第2課時 等腰三角形與直角三角形 1 理解等腰三角形的有關(guān)概念 探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個底角相等 底邊上的高線 中線及頂角平分線重合 探索并掌握等腰三角形的判定定理 有兩個底角相等的三角形是等腰三角形 2 探索等邊三角形的性質(zhì)定理 等邊三角形的各角都等于60 探索等邊三角形的判定定理 三個角都相等的三角形 或有一個角是60 的等腰三角形 是等邊三角形 3 探索并證明角平分線的性質(zhì)定理 角平分線上的點到角兩邊的距離相等 反之 角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上 4 理解線段垂直平分線的概念 探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等 反之 到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上 5 了解直角三角形的概念 探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理 直角三角形的兩個銳角互余 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形 6 探索勾股定理及其逆定理 并能運用它們解決一些簡單 的實際問題 1 2017年浙江麗水 等腰三角形的一個內(nèi)角為100 則頂 角的度數(shù)是 答案 100 2 2017年黑龍江綏化 在等腰三角形ABC中 AD BC交 答案 30 或150 或90 3 2017年浙江臺州 如圖4 2 26 點P是 AOB平分線上一點 PD OB 垂足為D 若PD 2 則點P到邊OA的距 離是 圖4 2 26 A 1 B 2 C D 4 答案 B 4 2017年江西 如圖4 2 27中的圖甲是一把園林剪刀 把它抽象為圖乙 其中OA OB 若剪刀張開的角為30 則 A 度 圖4 2 27答案 75 5 如圖4 2 28 在 ABC中 AC BC C 90 D是AB的中點 DE DF 點E F分別在AC BC上 求證 DE DF 圖4 2 28 解 如圖D13 連接CD 圖D13 C 90 D是AB的中點 AC BC CD AB ACD B 45 CDF BDF 90 ED DF EDF 90 EDC CDF 90 EDC BDF ECD FBD DE DF 續(xù)表 等腰 邊 三角形的性質(zhì)與判定 例1 2017年北京 如圖4 2 29 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于點D 求證 AD BC 圖4 2 29 思路分析 由等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理 可求出 ABD A C BDC 再根據(jù)等角對等邊 及等量代換即可求解 C BDC A ABD AD BD BC AD BC 名師點評 本題主要考查等腰三角形的性質(zhì) 三角形的內(nèi)角和定理 三角形的外角性質(zhì) 鄰補角的定義等 熟練地運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵 試題精選 1 2017年吉林 如圖4 2 30 在 ABC中 以點B為圓心 以BA長為半徑畫弧交邊BC于點D 連接AD 若 B 40 C 36 則 DAC的度數(shù)是 圖4 2 30 A 70 B 44 C 34 D 24 答案 C 2 2017年湖北鄂州 如圖4 2 31 AB CD E為CD上一點 射線EF經(jīng)過點A EC EA 若 CAE 30 則 BAF 圖4 2 31 A 30 B 40 C 50 D 60 答案 D 3 如圖4 2 32 在 ABC中 AB AC AD是BC邊上的 中線 BE AC于點E 求證 CBE BAD 圖4 2 32 證明 AB AC AD是BC邊上的中線 BE AC CBE C CAD C 90 CAD BAD CBE BAD 名師點評 解決與等腰三角形相關(guān)的計算問題時 一定要分清頂角和底角 底邊和腰 適當(dāng)情況下應(yīng)該分類討論 找出正確答案 證明兩條線段 兩個角相等的常用方法 若它們在同一個三角形中 可利用角證邊或用邊證角 若它們在不同的三角形中 則通過證兩個三角形全等來實現(xiàn) 角平分線與垂直平分線例2 2017年湖北荊州 如圖4 2 33 在 ABC中 AB AC A 30 AB的垂直平分線l交AC于點D 則 CBD的 度數(shù)為 圖4 2 33A 30 B 45 C 50 D 75 思路分析 根據(jù) 等邊對等角 及三角形的內(nèi)角和定理 求出 C 再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì) 推得 A ABD 30 由外角的性質(zhì)求出 