第一部分夯實(shí)基礎(chǔ)提分多 第三單元函數(shù) 第15課時二次函數(shù)的綜合性問題 例1如圖 已知拋物線y x2 bx c與直線AB相交于A 3 0 B 0 3 兩點(diǎn) 與x軸的另一個交點(diǎn)為C 拋物線對稱軸為直線l 頂點(diǎn)為D 對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E 1 求直線AB的解析式及點(diǎn)D 點(diǎn)C的坐標(biāo) 重難點(diǎn)精講優(yōu)練 例1題圖 思維教練 要求直線AB的解析式 可先設(shè)其一般式 將A B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得 再分別代入y x2 bx c求出待定系數(shù) 將解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求得點(diǎn)D坐標(biāo) 令y 0 解關(guān)于x的方程即可求出函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 解 1 設(shè)直線AB的解析式為y kx d k 0 將A 3 0 B 0 3 兩點(diǎn)分別代入直線解析式 得 3k d 0k 1d 3 d 3 直線AB的解析式為y x 3 將A 3 0 B 0 3 兩點(diǎn)分別代入拋物線的解析式 得 解得 9 3b c 0b 2c 3 c 3 拋物線的解析式為y x2 2x 3 化為頂點(diǎn)式得y x 1 2 4 拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 1 4 令y 0 得 x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 1 0 解得 2 已知M是y軸上一點(diǎn) 連接AM DM 若AM DM 且AM DM 求點(diǎn)M的坐標(biāo) 例1題圖 思維教練 由于點(diǎn)M是y軸上的坐標(biāo) 則yM OM 又由于AM DM 可過D作y軸垂線DE AOM和 MED構(gòu)成 一線三等角 的全等三角形 即可得到OM長度 從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo) 解 如解圖 過點(diǎn)D作DE y軸交于點(diǎn)E AM DM AMO DME 90 MAO AMO 90 MAO DME AM MD AOM DEM 90 Rt AMO Rt MDE AAS MO DE 1 點(diǎn)M的坐標(biāo)為 0 1 例1題解圖 3 求 ABC的面積及四邊形AOBD的面積 思維教練 要求 ABC的面積 可以以AC為底 BO為高來計(jì)算 對于求不規(guī)則圖形的面積 常將所求圖形分割成幾個可以直接利用面積公式計(jì)算的規(guī)則圖形 通過規(guī)則圖形的面積和或差計(jì)算求解 如本題中求四邊形AOBD的面積 因其形狀不規(guī)則 例1題圖 故可將其分割為Rt ADE與直角梯形OBDE 分別求出其面積再相加 即可得到四邊形AOBD的面積 解 點(diǎn)A 3 0 點(diǎn)B 0 3 點(diǎn)C 1 0 AO 3 OC 1 OB 3 AC 4 BO AC S ABC AC BO 4 3 6 連接AD DB 如解圖 點(diǎn)D 1 4 DE x軸 于點(diǎn)E 點(diǎn)E 1 0 AE 2 OE 1 DE 4 S四邊形AOBD S ADE S梯形OBDE AE DE BO DE OE 2 4 3 4 1 例1題解圖 例1題圖 4 在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)G 使得S ACG 2 若存在 求點(diǎn)G的坐標(biāo) 若不存在 說明理由 思維教練 觀察圖形可知 ACG的面積為AC yG 過點(diǎn)G作GG x軸交于點(diǎn)G 設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為g 以AC為底 GG 為高即可得到S ACG關(guān)于g的函數(shù)解析式 再令用g表示的 S ACG為2 求解即可 解 假設(shè)存在點(diǎn)G 使得S ACG 2 連接AG GC 如解圖 點(diǎn)G在x軸上方的拋物線上 過點(diǎn)G作GG x軸交于點(diǎn)G 設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為 g g2 2g 3 則 g2 2g 3 0 例1題解圖 S ACG AC GG 4 g2 2g 3 4 g2 2g 3 2 解得g1 1 g2 1 滿足題意的點(diǎn)G有兩個 坐標(biāo)為 1 1 1 1 例1題圖 5 在x軸上是否存在一點(diǎn)P 使得PB PD的值最小 若存在 求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 思維教練 作D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D 連接BD 則BD 與x軸交點(diǎn)即為P點(diǎn) 解 5 存在 理由如下 如解圖 作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D D 1 4 連接BD 交x軸于點(diǎn)P 此時PB PD的值最小 為BD 的長 例1題解圖 設(shè)直線BD 解析式為y kx b k 0 則 解得 直線BD 解析式為y 7x 3 當(dāng)y 0時 x 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 0 例1題圖 6 已知點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p ABP的面積為S 求S關(guān)于p的函數(shù)解析式 