第一部分夯實(shí)基礎(chǔ)提分多 第三單元函數(shù) 第11課時(shí)一次函數(shù)及其應(yīng)用 直線y kx b k b是常數(shù) 且k 0 的圖象由k和b的符號(hào)決定 基礎(chǔ)點(diǎn)巧練妙記 一次函數(shù)y kx b k 0 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 令y 0 得x 則交點(diǎn)坐標(biāo)為 0 與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 令x 0 則y b 則交點(diǎn)坐標(biāo)為 0 b 特別地 正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) 0 0 1 已知函數(shù)y kx的函數(shù)值隨x的增大而增大 則函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) A 第一 二象限B 第一 三象限C 第二 三象限D(zhuǎn) 第二 四象限 B 2 關(guān)于直線l y kx k k 0 下列說(shuō)法不正確的是 A 點(diǎn) 0 k 在l上B l經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 1 0 C 當(dāng)k 0時(shí) y隨x的增大而增大D l經(jīng)過(guò)第一 二 三象限 D 3 已知點(diǎn)M 1 a 和點(diǎn)N 2 b 是一次函數(shù)y 2x 1圖象上的兩點(diǎn) 則a與b的大小關(guān)系是 4 在一次函數(shù)y 1 m x 1中 若y的值隨x值的增大而減小 則m的取值范圍為 a b m 1 1 待定系數(shù)法求表達(dá)式 1 設(shè) 設(shè)一次函數(shù)一般式y(tǒng) kx b 2 代 把已知條件 關(guān)鍵是圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 代入解析式得到關(guān)于待定系數(shù)k b的方程 組 3 求 解方程 組 求出待定系數(shù)k b的值 4 寫(xiě) 依據(jù)k b值寫(xiě)出一次函數(shù)表達(dá)式 2 一次函數(shù)圖象的平移左右平移 y kx by k x m b 上下平移 y kx by kx b n 口訣 左加右減 上加下減 5 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2 3 和點(diǎn) 2 5 則這個(gè)函數(shù)解析式為 6 把直線y 2x 1向上平移2個(gè)單位 所得直線的解析式是 再將平移后的解析式向左平移3個(gè)單位 所得直線的解析式是 y 2x 1 y 2x 1 y 2x 7 1 一次函數(shù)與一次方程 組 的關(guān)系 1 一次函數(shù)y ax b a b是常數(shù) a 0 的圖象與 交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 一元一次方程ax b 0的解 2 兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo) 兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解 x軸 2 一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系 1 如圖 不等式kx b 0的解集 一次函數(shù)圖象位于x軸上方部分對(duì)應(yīng)x的取值范圍 不等式kx b 0的解集 一次函數(shù)圖象位于x軸下方部分對(duì)應(yīng)x的取值范圍 圖 2 如圖 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 m n 那么不等式k1x b1 k2x b2的解集是 x m 圖 重難點(diǎn)精講優(yōu)練 類(lèi)型1 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例1已知一次函數(shù)y 2x 4 1 在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中 畫(huà)出函數(shù)的圖象 例1題圖 例1題解圖 解 1 如解圖 2 求圖象與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo) 與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo) 解 對(duì)于y 2x 4 令x 0 則y 4 令y 0 則x 2 函數(shù)圖象y 2x 4經(jīng)過(guò) 0 4 2 0 兩點(diǎn) A 2 0 B 0 4 3 在 