第三節(jié)一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 考點(diǎn)一方案問題例1 2015 臨沂中考 新農(nóng)村社區(qū)改造中 有一部分樓盤要對(duì)外銷售 某樓盤共23層 銷售價(jià)格如下 第八層樓房售價(jià)為4000元 m2 從第八層起每上升一層 每平方米的售價(jià)提高50元 反之 樓層每下降一層 每平方米的售價(jià)降低30元 已知該樓盤每套樓房面積均為120m2 若購買者一次性付清所有房款 開發(fā)商有兩種優(yōu)惠方案 方案一 降價(jià)8 另外每套樓房贈(zèng)送a元裝修基金 方案二 降價(jià)10 沒有其他贈(zèng)送 1 請(qǐng)寫出售價(jià)y 元 m2 與樓層x 1 x 23 x取整數(shù) 之間的函數(shù)解析式 2 老王要購買第十六層的一套樓房 若他一次性付清購房款 請(qǐng)幫他計(jì)算哪種優(yōu)惠方案更加合算 分析 1 根據(jù)題意分別求出當(dāng)1 x 8時(shí) 每平方米的售價(jià)和當(dāng)8 x 23時(shí) 每平方米的售價(jià) 即可得解析式 2 根據(jù)購買方案一 二求出每套樓房總費(fèi)用的關(guān)系式 然后分情況討論即可確定哪種方案合算 自主解答 1 當(dāng)1 x 8時(shí) y 4000 30 8 x 4000 240 30 x 30 x 3760 當(dāng)8 x 23時(shí) y 4000 50 x 8 4000 50 x 400 50 x 3600 所求函數(shù)解析式為y 2 設(shè)每套樓房總費(fèi)用為w元 當(dāng)x 16時(shí) 方案一 w1 120 50 16 3600 92 a 485760 a 方案二 w2 120 50 16 3600 90 475200 當(dāng)w110560 當(dāng)w1 w2時(shí) 即485760 a 475200時(shí) a 10560 當(dāng)w1 w2時(shí) 即485760 a 475200時(shí) a 10560 因此 當(dāng)每套樓房贈(zèng)送裝修基金多于10560元時(shí) 選擇方案一更加合算 當(dāng)每套樓房贈(zèng)送裝修基金等于10560元時(shí) 兩種方案一樣 當(dāng)每套樓房贈(zèng)送裝修基金少于10560元時(shí) 選擇方案二更加合算 1 2016 臨沂中考 現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用 催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展 小明計(jì)劃給朋友快遞一部分物品 經(jīng)了解有甲 乙兩家快遞公司比較合適 甲公司表示 快遞物品不超過1kg的 按每千克22元收費(fèi) 超過1kg 超過的部分按每千克15元收費(fèi) 乙公司表示 按每千克16元收費(fèi) 另加包裝費(fèi)3元 設(shè)小明快遞物品xkg 1 請(qǐng)分別寫出甲 乙兩家快遞公司快遞該物品的費(fèi)用y 元 與x kg 之間的函數(shù)解析式 2 小明選擇哪家快遞公司更省錢 解 1 設(shè)用y甲表示甲公司的快遞費(fèi)用 用y乙表示乙公司的快遞費(fèi)用 當(dāng)0 x 1時(shí) y甲 22x 當(dāng)x 1時(shí) y甲 22 15 x 1 15x 7 y甲 y乙 16x 3 x 0 2 當(dāng)0 x 1時(shí) 令y甲 y乙 即22x 16x 3 則x 0 5 令y甲 y乙 即22x 16x 3 則0 5 x 1 令y甲 y乙 即22x 16x 3 則0 x 0 5 當(dāng)x 1時(shí) 令y甲 y乙 即15x 7 16x 3 則x 4 令y甲 y乙 即15x 7 16x 3 則1 x 4 令y甲 y乙 即15x 7 16x 3 則x 4 綜上所述 當(dāng)小明的快遞物品質(zhì)量小于0 5kg或大于4kg時(shí) 選擇甲公司更省錢 當(dāng)物品的質(zhì)量恰好等于0 5kg或4kg時(shí) 兩家公司費(fèi)用一樣 當(dāng)物品質(zhì)量大于0 5kg且小于4kg時(shí) 選擇乙公司更省錢 2 2018 莒南一模 莓好莒南幸福家園 2018年莒南縣第三屆草莓旅游文化節(jié)期間 甲 乙兩家草莓采摘園草莓品質(zhì)相同 銷售價(jià)格也相同 均推出了優(yōu)惠方案 甲采摘園的優(yōu)惠方案是 游客進(jìn)園需購買60元的門票 采摘的草莓六折優(yōu)惠 乙采摘園的優(yōu)惠方案是 游客進(jìn)園不需購買門票 采摘的草莓超過一定數(shù)量后 超過部分打折優(yōu)惠 優(yōu)惠期間 設(shè)某游客的草莓采摘量為x千克 在甲采摘園所需總費(fèi)用為y1元 在乙采摘園所需總費(fèi)用為y2元 圖中折線OAB表示y2與x之間的函數(shù)關(guān)系 1 求y1 y2與x的函數(shù)解析式 