第2講圖形的相似 1 了解比例的性質(zhì) 線段的比 成比例的線段 通過(guò)建筑 藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割 2 通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似 了解相似多邊形和相似 比 3 掌握兩條直線被一組平行線所截 所得的對(duì)應(yīng)線段成比 例 4 了解相似三角形的性質(zhì)定理 相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比 等于相似比 面積比等于相似比的平方 5 了解兩個(gè)三角形相似的判定定理 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 6 了解圖形的位似 知道利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小 7 會(huì)用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 1 如圖5 2 1 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點(diǎn) DE BC BE與CD相交于點(diǎn)F 則下列結(jié)論一定正確的 是 圖5 2 1 答案 A 2 如圖5 2 2 已知 ABC DEF AB DE 1 2 則下 列等式一定成立的是 圖5 2 2 答案 D 3 2017年湖南湘潭 如圖5 2 3 在 ABC中 D E分別是邊AB AC的中點(diǎn) 則 ADE與 ABC的面積比S ADE S ABC 圖5 2 3 答案 1 4 4 2017年湖北恩施 如圖5 2 4 在 ABC中 DE BC ADE EFC AD BD 5 3 CF 6 則DE的長(zhǎng)為 圖5 2 4 答案 10 5 2017年四川宜賓 如圖5 2 5 O的內(nèi)接正五邊形ABCDE的對(duì)角線AD與BE相交于點(diǎn)G 若 AE 2 則EG的長(zhǎng)是 圖5 2 5 解析 在 O的內(nèi)接正五邊形ABCDE中 設(shè)EG x 易知 AEB ABE EAG 36 BAG AGB 72 AB BG AE 2 AEG AEB EAG EBA AEG BEA AE2 EG EB 22 x x 2 解得x 1 續(xù)表 續(xù)表 續(xù)表 相似三角形的判定與性質(zhì)例1 2017年湖北武漢節(jié)選 已知四邊形的一組對(duì)邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E 1 2 圖5 2 6 1 如圖5 2 6 1 若 ABC ADC 90 求證ED EA EC EB 思路分析 1 證明 EAB ECD 即可得解 2 過(guò)點(diǎn)C作CG AD于點(diǎn)G 過(guò)點(diǎn)A作AH BC于點(diǎn)H 在Rt CDG中利用已知條件即可求出DG CG的長(zhǎng) 再根據(jù) CDE的面積即可求出ED的長(zhǎng) 在 ABH中可求出BH AH的長(zhǎng) 利用構(gòu)造 ECG EAH可求出EH的長(zhǎng) 再利用S四邊形ABCD S AEH S ECD S ABH即可求解 點(diǎn)評(píng) 此題的關(guān)鍵是尋找相似三角形 構(gòu)造相似三角形 利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決問(wèn)題 1 證明 ADC 90 EDC 90 ABE CDE 又 AEB CED EAB ECD ED EA EC EB 2 解 如圖5 2 7 過(guò)點(diǎn)C作CG AD于點(diǎn)G 過(guò)點(diǎn)A作 AH BC于點(diǎn)H 圖5 2 7 DG 3 CG 4 S CED 6 ED 3 EG 6 試題精選 1 2017年甘肅白銀 如圖5 2 8 一張三角形紙片ABC C 90 AC 8cm BC 6cm 現(xiàn)將紙片折疊 使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合 那么折痕長(zhǎng)等 于 cm 圖5 2 8 解析 取AB的中點(diǎn)M 過(guò)點(diǎn)M作MN AB交AC于點(diǎn)N 因?yàn)锳C 8 BC 6 所以AB 10 則AM 5 因?yàn)?AMN 2 2016年四川巴中 如圖5 2 9 點(diǎn)D E分別為 ABC的邊AB AC上的中點(diǎn) 則 ADE的面積與四邊形BCED的面積 的比為 圖5 2 9 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 1 答案 B 3 2017年山東濰坊 如圖5 2 10 在 ABC中 AB AC D E分別為邊AB AC上的點(diǎn) AC 3AD AB 3AE 點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn) 添加一個(gè)條件 可以使得 FDB與 ADE相似 只需寫出一個(gè) 圖5 2 10 解析 DF AC 或 BFD A ADE ACB 當(dāng)DF AC時(shí) BDF BAC BDF EAD 當(dāng) BFD A時(shí) B AED FBD AED 故答案為DF AC 或 BFD A 答案 DF AC 或 BFD A 解題技巧 1 相似的判定方法可類比全等三角形的判定方法 找對(duì)應(yīng)邊 角 時(shí)應(yīng)遵循一定的對(duì)應(yīng)原則 如長(zhǎng) 大 對(duì)長(zhǎng) 大 短 小 對(duì)短 小 或找相等的邊 角 幫助確定 2 利用相似三角形的性質(zhì)可以證明有關(guān)線段成比例 角相等 也可計(jì)算三角形中邊的長(zhǎng)度或角的大小 關(guān)鍵要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的確認(rèn)及性質(zhì)的綜合運(yùn)用 尤其是在運(yùn)用相似圖形的面積比等于相似比的平方時(shí) 不要漏了 平方 相似三角形的綜合應(yīng)用 例2 2015年陜西 晚飯后 小聰和小軍在社區(qū)廣場(chǎng)散步 小聰問(wèn)小軍 你有多高 小軍一時(shí)語(yǔ)塞 小聰思考片刻 提議用廣場(chǎng)照明燈下的影長(zhǎng)及地磚長(zhǎng)來(lái)測(cè)量小軍的身高 于是 兩人在燈下沿直線NQ移動(dòng) 如圖5 2 11 當(dāng)小聰正好站在廣場(chǎng)的A點(diǎn) 距N點(diǎn)5塊地磚長(zhǎng) 時(shí) 其影長(zhǎng)AD恰好為1塊地磚長(zhǎng) 當(dāng)小軍正好站在廣場(chǎng)的B點(diǎn) 距N點(diǎn)9塊地磚長(zhǎng) 時(shí) 其影長(zhǎng)BF恰好為2塊地磚長(zhǎng) 已知廣場(chǎng)地面由邊長(zhǎng)為0 8米的正方形地磚鋪成 小聰?shù)纳砀逜C為1 6米 MN NQ AC NQ BE NQ 請(qǐng)你根據(jù)以上信息 求出小軍身高BE的長(zhǎng) 結(jié)果精確到0 