2 條件下 求 AOB的面積 解 A 2 0 B 0 4 OA 2 OB 4 S AOB OA OB 2 4 4 故 AOB的面積為4 4 利用圖象直接寫(xiě)出 當(dāng)y 0時(shí) x的取值范圍 解法提示 由函數(shù)圖象可看出 當(dāng)x 2時(shí) 函數(shù)圖象在x軸的下方 此時(shí)y 0 當(dāng)x 2時(shí) 函數(shù)圖象在x軸的上方 此時(shí)y 0 解 x 2 練習(xí)1已知一次函數(shù)y kx b x的圖象與x軸的正半軸相交 且函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大 則k b的取值情況為 A k 1 b 0B k 1 b 0C k 0 b 0D k 0 b 0 A 練習(xí)2一次函數(shù)y x b與y x 1的圖象之間的距離等于3 則b的值為 A 2或4B 2或 4C 4或 6D 4或6 解析 設(shè)直線y x 1與x軸交點(diǎn)為C 與y軸交點(diǎn)為A 過(guò)點(diǎn)A作AD 直線y x b于點(diǎn)D 如解圖所示 練習(xí)2題解圖 直線y x 1與x軸交點(diǎn)為C 與y軸交點(diǎn)為A 點(diǎn)A 0 1 點(diǎn)C 0 OA 1 OC 34 AC 54 cos ACO 35 BAD與 CAO互余 ACO與 CAO互余 BAD ACO AD 3 cos BAD AB 5 直線y x b與y軸的交點(diǎn)為B 0 b AB b 1 5 解得 b 4或b 6 練習(xí)3已知直線y 2x 3 a 與x軸的交點(diǎn)在A 2 0 B 3 0 之間 包括A B兩點(diǎn) 則a的取值范圍是 7 a 9 解析 直線y 2x 3 a 與x軸的交點(diǎn)在A 2 0 B 3 0 之間 包括A B兩點(diǎn) 2 x 3 令y 0 則2x 3 a 0 解得x 則2 3 解得7 a 9 類(lèi)型2 一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 例2 2017連云港 某藍(lán)莓種植生產(chǎn)基地產(chǎn)銷(xiāo)兩旺 采摘的藍(lán)莓部分加工銷(xiāo)售 部分直接銷(xiāo)售 且當(dāng)天都能銷(xiāo)售完 直接銷(xiāo)售是40元 斤 加工銷(xiāo)售是130元 斤 不計(jì)損耗 已知基地雇傭20名工人 每名工人只能參與采摘和加工其中一項(xiàng)工作 每人每天可以采摘70斤或加工35斤 設(shè)安排x名工人采摘藍(lán)莓 剩下的工人加工藍(lán)莓 1 若基地一天的總銷(xiāo)售收入為y元 求y與x的函數(shù)關(guān)系式 信息梳理 安排x名工人采摘藍(lán)莓 則加工藍(lán)莓人數(shù)為 20 x 名 根據(jù)題意可得 40 70 x 35 20 x 130 35 20 x 解 1 已知基地雇傭20名工人 安排x名工人采摘藍(lán)莓 加工藍(lán)莓的工人為 20 x 名 又 銷(xiāo)售總收入 直接銷(xiāo)售收入 加工銷(xiāo)售收入 根據(jù)題意得 y 70 x 20 x 35 40 20 x 35 130 350 x 63000 2 試求如何分配工人 才能使一天的銷(xiāo)售收入最大 并求出最大值 解 70 x 35 20 x 解得x 203 又 x為正整數(shù) 且x 20 7 x 20 且x為正整數(shù) 由 1 知y 350 x 63000 350 0 y隨x的增大而減小 當(dāng)x 7時(shí) y取最大值 最大值為 350 7 63000 60550 答 安排7名工人進(jìn)行采摘 13名工人進(jìn)行加工 才能使一天的收入最大 最大收入為60550元 例3為了追求更舒適的出行體驗(yàn) 利用網(wǎng)絡(luò)呼叫專(zhuān)車(chē)的打車(chē)方式受到大眾歡迎 據(jù)了解在非高峰期時(shí) 某種專(zhuān)車(chē)所收取的費(fèi)用y 元 與行駛里程x km 的函數(shù)關(guān)系如圖所示 請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題 例3題圖 1 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 思維教練 根據(jù)所給函數(shù)圖象可知在0 x 3和x 3這兩段所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象不同 可考慮分別計(jì)算0 x 3 x 3對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式 根據(jù)圖象上數(shù)據(jù)信息 運(yùn)用待定系數(shù)法即可得出函數(shù)關(guān)系式 自主解答 解 1 由函數(shù)圖象可得 當(dāng)0 x 3時(shí) y 