2 若選擇甲采摘園所需總費(fèi)用較少 請(qǐng)求出草莓采摘量x的范圍 解 1 由題意得y1 30 0 6x 60 18x 60 由圖可得 當(dāng)0 x 10時(shí) y2 30 x 當(dāng)x 10時(shí) 設(shè)y2 kx b 將 10 300 和 20 450 代入y2 kx b得解得 y2 15x 150 y2 2 當(dāng)0 x 10時(shí) 18x 60 30 x 解得x 5 5 x 10 當(dāng)x 10時(shí) 18x 60 15x 150 解得x 30 10 x 30 綜上所述 5 x 30時(shí) 滿足條件 答 若選擇甲采摘園所需總費(fèi)用較少 則草莓采摘量x的范圍是5 x 30 3 2018 泰安中考 文美書店決定用不多于20000元購進(jìn)甲 乙兩種圖書共1200本進(jìn)行銷售 甲 乙兩種圖書的進(jìn)價(jià)分別為每本20元 14元 甲種圖書每本的售價(jià)是乙種圖書每本售價(jià)的1 4倍 若用1680元在文美書店可購買甲種圖書的本數(shù)比用1400元購買乙種圖書的本數(shù)少10本 1 甲 乙兩種圖書的售價(jià)分別為每本多少元 2 書店為了讓利讀者 決定甲種圖書售價(jià)每本降低3元 乙種圖書售價(jià)每本降低2元 問書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤 購進(jìn)的兩種圖書全部銷售完 解 1 設(shè)乙種圖書售價(jià)每本x元 則甲種圖書售價(jià)為每本1 4x元 由題意得 10 解得x 20 經(jīng)檢驗(yàn) x 20是原方程的解 且符合題意 甲種圖書售價(jià)為每本1 4 20 28 元 答 甲種圖書售價(jià)每本28元 乙種圖書售價(jià)每本20元 2 設(shè)甲種圖書進(jìn)貨a本 總利潤為w元 則w 28 20 3 a 20 14 2 1200 a a 4800 又 20a 14 1200 a 20000 解得a w隨a的增大而增大 當(dāng)a最大時(shí) w最大 當(dāng)a 533本時(shí) w最大 此時(shí) 乙種圖書進(jìn)貨本數(shù)為1200 533 667 本 答 甲種圖書進(jìn)貨533本 乙種圖書進(jìn)貨667本時(shí)利潤最大 考點(diǎn)二行程問題例2 2018 臨沂中考 甲 乙兩人分別從A B兩地同時(shí)出發(fā) 勻速相向而行 甲的速度大于乙的速度 甲到達(dá)B地后 乙繼續(xù)前行 設(shè)出發(fā)xh后 兩人相距ykm 圖中折線表示從兩人出發(fā)至乙到達(dá)A地的過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系 根據(jù)圖中信息 求 1 點(diǎn)Q的坐標(biāo) 并說明它的實(shí)際意義 2 甲 乙兩人的速度 分析 1 先求出直線PQ的函數(shù)解析式 然后再求出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 由點(diǎn)Q位于x軸上 并聯(lián)系甲 乙的位置來描述它的實(shí)際意義 2 由點(diǎn)M可知甲已到達(dá)B地 由總路程為10km即可求出甲的速度 再由點(diǎn)Q的位置可知甲 乙相遇時(shí)的時(shí)間 由此建立方程可求出乙的速度 自主解答 1 設(shè)直線PQ的解析式為y kx b 代入點(diǎn) 0 10 和 得解得故直線PQ的解析式為y 10 x 10 當(dāng)y 0時(shí) x 1 故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 1 0 該點(diǎn)表示甲 乙兩人經(jīng)過1h相遇 2 由點(diǎn)M的坐標(biāo)可知甲經(jīng)過h到達(dá)B地 故甲的速度為10 6 km h 設(shè)乙的速度為xkm h 由兩人經(jīng)過1h相遇得1 x 6 10 解得x 4 故乙的速度為4km h 4 2018 沂水一模 已知 甲 乙兩車分別從相距300千米的A B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行 其中甲到達(dá)B地后立即返回 如圖是它們離各自出發(fā)地的距離y 千米 與行駛時(shí)間x 小時(shí) 之間的函數(shù)圖象 1 求甲車離出發(fā)地的距離y甲 千米 與行駛時(shí)間x 小時(shí) 之間的函數(shù)關(guān)系式 并寫出自變量的取值范圍 2 若已知乙車行駛的速度是40千米 小時(shí) 它們?cè)谛旭傔^程中何時(shí)相遇 解 1 當(dāng)0 x 3時(shí) 是正比例函數(shù) 設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y甲 k1x x 3時(shí) y 300 代入解得k1 100 y甲 100 x 當(dāng)3 x 時(shí) 