第八章統(tǒng)計初步與概率 第32講概率 1 下列說法中不正確的是 A 明天下雨的概率是90 則明天不一定下雨B 必然事件的概率為1C 扔一枚均勻的硬幣正面朝上的概率是 扔一個圖釘 釘尖著地的概率也是D 數(shù)據(jù)5 2 3 0的平均數(shù)為1 C 2 甲箱裝有40個紅球和10個黑球 乙箱裝有60個紅球 40個黑球和50個白球 這些球除了顏色外沒有其他區(qū)別 攪勻兩箱中的球 從兩箱中分別任意摸出一個球 下列有關說法中正確的是 A 從甲箱摸到黑球的概率較大B 從乙箱摸到黑球的概率較大C 從甲 乙兩箱摸到黑球的概率相等D 無法比較從甲 乙兩箱摸到黑球的概率 B 3 2016 深圳市 數(shù)學老師將全班分成7個小組開展小組合作學習 采用隨機抽簽確定一個小組進行展示活動 則第3個小組被抽到的概率是 A B C D 4 已知某人在某種條件下射擊命中的概率是50 則他連續(xù)射擊兩次 其中恰有一次射中的概率是 A 25 B 33 3 C 50 D 75 A C 5 某校學生來自甲 乙 丙三個地區(qū) 其人數(shù)比2 3 5 如圖的扇形圖表示上述分布情況 已知來自甲地區(qū)的為180人 則下列說法中不正確的是 A 扇形甲的圓心角是72 B 學生的總?cè)藬?shù)是900人C 丙地區(qū)的人數(shù)比乙地區(qū)的人數(shù)多180人D 甲地區(qū)的人數(shù)比丙地區(qū)的人數(shù)少180人 D 6 2017 深圳市 在一個不透明的袋子里 有2個黑球和1個白球 除了顏色外全部相同 任意摸兩個球 摸到1黑1白的概率是 7 2018 黃石市 在一個不透明的布袋中裝有標著數(shù)字2 3 4 5的4個小球 這4個小球的材質(zhì) 大小和形狀完全相同 現(xiàn)從中隨機摸出兩個小球 這兩個小球上的數(shù)字之積大于9的概率為 8 2016 襄陽市 一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個黑球 4個白球和若干個紅球 每次搖勻后隨機摸出一個球 記下顏色后再放回袋中 通過大量重復摸球試驗后 發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0 4 由此可估計袋中約有紅球 個 8 9 2016 成都市 在四張編號為A B C D的卡片 除編號外 其余完全相同 的正面分別寫上如圖所示正整數(shù)后 背面朝上 洗勻放好 現(xiàn)從中隨機抽取一張 不放回 再從剩下的卡片中隨機抽取一張 1 請用畫樹狀圖或列表的方法表示兩次抽取卡片的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果 卡片用A B C D表示 2 我們知道 滿足a2 b2 c2的三個正整數(shù)a b c成為勾股數(shù) 求抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率 解 1 畫樹狀圖如下 共有12種等可能的結(jié)果數(shù) 2 抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的結(jié)果數(shù)有6種 所以抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率為 考點一確定事件和隨機事件1 確定事件 1 必然事件 在一定條件下 有些事情我們事先能肯定它 發(fā)生 這些事情稱為必然事件 2 不可能事件 在一定條件下 有些事情我們事先能肯定它 發(fā)生 這些事情稱為不可能事件 2 隨機事件 在一定條件下 有些事情我們事先 它會不會發(fā)生 這些事情稱為不確定事件 也稱為隨機事件 一定會 一定不會 無法肯定 考點二隨機事件發(fā)生的可能性一般地 隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的 不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同 對隨機事件發(fā)生的可能性的大小 我們利用反復試驗所獲取一定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)可以預測它們發(fā)生機會的大小 要評判一些游戲規(guī)則對參與游戲者是否公平 就是看它們發(fā)生的可能性是否一樣 所謂判斷事件發(fā)生的可能性是否相同 就是要看各事件發(fā)生的可能性的大小是否一樣 用數(shù)據(jù)來說明問題 考點三概率的意義與表示方法1 概率的意義 一般地 在大量重復試驗中 如果事件A發(fā)生的頻率都會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近擺動 那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率 2 事件和概率的表示方法 一般地 事件用英文大寫字母A B C 表示 事件A的概率p 可記為P A p 考點四確定事件和隨機事件的概率之間的關系1 確定事件的概率 1 當A是必然發(fā)生的事件時 P A 1 2 當A是不可能發(fā)生的事件時 P A 0 2 確定事件的概率和隨機事件的概率之間的關系 考點五古典概型1 古典概型的定義 某個試驗若具有如下特點 在一次試驗中 可能出現(xiàn)的結(jié)果有有限多個 在一次試驗中 各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等 