12 設(shè)當(dāng)x 3時(shí) y與x的函數(shù)關(guān)系式為y kx b 根據(jù)題意得 解得 即y 2 2x 5 4 y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y 3k b 12 8k b 23 k 2 2 b 5 4 12 0 x 3 2 2x 5 4 x 3 2 若專(zhuān)車(chē)低速行駛 時(shí)速 12km h 每分鐘另加0 4元的低速費(fèi) 不足1分鐘的部分按1分鐘計(jì)算 某乘客有一次在非高峰期乘坐專(zhuān)車(chē) 途中低速行駛了6分鐘 共付費(fèi)32元 求這位乘客乘坐專(zhuān)車(chē)的行駛里程 思維教練 要求這位乘客的行駛里程 應(yīng)先根據(jù)專(zhuān)車(chē)行駛的費(fèi)用 另外收取的低速費(fèi)用 32元 判斷該行駛里程屬于 1 中的哪一區(qū)間 0 x 3或x 3 然后運(yùn)用相應(yīng)的函 數(shù)關(guān)系式 求出x的值即可 自主解答 解 由 1 知若該乘客乘坐專(zhuān)車(chē)的行駛里程不超過(guò)3km 則應(yīng)付費(fèi)12 0 4 6 14 4 元 32 元 其行駛里程數(shù)大于3km 由 1 可得 2 2x 5 4 6 0 4 32 解得x 11 答 這位乘客乘坐專(zhuān)車(chē)的行駛里程是11km 練習(xí)4某酒廠每天生產(chǎn)A B兩種品牌的白酒共600瓶 A B兩種品牌的白酒每瓶的成本和利潤(rùn)如下表 設(shè)每天生產(chǎn)A種品牌的白酒x瓶 每天獲利y元 1 請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式 解 1 由題意可知 每天生產(chǎn)A種品牌的白酒x瓶 則每天生產(chǎn)的B種品牌的白酒 600 x 瓶 則有 y 20 x 15 600 x 5x 9000 其中 解得0 x 600 x為整數(shù) y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式 y 5x 9000 0 x 600 x為整 x 0 600 x 0 數(shù) 2 如果該酒廠每天至少投入成本26400元 那么每天至少獲利多少元 解 由題意可知 50 x 35 600 x 26400 0 x 600 x為整數(shù) 解得 x 360 x的范圍為 360 x 600 且x為整數(shù) 每天獲利y 5x 9000 y隨著x的增大而增大 x 360時(shí) y有最小值為10800元 答 該酒廠每天至少獲利10800元 1 求函數(shù)解析式 先設(shè)函數(shù)解析式y(tǒng) kx b 文字型 從題干中 提取兩組有關(guān)的量 不同的自變量及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 將其代入解析式中列方程組求解 表格型 運(yùn)輸分配類(lèi)表格一般涉及到兩種貨物和兩個(gè)目的地 使用x分別表示出兩種貨物分別運(yùn)往兩個(gè)目的地的數(shù)量 然后寫(xiě)出函數(shù)解析式 自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)表格則直接從表格中任選2組對(duì)應(yīng)值 使用待定系數(shù)法求解析式 圖象型 任意找出函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn) 常用到的有圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 起點(diǎn) 轉(zhuǎn)折點(diǎn) 終點(diǎn)等 將其坐標(biāo)分別代入解析式中列方程組求出函數(shù)解析式 若函數(shù)圖象為分段函數(shù) 注意要選同一段函數(shù)圖象上兩點(diǎn)坐標(biāo) 代入求值 依照此方法分別計(jì)算出各段函數(shù)的解析式 最后記得加上各段函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍 2 利潤(rùn)最大或費(fèi)用最小問(wèn)題 此類(lèi)問(wèn)題都是利用一次函數(shù)增減性來(lái)解決 在自變量的取值范圍內(nèi) 根據(jù)函數(shù)圖象的增減性及自變量取值 確定函數(shù)的最小 大 值 3 方案選取問(wèn)題 通常每種方案對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)解析式 求最大或最小值 根據(jù)解析式分類(lèi)討論 比較各種方案在給定的自變量取值下的最優(yōu)結(jié)果 寫(xiě)出最優(yōu)方案 根據(jù)題意列不等式求出自變量的取值 再看題中給出的自變量值在哪個(gè)范圍內(nèi) 進(jìn)而選取方案