)動(dòng)流體的每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況 認(rèn)為流體的整個(gè)運(yùn)動(dòng)是每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的綜合 EulerianMethod 在流體所占據(jù)的空間中 對(duì)每一個(gè)固定點(diǎn) 研究流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)其力學(xué)量的變化情況 整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是空間各點(diǎn)流動(dòng)參量變化情況的綜合 第三章流體運(yùn)動(dòng)的描述 TrafficFlow 1 LagrangianMethod t0初始時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)在空間坐標(biāo)中所對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo) a b c 作為標(biāo)認(rèn)該流體質(zhì)點(diǎn)的參量 a b c 稱為L(zhǎng)agrange坐標(biāo)或隨體坐標(biāo) a b c 將代表不同的流體質(zhì)點(diǎn) a b c t 稱為L(zhǎng)agrange變量 若f以表示流體質(zhì)點(diǎn)的某一物理量 其描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式是 t時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的失徑以r表示 或 當(dāng)a b c恒定時(shí) 表示某一特定流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)情況 當(dāng)t恒定時(shí) 表示不同流體質(zhì)點(diǎn)在某一個(gè)特定的時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的分布情況及運(yùn)動(dòng)情況 同樣 壓強(qiáng)的Lagrange描述是p p a b c t 2 EulerianMethod 用空間點(diǎn)位置坐標(biāo) x y z 來(lái)表示某一確定點(diǎn) 稱 x y z 為Euler坐標(biāo)或空間坐標(biāo) 通常稱 x y z t 為Euler變量 若以f表示流體的某一個(gè)物理量 其Euler描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式是 任意t時(shí)刻 空間任意一點(diǎn) x y z 的V p T r將是 x y z t 的函數(shù) 即 若x y z為常量 上式表示在空間某一特定點(diǎn)上 V p T r隨時(shí)間的變化情況 若t恒定 則上式表示空間各個(gè)點(diǎn)在某一個(gè)特定時(shí)刻有關(guān)力學(xué)量的數(shù)值分布 V p r等有關(guān)力學(xué)量都是空間點(diǎn)坐標(biāo)x y z的函數(shù) 流場(chǎng)分類 場(chǎng)內(nèi)函數(shù)依不依賴于空間位置x y z分為均勻場(chǎng)和非均勻場(chǎng) 場(chǎng)內(nèi)函數(shù)依不依賴于t 分為定常場(chǎng)和非定常場(chǎng) 3 Lagrange描述與Euler描述之間的關(guān)系 設(shè)表達(dá)式f a b c t 表示流體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的物理量 如果設(shè)想流體質(zhì)點(diǎn) a b c 恰好在t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到空間點(diǎn) x y z 上 則應(yīng)有 設(shè)Euler表達(dá)式u u x y z t 及f F x y z t 常微分方程的解為 由t t0時(shí) r a b c 將此代入f F x y z t 即得到Lagrange描述 3 隨體導(dǎo)數(shù) 隨體導(dǎo)數(shù) 流體質(zhì)點(diǎn)物理量隨時(shí)間的變化率稱隨體導(dǎo)數(shù) 或物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) Lagrange描述中的隨體導(dǎo)數(shù)就是物理量函數(shù)f f x y z t 本身對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 即Euler描述中 f F x y z t 的變化以連鎖法則處理 f F x y z t 的隨體導(dǎo)數(shù)為 說(shuō)明 F t是時(shí)變導(dǎo)數(shù) 表示x y z不變時(shí) 在該空間點(diǎn)上的物理量的時(shí)間變化率 它是由物理量非定常性造成的 u F是位變導(dǎo)數(shù) 表示在非均勻場(chǎng) 梯度 F 空間位置變化引起 特例 1 u 0 流體靜止 2 F是均勻場(chǎng) F 0 3 u沿等F面方向 即流體質(zhì)點(diǎn)沿等F面運(yùn)動(dòng) u F u F 0 對(duì)于Euler描述而言 任何流體質(zhì)點(diǎn)物理量 不管是標(biāo)量還是矢量其隨體導(dǎo)數(shù)都類似于 對(duì)于速度 壓強(qiáng)和密度場(chǎng) 已知Euler描述的速度場(chǎng)u u x y z t 利用隨體導(dǎo)數(shù)求Euler描述下的加速度a a x y z t 注 已知采用Euler描述下的流體質(zhì)點(diǎn)速度場(chǎng) 其加速度的計(jì)算即速度的隨體導(dǎo)數(shù)可采用此公式計(jì)算 EXAMPLE3 1 1已知速度場(chǎng)ux 4x2 2y xy uy 3x y2 z 試問(wèn) 1 點(diǎn) 1 1 2 的加速度是多少 2 流動(dòng)是幾元流 3 流動(dòng)是恒定流還是非恒定流 解 代入點(diǎn) 1 1 2 得 EXAMPLE3 1 2流場(chǎng)的速度分布為 ux 6xy 5xt uy 3y2 uz 7xy2 5zt 求流體在點(diǎn) 2 1 4 和時(shí)間t 3時(shí)的速度 加速度 解 代入點(diǎn) 2 1 4 和時(shí)間t 3 得速度值為 由速度表達(dá)式可得加速度表達(dá)式為 代入點(diǎn) 2 1 4 和時(shí)間t 3 得速度值為ax 856 ay 18 az 880 3 2跡線 流線 流管和流束 跡線 