當(dāng)p為何值時 S有最大值 最大值是多少 思維教練 要求 ABP的面積 可構(gòu)造平行于y軸的邊 即過點(diǎn)P作PP y軸交直線AB于點(diǎn)P 則PP 將 ABP分成 APP 和 BPP 兩部分 據(jù)此求出 ABP的面積 結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出其最大值即可 解 6 如解圖 點(diǎn)P在拋物線上 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 p p2 2p 3 過點(diǎn)P作PP y軸交直線AB于點(diǎn)P 則P p p 3 則PP p2 2p 3 p 3 p2 3p 例1題解圖 S ABP OA PP 3 p2 3p p2 p 即S p2 p p 2 點(diǎn)P在第二象限的拋物線上 3 p 0 0 當(dāng)p 時 S有最大值 最大值為 例2如圖 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 拋物線與x軸交于點(diǎn)A 1 0 B 3 0 與y軸交于點(diǎn)C 直線BC的解析式為y kx 3 拋物線的頂點(diǎn)為D 對稱軸與直線BC交于點(diǎn)E 與x軸交于點(diǎn)F 1 求拋物線的解析式 例2題圖 思維教練 已知A B點(diǎn)坐標(biāo) 可將拋物線解析式設(shè)為交點(diǎn)式 然后代入C點(diǎn)坐標(biāo) 求解即可 而C點(diǎn)是直線y kx 3與y軸的交點(diǎn) 只需令x 0 求出y的值即可求得C點(diǎn)坐標(biāo) 解 1 A 1 0 B 3 0 可設(shè)拋物線的解析式為y a x 1 x 3 直線BC的解析式為y kx 3 令x 0 得y 3 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 3 將C 0 3 代入 得 3a 3 解得a 1 拋物線的解析式為y x 1 x 3 x2 2x 3 2 連接CA CF 判斷 CAF的形狀 并說明理由 思維教練 觀察題圖猜想 CAF是以AC FC為腰的等腰三角形 又CO AF 所以只需求證AO FO即可 A點(diǎn)坐標(biāo)已知 F點(diǎn)為對稱軸與x軸的交點(diǎn) 只需根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸即可 例2題圖 解 CAF是等腰三角形 理由如下 拋物線的對稱軸為x 1 點(diǎn)F的坐標(biāo)為 1 0 AO OF 1 CO AF CO是線段AF的垂直平分線 CA CF CAF是等腰三角形 3 x軸上是否存在點(diǎn)G 使得 ACG是以AC為底邊的等腰三角形 若存在 求出點(diǎn)G的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 思維教練 當(dāng) ACG是以AC為底邊的等腰三角形時有AG CG 設(shè)出點(diǎn)G坐標(biāo) 然后表示出AG和CG 列關(guān)系式即可求解 若有解 則存在 否則不存在 例2題圖 解 存在 如解圖 作AC的垂直平分線 交x軸于點(diǎn)G 則點(diǎn)G即為所求 設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為 g 0 在Rt COG中 CO 3 OG g 由勾股定理得CG2 CO2 OG2 9 g2 又 AG g 1 AG CG g 1 2 9 g2 解得g 4 此時點(diǎn)G的坐標(biāo)為 4 0 例2題解圖 4 連接CD BD 判斷 CBD和 CDE的形狀 并說明理由 思維教練 過點(diǎn)C作CC DE于點(diǎn)C 分別計(jì)算出CD2 BC2 BD2 再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定 CBD的形狀 結(jié)合DC EC 得到CD CE 即可判定 CDE的形狀 例2題圖 解 CBD為直角三角形 CDE為等腰直角三角形 理由如下 如解圖 過點(diǎn)C作CC DE于點(diǎn)C 由 1 知 y x2 2x 3 x 1 2 4 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 1 4 在Rt DCC 中 由勾股定理得CD2 2 在Rt BDF中 由勾股定理得BD2 DF2 例2題解圖 BF2 20 又 BC2 OB2 OC2 18 BC2 CD2 BD2 CBD是以 DCB為直角的直角三角形 CC DE DC 1 直線BC的解析式為y x 3 點(diǎn)E的坐標(biāo)為 1 2 EC 1 DC EC CC 垂直平分DE CD CE CDE是等腰三角形 又 DCB 90 CDE是等腰直角三角形 5 在x軸上是否存在點(diǎn)G使得 BGE是直角三角形 若存在 求出點(diǎn)G的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 思維教練 由 EBO 90 可知要使 BGE是直角三角形 只需分 EGB 90 或 GEB 90 兩種情況討論即可求解 例2題圖 解 存在 理由如下 點(diǎn)G在x軸上 設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為 g 0 i 由EF x軸 易得當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)F重合時 BEG是以 EGB為直角的直角三角形 此時點(diǎn)G的坐標(biāo)為 1 0 ii 當(dāng)GE EB即 GEB 90 時 EBG 45 EGB 45 EG EB EF BG GF BF 2 點(diǎn)G與點(diǎn)A重合 其坐標(biāo)為 1 0 使 BGE為直角三角形的點(diǎn)G坐標(biāo)為 1 0 或 1 0