我們就把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型 2 古典概型的概率的求法 一般地 如果在一次試驗中 有n種可能的結(jié)果 并且它們發(fā)生的可能性都相等 事件A包含其中的m種結(jié)果 那么事件A發(fā)生的概率為 考點六列表法求概率1 列表法 用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法 2 列表法的應用場合 當一次試驗要涉及兩個因素 并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時 為了不重復不遺漏地列出所有可能的結(jié)果 通常采用列表法求概率 考點七畫樹狀圖法求概率1 畫樹狀圖法 通過畫樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果 求出其概率的方法叫做畫樹狀圖法 2 運用畫樹狀圖法求概率的條件 當一次試驗要涉及三個或更多的因素時 用列表法就不方便了 為了不重復不遺漏地列出所有可能的結(jié)果 通常采用畫樹狀圖法求概率 考點八用頻率估計概率1 用頻率估計概率 在同樣條件下 做大量的重復試驗 一個隨機事件發(fā)生的 逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù) 利用這個事件發(fā)生的頻率可以估計這個事件發(fā)生的 2 模擬試驗 利用替代物模擬實際事物而進行的試驗 頻率 概率 例題1 袋中裝有大小相同的2個紅球和2個綠球 1 先從袋中摸出1個球后放回 混合均勻后再摸出1個球 求第一次摸到綠球 第二次摸到紅球的概率 求兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概率 2 先從袋中摸出1個球后不放回 再摸出1個球 則兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概率是多少 請直接寫出結(jié)果 考點 列表法與畫樹狀圖法 分析 1 首先根據(jù)題意畫出樹狀圖 然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與第一次摸到綠球 第二次摸到紅球的情況 再利用概率公式即可求得答案 首先由 求得兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的情況 再利用概率公式即可求得答案 2 先從袋中摸出1個球后不放回 再摸出1個球 所有等可能的結(jié)果為4 3 12 種 且兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的有8種情況 由此直接利用概率公式求解即可求得答案 解 1 畫樹狀圖 得 共有16種等可能的結(jié)果 第一次摸到綠球 第二次摸到紅球的有4種情況 第一次摸到綠球 第二次摸到紅球的概率為 兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的有8種情況 兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概率為 2 先從袋中摸出1個球后不放回 再摸出1個球 所有等可能的結(jié)果為4 3 12 種 且兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的有8種情況 兩次摸到的球中有1個綠球和1個紅球的概率為 例題2 2016 威海市 一個盒子里有標號分別為1 2 3 4 5 6的六個小球 這些小球除標號數(shù)字外都相同 1 從盒中隨機摸出一個小球 求摸到標號數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率 2 甲 乙兩人用著六個小球玩摸球游戲 規(guī)則是 甲從盒中隨機摸出一個小球 記下標號數(shù)字后放回盒里 充分搖勻后 乙再從盒中隨機摸出一個小球 并記下標號數(shù)字 若兩次摸到小球的標號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù) 則判甲贏 若兩次摸到小球的標號數(shù)字為一奇一偶 則判乙贏 請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲?qū)?乙兩人是否公平 考點 列表法與畫樹狀圖法 分析 1 直接利用概率公式進而得出答案 2 畫出樹狀圖 得出所有等可能的情況數(shù) 找出兩次摸到小球的標號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)的情況數(shù) 即可求出甲贏的概率 找出兩次摸到小球的標號數(shù)字為一奇一偶的情況數(shù) 即可求出乙贏的概率 概率相等 則游戲公平 不相等則不公平 解 1 有標號為1 2 3 4 5 6六個小球 摸到標號數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率為 2 畫樹狀圖如下 由樹狀圖可知 共有36種等可能的情況 其中兩次摸到小球的標號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)的有18種 摸到小球的標號數(shù)字為一奇一偶的結(jié)果有18種 P 甲 P 乙 P 甲 P 乙 這個游戲?qū)?乙兩人是公平的