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課 題： 21.4無理方程(一) [教學(xué)目標(biāo)] 1. 知道無理方程、代數(shù)方程的概念，并會(huì)識(shí)別無理方程； 2. 經(jīng)歷探索無理方程解法的過程，領(lǐng)會(huì)無理方程“有理化”的化歸思想； 3. 會(huì)解簡(jiǎn)單的無理方程，，知道解無理方程需要檢驗(yàn)，及如何檢驗(yàn)。 [教學(xué)重點(diǎn)] 掌握簡(jiǎn)單的無理方程的解法 [教學(xué)難點(diǎn)] 了解無理方程產(chǎn)生增根的原因 [教學(xué)方法] 帶領(lǐng)學(xué)生類比學(xué)習(xí)，探究新知。 [教學(xué)過程] 問題1∶已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的A、B兩點(diǎn)。其中點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B是軸上的點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)間的距離等于5，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。 解∶由點(diǎn)B在軸上，可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為， 由兩點(diǎn)間距離公式，得∶ 即∶ ① [師述∶]大家能談?wù)劮匠挞俚奶攸c(diǎn)嗎？ [學(xué)生回答]∶這個(gè)方程的根號(hào)里含有未知數(shù)。 [師述∶]如果讓你給這種根號(hào)里含有未知數(shù)的新方程起個(gè)名，你會(huì)怎么稱呼它？（停頓，讓學(xué)生稍微思考一下） [學(xué)生回答] ∶這是根式方程，無理方程………………… [師述]∶根式方程這個(gè)名稱倒是挺形象的。那無理方程（停頓，讓學(xué)生稍微思考一下）同學(xué)們不妨回顧一下數(shù)與式。我們都知道實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)又可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（同時(shí)板書）。而代數(shù)式可分為有理式和無理式，有理式又可分為整式和分式。通過比較，我們可以看到代數(shù)式和實(shí)數(shù)分類結(jié)構(gòu)相同，如下圖所示∶ ， [師述]∶那我們現(xiàn)在來看方程的分類。我們學(xué)過的一元一次方程，二元一次方程（組）,一元高次方程，都屬于整式方程，前階段我們還學(xué)過分式方程。由類比，我們把整式方程和分式方程統(tǒng)稱有理方程，而我們剛才列出的方程①就是無理方程。 [師述∶]我們給出無理方程的概念∶方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程。（同時(shí)讓學(xué)生把書翻開P.40，把定義劃下來）我們繼續(xù)定義∶有理方程和無理方程統(tǒng)稱代數(shù)方程。代數(shù)方程結(jié)構(gòu)如下∶ 在黑板上寫無理方程的定義時(shí)∶可寫為含有未知數(shù)的方程叫做無理方程。 問題2∶試判斷下列方程中哪些方程是無理方程。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 解∶(1)是一元一次方程，(3)是二元一次方程，都屬于整式方程；(5)是分式方程，而(2)、(4)、(6)、(7)、 (8)都是無理方程，以上八個(gè)方程都是代數(shù)方程。 [師述∶]現(xiàn)在，我們知道無理方程的概念了。接下來，該一起來探究無理方程的解法了。我們不妨來研究問題2中的方程（2）。 問題3∶解無理方程（2） ② 解∶方程兩邊平方，得∶ 整理得∶ ③ [師問]∶請(qǐng)問同學(xué)們，你平方的目的是什么？ [學(xué)生回答]∶兩邊平方去掉了根號(hào)，把無理方程化成了有理方程。 [師述]∶同學(xué)們回答得非常好，通過平方我們把無理方程的求解化歸到有理化的求解，顯然有理方程我們是會(huì)解的。 同時(shí)板書 學(xué)生繼續(xù)求解 ∴ [師生共同探討]∶不是方程②的解，那我們是不是方程解錯(cuò)了？學(xué)生稍作停留，回答說沒有。但卻是方程③的解，這是為什么呢？（把問題拋給學(xué)生。） [學(xué)生回答]∶平方，平方把無理方程化為了有理方程，但是.......，原方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如方程②平方前未知數(shù)x的取值范圍是，而方程②平方后未知數(shù)x允許的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，平方使未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大了。所以也就產(chǎn)生了增根。 [師述]:很好?？磥碛捎诮鉄o理方程會(huì)產(chǎn)生增根。因此有檢驗(yàn)的必要。現(xiàn)在我們就以方程②為例，來進(jìn)行檢驗(yàn)。那怎樣檢驗(yàn)?zāi)?？停頓能像分式方程那樣檢驗(yàn)嗎？......只能把解依次代入原方程的左右兩邊，加以檢驗(yàn)。如果左=右，解是原方程的解，否則，解是原方程的增根，要舍去。 [師述]∶老師帶領(lǐng)學(xué)生在黑板上進(jìn)行一次檢驗(yàn)。 檢驗(yàn)∶當(dāng)時(shí)，方程②，右邊=4，可知是方程②的根； 當(dāng)時(shí)，方程②，右邊=-1，而右邊不可能是負(fù)數(shù)，可知是方程②的增根，應(yīng)舍去。 所以，方程②的解是 [師問]:通過剛才的探究，我們初步掌握了解無理方程的步驟。那現(xiàn)在我們一起把問題1中的無理方程解完好嗎？ 學(xué)生解，教師準(zhǔn)備好，然后投影。 [師述]∶那這個(gè)方程怎么沒產(chǎn)生增根呢？ [學(xué)生回答]∶方程①平方前后未知數(shù)x的取值范圍都是一切實(shí)數(shù)，沒有變化，所以沒有產(chǎn)生增根。 歸納 解簡(jiǎn)單無理方程的一般步驟，可用流程圖表示為∶ 開始 平方，去根號(hào)（無理方程有理化） 解有理方程 檢驗(yàn) 是 否 原方程的解 是增根，舍去 寫出原方程的解，結(jié)束 課堂小結(jié)：本節(jié)課你的收獲是什么？ 1． 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識(shí)？ 學(xué)生答∶知道了無理方程的概念，探究了其解法。解法中，通過平方將無理方程化歸為有理化求解。我們還探究了無理方程產(chǎn)生增根的原因。 教師補(bǔ)充∶前面我們學(xué)過的分式方程，通過去分母使分式方程整式化，也體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。 2． 你領(lǐng)悟了哪些常用數(shù)學(xué)思想與方法？ 答∶類比法，化歸思想。 備用練習(xí)∶解問題2中的無理方程（8）∶ 解∶移項(xiàng)∶ 兩邊平方，得∶ 整理得∶ 檢驗(yàn)∶是原方程的增根，舍去。而是原方程的解。 [布置作業(yè)] 完成練習(xí)冊(cè)P.18-19習(xí)題21.4(1) 板書設(shè)計(jì) A B C D 掛例題，實(shí)物投影 無理方程板書 一 概念 1． 2．根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫無理方程。 二 解法 1．化歸∶“無理方程” 平方 “有理方程” 2．注意點(diǎn)∶無理方程需檢驗(yàn) 解方程區(qū)域 可擦寫區(qū)域， 小結(jié)歸納