大題加練(一)姓名：_班級(jí)：_用時(shí)：_分鐘1數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若ACBACDABDADB60°，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長CB到E，使BECD，連接AE，證得ABEADC，從而容易證明ACE是等邊三角形，故ACCE，所以ACBCCD.小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AD重合，從而容易證明ACF是等邊三角形，故ACCF，所以ACBCCD.在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1)小穎提出：如圖4，如果把“ACBACDABDADB60°”改為ACBACDABDADB45°”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并給出證明；(2)小華提出：如圖5，如果把“ACBACDABDADB60°”改為“ACBACDABDADB30°”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并給出證明2【問題情境】 在ABC中，BABC，ABC(0°180°)，點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AP，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ，旋轉(zhuǎn)角為)，連接CQ.【特例分析】 (1)當(dāng)90°，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過P作PFAC交直線AB于點(diǎn)F，如圖1，易得圖中與APF全等的一個(gè)三角形是_，ACQ_°；【拓展探究】 (2)當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上，ABACmn時(shí)，如圖2，試求線段BP與CQ的比值；【問題解決】 (3)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，60°，APB30°，CP4時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CQ的長參考答案1解：(1)BCCDAC.證明如下：如圖，延長CD至E，使DEBC，連接AE.ABDADB45°，ABAD，BAD180°ABDADB90°.ACBACD45°，ACBACD90°，BADBCD180°，ABCADC180°.ADCADE180°，ABCADE.在ABC和ADE中，ABCADE(SAS)，ACBAED45°，ACAE，ACE是等腰直角三角形，CEAC.CECDDECDBC，BCCDAC.(2)BCCDAC.證明如下：如圖，延長CD至E，使DEBC.ABDADB30°，ABAD，BAD180°ABDADB120°.ACBACD30°，ACBACD60°，BADBCD180°，ABCADC180°.ADCADE180°，ABCADE.在ABC和ADE中，ABCADE(SAS)，ACBAED30°，ACAE，AEC30°.如圖，過點(diǎn)A作AFCE于F，CE2CF.在RtACF中，ACD30°，CFAC·cosACDAC，CE2CFAC.CECDDECDBC，BCCDAC.2解：(1)PQC90(2)如圖，過P作PFAC，交BA的延長線于F，則.又ABBC，AFCP.FAPABCAPBAPB，CPQAPQAPBAPB，F(xiàn)APCPQ.由旋轉(zhuǎn)可得PAPQ，AFPPCQ，F(xiàn)PCQ.PFAC，ABCFBP，.(3)線段CQ的長為2或8.理由如下：如圖，當(dāng)P在CB的延長線上時(shí)，CPQAPQAPB60°30°30°，APCQPC.又APQP，PCPC，APCQPC，CQAC.又BABC，ABC60°，ABC是等邊三角形，ABC60°，BAPABCAPB30°，BPABBCPC2，QCACBC2.如圖，當(dāng)P在BC的延長線上時(shí)，連接AQ.由旋轉(zhuǎn)可得APQP，APQABC60°，APQ是等邊三角形，AQPQ，APQ60°AQP.又APB30°，ACB60°，CAP30°，CPQ90°，CAPCPA，ACPC，ACQPCQ，AQCPQCAQP30°，RtPCQ中，CQ2CP8.綜上所述，線段CQ的長為2或8.5