BDC的度數(shù) 從而得出 CBD 45 解析 AB AC A 30 ABC ACB 75 AB的垂直平分線交AC于D AD BD A ABD 30 BDC 60 CBD 180 75 60 45 答案 B 例3 如圖4 2 34 在 ABC中 CD平分 ACB交AB于點D DE AC于點E DF BC于點F 且BC 4 DE 2 則 BCD的面積是 圖4 2 34 解析 CD是 ACB的平分線 DE AC DF BC DE DF 2 答案 4 易錯陷阱 角平分線上的點到角的兩邊的距離相等 注意 必須是垂直距離 否則不成立 試題精選 4 2016年湖北黃石 如圖4 2 35 線段AC的垂直平分線交 線段AB于點D A 50 則 BDC 圖4 2 35A 50 B 100 C 120 D 130 答案 B 5 2016年浙江湖州 如圖4 2 36 AB CD BP和CP分別平分 ABC和 DCB AD過點P 且與AB垂直 若AD 8 則 點P到BC的距離是 圖4 2 36 A 8 B 6 C 4 D 2 答案 C 勾股定理及其應(yīng)用例4 2017年湖北荊州 九章算術(shù) 中的 折竹抵地 問題 今有竹高一丈 末折抵地 去根六尺 問折高者幾何 意思是 一根竹子 原高一丈 一丈 10尺 一陣風(fēng)將竹子折斷 其竹梢恰好抵地 抵地處離竹子底部6尺遠 問折斷處離地面的高度是多少 設(shè)折斷處離地面的高度為x尺 則可列方程為 A x2 6 10 x 2B x2 62 10 x 2C x2 6 10 x 2D x2 62 10 x 2 思路分析 根據(jù)題意畫出圖形 設(shè)折斷處離地面的高度 為x尺 再利用勾股定理列出方程即可 解析 如圖4 2 37 設(shè)折斷處離地面的高度為x尺 則AB 10 x BC 6 圖4 2 37 在Rt ABC中 AC2 BC2 AB2 即x2 62 10 x 2 答案 D 試題精選 6 小明聽說 武黃城際列車 已經(jīng)開通 便設(shè)計了如下問題 如圖4 2 38 以往從黃石A坐客車到武昌客運站B 現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C 再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B 設(shè)AB 80km BC 20km ABC 120 請你幫助小明解決以下問題 圖4 2 38 1 求A C之間的距離 參考數(shù)據(jù) 4 6 2 若客車的平均速度是60km h 市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km h 城際列車的平均速度為180km h 為了最短時間到達武昌客運站 小明應(yīng)該選擇哪種乘車方案 請說明理由 不計候車時間 解 1 過點C作AB的垂線 交AB的延長線于點E 如圖 D14 圖D14 選擇先乘坐城際列車 再坐市內(nèi)公共汽車的乘車方案 名師點評 解決直角三角形問題的關(guān)鍵 一是能熟練運用勾股定理及其逆定理分析與解決實際問題 二是解題時能靈活運用直角三角形的一些性質(zhì) 如兩銳角之間的關(guān)系 斜邊與斜邊上中線的關(guān)系 三是當(dāng)幾何問題中給出了線段長度時 往往要構(gòu)造直角三角形 如勾股數(shù)或添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形 1 2014年廣東 如圖4 2 39 ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45 得到 AB C 若 BAC 90 AB AC 則圖中陰影部分的面積等于 圖4 2 39 圖D15 2 2012年廣東 如圖4 2 40 在 ABC中 AB AC ABC 72 1 用直尺和圓規(guī)作 ABC的平分線BD交AC于點D 保 留作圖痕跡 不要求寫作法 2 在 1 中作出 ABC的平分線BD后 求 BDC的度數(shù) 圖4 2 40 解 1 如圖D16 BD即為所求 圖D16 2 在 ABC中 AB AC ABC 72 A 180 2 ABC 180 144 36 BD是 ABC的平分線 BDC是 ABD的外角 BDC A ABD 36 36 72 3 2015年廣東 如圖4 2 41 在邊長為6的正方形ABCD中 E是邊CD的中點 將 ADE沿AE對折至 AFE 延長EF交邊BC于點G 連接AG 求BG的長 圖4 2 41 解 在正方形ABCD中 AD AB BC CD D B C 90 將 ADE沿AE對折至 AFE AD AF DE EF D AFE 90 AB AF B AFG 90 在Rt ABG和Rt AFG中 ABG AFG HL BG FG 設(shè)BG FG x 則GC 6 x E為CD的中點 CE EF DE 3 EG 3 x 在Rt CEG中 32 6 x 2 3 x 2 解得x 2 BG 2