01米 圖5 2 11 思路分析 先證明 CAD MND 利用相似三角形的性質(zhì)求得MN 9 6 再證明 EFB MFN 即可解答 解 由題意 得 CAD MND 90 CDA MDN MN 9 6 又 EBF MNF 90 EFB MFN EB 1 75 小軍身高約為1 75米 思想方法 運(yùn)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題時(shí) 關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證相似三角形和利用相似比求線段的長(zhǎng) 試題精選 4 2017年黑龍江齊齊哈爾 經(jīng)過(guò)三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形 如果其中一個(gè)是等腰三角形 另外一個(gè)三角形和原三角形相似 那么把這條線段定義為原三角形的 和諧分割線 如圖5 2 12 線段CD是 ABC的 和諧分割線 ACD為等腰三角形 CBD和 ABC相似 若 A 46 則 ACB的度數(shù)為 圖5 2 12 解析 BCD BAC BCD A 46 ACD是等腰三角形 ADC BCD ADC A 即AC CD ACB 67 46 113 當(dāng)DA DC時(shí) ACD A 46 ACB 46 46 92 故答案為113 或92 答案 113 或92 圖形的位似5 2016年山東東營(yíng) 如圖5 2 13 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn)A 3 6 B 9 3 以原點(diǎn)O為位似中心 相似比為 把 ABO縮小 則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A 的坐標(biāo)是 A 1 2 B 9 18 C 9 18 或 9 18 圖5 2 13 D 1 2 或 1 2 答案 D A 2 3 B 3 2 C 4 5 D 4 9 答案 A 圖5 2 14 6 2017年黑龍江綏化 如圖5 2 14 A B C 是 ABC以點(diǎn)O為位似中心經(jīng)過(guò)位似變換得到的 若 A B C 的面積與 ABC的面積比是4 9 則OB OB為 圖5 2 15 A B C D 答案 A 2 2015年廣東 若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2 3 則它 們的面積比是 答案 4 9 3 2013年廣東 如圖5 2 16 在矩形ABCD中 以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造另一個(gè)矩形BDEF 使得另一邊EF過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C 1 設(shè)Rt CBD的面積為S1 Rt BFC的面積為S2 Rt DCE的面積為S3 則S1 S2 S3 用 填空 2 寫出圖中的三對(duì)相似三角形 并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明 圖5 2 16 答案 1 2 BCD CFB DEC證明BCD DEC 證明 EDC BDC 90 CBD BDC 90 EDC CBD 又 BCD DEC 90 BCD DEC 4 2017年廣東 如圖5 2 17 AB是 O的直徑 AB 點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn) 不與O B重合 作CE OB 交 O于點(diǎn)C 垂足為點(diǎn)E 作直徑CD 過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P AF PC于點(diǎn)F 連接CB 1 求證 CB是 ECP的平分線 2 求證 CF CE 結(jié)果保留 圖5 2 17 1 證明 OC OB OCB OBC PF是 O的切線 CE AB OCP CEB 90 PCB OCB 90 BCE OBC 90 BCE BCP CB平分 ECP 2 證明 如圖D72 連接AC AB是直徑 ACB 90 圖D72 BCP ACF 90 ACE BCE 90 BCP BCE ACF ACE F AEC 90 AC AC ACF ACE CF CE 3 解 如圖D72 作BM PF于M 則CE CM CF 設(shè)CE CM CF 3a PC 4a PM a BM2 CM PM 3a2 5 2014年廣東 如圖5 2 18 在 ABC中 AB AC AD BC于點(diǎn)D BC 10cm AD 8cm 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā) 在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng) 與此同時(shí) 垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā) 以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移 分別交AB AC AD于E F H 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí) 點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 t 0 1 當(dāng)t 2時(shí) 連接DE DF 求證 四邊形AEDF為菱形 2 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 所形成的 PEF的面積存在最大值 當(dāng) PEF的面積最大時(shí) 求線段BP的長(zhǎng) 3 是否存在某一時(shí)刻t 使 PEF為直角三角形 若存在 請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 圖5 2 18 1 證明 當(dāng)t 2時(shí) DH AH 4 則H為AD的中點(diǎn) 如圖D73 又 EF AD EF為AD的垂直平分線 AE DE AF DF AB AC AD BC于點(diǎn)D AD BC B C 圖D73 EF BC AEF B AFE C AEF AFE AE AF AE AF DE DF 即四邊形AEDF為菱形 圖D74 3 解 存在 理由如下 若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn) 如圖D75 此時(shí)PE AD PE DH 2t BP 3t 此種情形不存在 若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn) 如圖D76 此時(shí)PF AD PF DH 2t BP 3t CP 10 3t 圖D75 圖D76 圖D77 若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn) 如圖D77 過(guò)點(diǎn)E作EM BC于點(diǎn)M 過(guò)點(diǎn)F作FN BC于點(diǎn)N 則EM FN DH 2t EM FN AD