第5講尺規(guī)作圖 1 能用尺規(guī)完成以下基本作圖 作一條線段等于已知線段 作一個(gè)角等于已知角 作一個(gè)角的平分線 作一條線段的垂直平分線 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線 2 會(huì)利用基本作圖作三角形 已知三邊作三角形 已知兩邊及其夾角作三角形 已知兩角及其夾邊作三角形 已知底邊及底邊上的高作等腰三角形 已知一直角邊和斜邊作直角三角形 3 會(huì)利用基本作圖完成 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓 作三角形的外接圓 內(nèi)切圓 作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 4 在尺規(guī)作圖中 了解尺規(guī)作圖的道理 保留作圖痕跡 不要求寫(xiě)作法 1 2017年山東棗莊 如圖4 5 1 在Rt ABC中 C 90 以頂點(diǎn)A為圓心 適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 分別交AC AB于點(diǎn)M 弧交于點(diǎn)P 作射線AP交邊BC于點(diǎn)D 若CD 4 AB 15 則 ABD的面積是 圖4 5 1 A 15 B 30 C 45 D 60 答案 B 2 2017年浙江衢州 下列圖4 5 2四種基本尺規(guī)作圖分別表示 作一個(gè)角等于已知角 作一個(gè)角的平分線 作一條線段的垂直平分線 過(guò)直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線 則 對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是 圖4 5 2 A B C D 答案 C 3 如圖4 5 3 已知 AOB和射線O B 用尺規(guī)作圖法 作 A O B AOB 要求保留作圖痕跡 圖4 5 3 解 如圖D43 圖D43 4 2012年廣東 如圖4 5 4 在 ABC中 AB AC ABC 72 1 用直尺和圓規(guī)作 ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D 保 留作圖痕跡 不要求寫(xiě)作法 2 在 1 中作出 ABC的平分線BD后 求 BDC的度數(shù) 圖4 5 4 解 1 如圖D44 2 在 ABC中 AB AC ABC 72 A 180 2 ABC 180 144 36 BD是 ABC的平分線 BDC是 ABD的外角 BDC A ABD 36 36 72 圖D44 5 2013年廣東 如圖4 5 5 已知平行四邊形ABCD 1 作圖 延長(zhǎng)BC 并在BC的延長(zhǎng)線上截取線段CE 使得CE BC 用尺規(guī)作圖法 保留作圖痕跡 不要求寫(xiě)作法 2 在 1 的條件下 連接AE 交CD于點(diǎn)F 求證 AFD EFC 圖4 5 5 1 解 如圖D45 2 證明 四邊形ABCD是平行四邊形 AD BC AD BC BC CE AD CE AD BC DAF CEF 在 AFD和 EFC中 圖D45 AFD EFC AAS 基本作圖與應(yīng)用 例1 2017年四川自貢 兩個(gè)城鎮(zhèn)A B與一條公路CD 一條河流CE的位置如圖4 5 6 某人要修建一避暑山莊 要求該山莊到A B的距離必須相等 到CD和CE的距離也必須相等 且在 DCE的內(nèi)部 請(qǐng)畫(huà)出該山莊的位置P 不要求寫(xiě)作法 保留作圖痕跡 圖4 5 6 思路分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知 到CD和CE的距離相等的點(diǎn)在 ECD的平分線上 所以第一步作 ECD的平分線CF 根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知 到A B的距離相等的點(diǎn)在AB的垂直平分線上 所以第二步 作線段AB的垂直平分線MN 其交點(diǎn)就是P點(diǎn) 解 如圖4 5 7 作法 作 ECD的平分線CF 圖4 5 7 作線段AB的垂直平分線MN MN與CF交于點(diǎn)P 則點(diǎn)P就是山莊的位置 試題精選 1 2017年廣西貴港 如圖4 5 8 尺規(guī)作圖 不寫(xiě)作法 保留 作圖痕跡 已知線段a和 AOB 點(diǎn)M在OB上 1 在OA邊上作點(diǎn)P 使OP 2a 2 作 AOB的平分線 3 過(guò)點(diǎn)M作OB的垂線 圖4 5 8 解 如圖D46 1 點(diǎn)P為所求 2 OC為所求 3 MD為所求 圖D46 作圖與證明 例2 2017年福建 如圖4 5 9 ABC中 BAC 90 AD BC 垂足為D 求作 ABC的平分線 分別交AD AC于P Q兩點(diǎn) 并證明AP AQ 要求 尺規(guī)作圖 保留作圖痕跡 不寫(xiě)作法 圖4 5 9 思路分析 按作圖方法作出角平分線BQ 然后通過(guò)利用互為余角以及等角的余角相等得到 APQ AQP 從而證得AP AQ 解 如圖4 5 10 BQ就是所求作的 ABC的平分線 P Q就是所求作的點(diǎn) 圖4 5 10 證明如下 