18 2 3正方形 1 正方形的性質(zhì)正方形的四條邊都 四個(gè)角都是 正方形既是矩形又是菱形 它既有矩形的性質(zhì) 又有菱形的性質(zhì) 2 正方形的判定 1 有一組鄰邊的矩形是正方形 2 有一個(gè)角是的菱形是正方形 3 正方形的軸對(duì)稱(chēng)性正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 它有條對(duì)稱(chēng)軸 分別是兩條所在的直線和過(guò)對(duì)邊兩個(gè)的直線 相等 直角 相等 直角 四 對(duì)角線 中點(diǎn) 探究點(diǎn)一 正方形的性質(zhì) 例1 2018遵義 如圖 正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O 點(diǎn)E F分別在AB BC上 AE BE 且 EOF 90 OE DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M OF AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N 連接MN 1 求證 OM ON 導(dǎo)學(xué)探究 1 證 OAM 可得OM ON OBN 1 證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形 所以O(shè)A OB DAO 45 OBA 45 所以 OAM OBN 135 因?yàn)?EOF 90 AOB 90 所以 AOM BON 在 OAM與 OBN中 AOM BON OA OB OAM OBN 所以 OAM OBN 所以O(shè)M ON 2 若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4 E為OM的中點(diǎn) 求MN的長(zhǎng) 導(dǎo)學(xué)探究 2 作OH AD 求OM的長(zhǎng)可得到MN OM 1 在正方形中 證明線段相等 通常證明三角形全等 2 在正方形中 計(jì)算線段的長(zhǎng)度 往往需要借助勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì) 例2 2018舟山 如圖 等邊 AEF的頂點(diǎn)E F在矩形ABCD的邊BC CD上 且 CEF 45 求證 矩形ABCD是正方形 探究點(diǎn)二 正方形的判定 導(dǎo)學(xué)探究 1 要證明矩形ABCD是正方形 只要證明AB 2 證明 ABE ADF 可得 AD AB AD 證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形 所以 B D C 90 因?yàn)?AEF是等邊三角形 所以AE AF AEF AFE 60 因?yàn)?CEF 45 所以 CFE CEF 45 所以 AEB AFD 180 45 60 75 在 ABE與 ADF中 B D AEB AFD AE AF 所以 ABE ADF 所以AB AD 所以矩形ABCD是正方形 1 已知菱形 可證明一個(gè)內(nèi)角為直角得到正方形 2 已知矩形 可證明一組鄰邊相等得到正方形 1 下列說(shuō)法正確的是 A 有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形 B 有一組鄰邊相等的四邊形是正方形 C 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 D 四條邊都相等的四邊形是正方形2 2018石家莊期中 若正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm 則這個(gè)正方形的面積為 C B 3 ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O 且AC BD 請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 使得 ABCD為正方形 BAD 90 答案不唯一 4 2018會(huì)寧模擬 如圖 在正方形ABCD中 E為CD上一點(diǎn) 點(diǎn)F在BE上 AF AB 連接BD FD 若 BAF 58 則 BDF的度數(shù)為 29 5 如圖 已知正方形ABCD P是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn) E為AD上的點(diǎn) 且 EPB 90 PM AD PN AB 垂足分別為M N 1 求證 四邊形PMAN是正方形 證明 1 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形 所以 BAD 90 AC平分 BAD 因?yàn)镻M AD PN AB 所以PM PN PMA PNA 90 所以四邊形PMAN是正方形 2 求證 EM BN