流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)位置的聯(lián)線 跡線的概念直接與Lagrange描述聯(lián)系 對(duì)于Euler描述求跡線較為復(fù)雜 流線 描述流場(chǎng)中各點(diǎn)流動(dòng)方向的曲線 線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)在該時(shí)刻的速度矢量方向一致 注意 a 流線是指某一時(shí)刻的 而跡線是某一流體質(zhì)點(diǎn)的 b 定常流中流線與跡線完全重合 c 非定常流中一般不重合 流線的性質(zhì) 1 過(guò)一點(diǎn)只能有一條流線 2 流線不能轉(zhuǎn)折 EXAMPLE3 2 1已知ux x t uy y t uz 0 求t 0時(shí)經(jīng)點(diǎn)M 1 1 的流線和跡線 解 流線微分方程為其中t為參數(shù) 積分得 再求跡線 當(dāng)t 0 x y 1 1 所以c 1 經(jīng)點(diǎn)M 1 1 的流線為xy 1 當(dāng)t 0 x y 1 1 所以c1 c2 0 消去t得 流管 某瞬時(shí)t 在流場(chǎng)的空間中畫出任一不是流線的封閉曲線c 過(guò)該封閉曲線上每一點(diǎn)作流線 則這些流線組成的面稱為流管 流束 流管內(nèi)的流線組成一束 流面 由通過(guò)一條非流線的不封閉或封閉的曲線上每一點(diǎn)所作的那些流線所組成的曲面 流管的兩個(gè)重要特性 1 流體不能穿越流管2 當(dāng)封閉曲線的面積 A很小時(shí) 流管斷面可認(rèn)為物理量均勻分布 管狀流動(dòng) 流體朝一個(gè)方向流動(dòng)即流道的軸線方向流動(dòng) 這樣可以把空間近似看成一個(gè)流管 在數(shù)學(xué)上變成一維問(wèn)題 用斷面上平均物理量來(lái)代替斷面上的物理量的實(shí)際分布 流量 單位時(shí)間內(nèi)流體通過(guò)一定截面積的量 u 斷面上一點(diǎn)的流速 u 斷面上的平均流速 過(guò)流斷面 流道上與流線族成正交的面 其面積用A來(lái)表示 則斷面上的平均速度定義為 剪切流動(dòng) ux ay uy 0 uz 0 3 3速度分解定理 剛體運(yùn)動(dòng) 平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán) 平移運(yùn)動(dòng) 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng) Taylor公式 其中余項(xiàng)為 當(dāng)x0 0時(shí)為Maclaurin公式 以二維流動(dòng)為例 a 流體微團(tuán)的平移運(yùn)動(dòng)平移運(yùn)動(dòng)速度 ux uy uz A C點(diǎn)速度差 線變形速度 推廣到三維 單位體積膨脹率 b 流體微團(tuán)的線變形速度 c 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) B點(diǎn)具有轉(zhuǎn)動(dòng)效果的速度 C點(diǎn)具有轉(zhuǎn)動(dòng)效果的速度 規(guī)定 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正 B點(diǎn)相對(duì)于M點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度 C點(diǎn)相對(duì)于M點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度 對(duì)角線MF相對(duì)于M點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度為BM和CM這兩條邊旋轉(zhuǎn)角速度的平均值 推廣到三維 旋轉(zhuǎn)角速度的矢量 旋轉(zhuǎn)角速度的矢量按右手定則確定 d 流體微團(tuán)的角變形運(yùn)動(dòng) 角變形速度 定義 對(duì)角線MF與直角邊MC的夾角變形速度為流體微團(tuán)的角變形速度 記為ez 推廣到三維 柱坐標(biāo)形式如下 旋轉(zhuǎn)角速度 線變形速度 角變形速度 EXAMPLE3 3 1已知二維流速場(chǎng)為 ux x2y uy xy2 求 1 經(jīng)點(diǎn) 3 2 的流線方程 2 流體微團(tuán)在點(diǎn) 3 2 旋轉(zhuǎn)角速度 3 流體微團(tuán)在點(diǎn) 3 2 的線變形速度和角變形速度 解 由流線方程得 積分得 lnxy 0 xy C 有已知條件過(guò)點(diǎn) 3 2 得 C 6所以過(guò)點(diǎn) 3 2 的流線方程為 xy 6 流體微團(tuán)在點(diǎn) 3 2 旋轉(zhuǎn)角速度為 點(diǎn) 3 2 線變形速度為 點(diǎn) 3 2 角變形速度為 EXAMPLE3 3 2速度場(chǎng) ux 2y 3z uy 2z 3x uz 2x 3y 試分析點(diǎn) 1 1 1 處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 1 線變形速度 2 體積膨脹率 3 角變形速度 4 旋轉(zhuǎn)角速度 點(diǎn) 1 1 1 處的體積膨脹率為 解 點(diǎn) 1 1 1 處的線變形速度為 點(diǎn) 1 1 1 處轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 點(diǎn) 1 1 1 處角變形速度為 3 4Helmholtz速度分解定理 t時(shí)刻流場(chǎng)中取一點(diǎn)M0 x y z 鄰域中任一點(diǎn)M x dx y dy z dz 的速度分量為 ux uy uz 由泰勒級(jí)數(shù)展開 當(dāng) d r 為小量時(shí) 鄰點(diǎn)M的速度為 因此M點(diǎn)的速度可表示為 由此可見(jiàn) 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分為平移運(yùn)動(dòng) 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng) 3 5流體運(yùn)動(dòng)的分類 a 按運(yùn)動(dòng)形式分類 剪切流動(dòng) ux ay uy 0 uz 0 點(diǎn)渦運(yùn)動(dòng) ur 0 u b r剪切流動(dòng)點(diǎn)渦運(yùn)動(dòng)當(dāng)r 0時(shí) 無(wú)旋有旋 b 按流場(chǎng)與時(shí)間的關(guān)系分類 c 按流場(chǎng)與空間坐標(biāo)的關(guān)系分類 一維 元 二維 元 三維 元 定常流動(dòng)非定常流動(dòng)