AD BC ADB 90 BPD PBD 90 BAC 90 AQP ABQ 90 ABQ PBD BPD AQP BPD APQ APQ AQP AP AQ 試題精選 2 如圖4 5 11 在 ABC中 AB AC DAC是 ABC 的一個(gè)外角 實(shí)驗(yàn)與操作 根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖 并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母 保留作圖 痕跡 不寫(xiě)作法 1 作 DAC的平分線AM 2 作線段AC的垂直平分線 與AM交于點(diǎn)F 與BC邊交 于點(diǎn)E 連接AE CF 猜想并證明 猜想四邊形AECF的形狀并加以證明 圖4 5 11 解 1 如圖D47 圖D47 2 四邊形AECF的形狀為菱形 理由如下 AB AC ABC ACB AM平分 DAC DAM CAM DAC ABC ACB CAM ACB EF垂直平分AC OA OC AOF COE AOF COE OF OE 即AC和EF互相垂直平分 四邊形AECF的形狀為菱形 名師點(diǎn)評(píng) 中考通常以基本的尺規(guī)作圖為載體 在具體情境中醞釀與構(gòu)建圖形之間的形狀 位置 大小關(guān)系 進(jìn)而對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算 探究 發(fā)現(xiàn)與證明 作圖與計(jì)算 例3 2017年浙江嘉興 如圖4 5 12 已知 ABC B 40 1 在圖中 用尺規(guī)作出 ABC的內(nèi)切圓O 并標(biāo)出 O與邊AB BC AC的切點(diǎn)D E F 保留痕跡 不必寫(xiě)作法 2 連接EF DF 求 EFD的度數(shù) 圖4 5 12 思路分析 1 用尺規(guī)作圖的方法 作出 A和 C的角平 分線的交點(diǎn)即為內(nèi)切圓O 2 由切線的性質(zhì)可得 ODB OEB 90 已知 B的度數(shù) 根據(jù)四邊形內(nèi)角和360度 可求得 DOE 由圓周角定理可求得 EFD 解 1 如圖4 5 13 圓O即為所求 圖4 5 13 2 如圖4 5 13 連接OD OE 則OD AB OE BC ODB OEB 90 又 B 40 DOE 140 EFD 70 試題精選 3 2016年四川涼山州 如圖4 5 14 在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中 ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別是A 4 3 B 4 1 把 ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 后得到 A1B1C 1 畫(huà)出 A1B1C 直接寫(xiě)出點(diǎn)A1 B1的坐標(biāo) 2 求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 ABC所掃過(guò)的面積 圖4 5 14 解 1 所求作 A1B1C如圖D48 圖D48 由A 4 3 B 4 1 可建立如圖D48所示的平面直角坐標(biāo)系 則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 1 4 點(diǎn)B1的坐標(biāo)為 1 4 1 2017年廣東 如圖4 5 15 在 ABC中 A B 1 作邊AB的垂直平分線DE 與AB BC分別相交于點(diǎn)D E 用尺規(guī)作圖 保留作圖痕跡 不要求寫(xiě)作法 2 在 1 的條件下 連接AE 若 B 50 求 AEC的度 數(shù) 圖4 5 15 解 1 如圖D49 圖D49 2 DE是AB的垂直平分線 AE BE EAB B 50 AEC EAB B 100 2 2016年廣東 如圖4 5 16 已知 ABC中 D為AB的中 點(diǎn) 1 請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E 并連接DE 保留 作圖痕跡 不要求寫(xiě)作法 2 在 1 條件下 若DE 4 求BC的長(zhǎng) 圖4 5 16 解 1 如圖D50 圖D50 2 由三角形中位線定理 知BC 2DE 8 3 2015年廣東 如圖4 5 17 已知銳角三角形ABC 1 過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線MN 交BC于點(diǎn)D 用尺規(guī)作 圖法 保留作圖痕跡 不要求寫(xiě)作法 DC的長(zhǎng) 圖4 5 17 解 1 如圖D51 圖D51 2 AD BC ADB ADC 90 4 2014年廣東 如圖4 5 18 點(diǎn)D在 ABC的邊AB上 且 ACD A 1 作 BDC的平分線DE 交BC于點(diǎn)E 用尺規(guī)作圖法 保留作圖痕跡 不要求寫(xiě)作法 2 在 1 的條件下 判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系 不 要求證明 圖4 5 18 解 1 如圖D52 圖D52 2 DE AC