是一次函數(shù) 設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y甲 k2x b 代入兩點(diǎn) 3 300 0 得 y甲 80 x 540 綜上所述 甲車離出發(fā)地的距離y甲 千米 與行駛時(shí)間x 小時(shí) 之間的函數(shù)關(guān)系式為 2 由題意得乙車離出發(fā)地的距離y乙 千米 與行駛時(shí)間x 小時(shí) 之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙 300 40 x 當(dāng)0 x 3時(shí) 解得x 當(dāng)3 x 時(shí) 解得x 6 答 兩車第一次相遇時(shí)間為第小時(shí) 第二次相遇時(shí)間為第6小時(shí) 5 2018 日照中考 低碳生活 綠色出行 的理念已深入人心 現(xiàn)在越來越多的人選擇騎自行車上下班或外出旅游 周末 小紅相約到郊外游玩 她從家出發(fā)0 5小時(shí)后到達(dá)甲地 游玩一段時(shí)間后按原速前往乙地 剛到達(dá)乙地 接到媽媽電話 快速返回家中 小紅從家出發(fā)到返回家中 行進(jìn)路程y km 隨時(shí)間x h 變化的函數(shù)圖象大致如圖所示 1 小紅從甲地到乙地騎車的速度為km h 2 當(dāng)1 5 x 2 5時(shí) 求出路程y km 關(guān)于時(shí)間x h 的函數(shù)解析式 并求乙地離小紅家多少千米 解 1 20 2 1 5 x 2 5時(shí) 設(shè)直線BC的解析式為y 20 x b 將點(diǎn)B 1 5 10 代入解析式得10 20 1 5 b 解得b 20 當(dāng)1 5 x 2 5時(shí) 直線BC的解析式為y 20 x 20 當(dāng)x 2 5時(shí) 解得y 30 答 乙地離小紅家30千米 考點(diǎn)三階梯問題例3 2017 臨沂中考 某市為節(jié)約水資源 制定了新的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 按照新標(biāo)準(zhǔn) 用戶每月繳納的水費(fèi)y 元 與每月用水量x m3 之間的關(guān)系如圖所示 1 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式 2 若某用戶二 三月份共用水40m3 二月份用水量不超過25m3 繳納水費(fèi)79 8元 則該用戶二 三月份的用水量各是多少立方米 分析 1 根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo) 利用待定系數(shù)法可得答案 2 根據(jù)題目中的等量關(guān)系 列出不等式和方程可得答案 自主解答 1 當(dāng)0 x 15時(shí) 設(shè)y mx 則15m 27 m 1 8 y 1 8x 當(dāng)x 15時(shí) 設(shè)y kx b 則 y與x的函數(shù)解析式是y 2 設(shè)二月份用水a(chǎn)m3 則三月份用水 40 a m3 二月份用水量不超過25m3 40 a 15 即三月份用水量不小于15m3 當(dāng)0 a 15時(shí) 由題意得1 8a 2 4 40 a 9 79 8 解得a 12 40 a 28 當(dāng)15 a 25時(shí) 兩個(gè)月用水量均不少于15m3 2 4a 9 2 4 40 a 9 79 8 整理得78 79 8 故此方程無解 綜上所述 該用戶二 三月份的用水量分別是12m3和28m3 6 2018 蘭陵一模 為增強(qiáng)公民的節(jié)約意識(shí) 合理利用天然氣資源 某市自1月1日起對(duì)市區(qū)民用管道天然氣價(jià)格進(jìn)行調(diào)整 實(shí)行階梯收費(fèi) 調(diào)整后的收費(fèi)價(jià)格如圖表所示 1 填空 a的值為 2 若調(diào)價(jià)后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y 元 請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍 3 若某用戶2 3月份共用氣175m3 3月份用氣量低于2月份用氣量 共繳費(fèi)455元 問該用戶2 3月份的用氣量各是多少m3 解 1 2 75 2 y 3 設(shè)乙用戶2月份用氣bm3 則3月份用氣 175 b m3 當(dāng)125 b 175時(shí) 175 b 75 則3b 50 2 5 175 b 455 解得b 135 175 135 40 滿足題意 當(dāng)75 b 125 175 b 75時(shí) 2 75b 18 75 2 5 175 b 455 解得b 145 不滿足題意 舍去 當(dāng)75 b 125 75 175 b 125時(shí) 2 75b 18 75 2 75 175 b 18 75 455 此方程無解 該用戶2 3月份的用氣量分別為135m3和40m3