word第二十講容斥原理2知識(shí)提要前面講述過(guò)簡(jiǎn)單的容斥原理，“容就是相容，相加，而“斥就是相斥，相減，容斥原理作為一種計(jì)數(shù)方法，說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn)，就是從多的往下減，減過(guò)頭了在加回來(lái)，加多了再減，減多了再加最終得到正確結(jié)果。對(duì)于計(jì)數(shù)中容易出現(xiàn)重復(fù)的題目，我們常常采用容斥原理，去掉重復(fù)的情況。應(yīng)用于計(jì)數(shù)集合劃分有重疊，無(wú)法簡(jiǎn)單應(yīng)用加法原理的情況下。在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊局部不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的根本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，具體公式為:A類或B類元素個(gè)數(shù)= A類元素個(gè)數(shù)+ B類元素個(gè)數(shù)既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，具體公式為:A類或B類或C類元素個(gè)數(shù)= A類元素個(gè)數(shù)+ B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個(gè)數(shù)。有了以上的容斥原理,一些看起來(lái)頭緒很多的問(wèn)題就可以比擬方便地得到解決。 經(jīng)典例題 例1五1班有學(xué)生42人，參加體育代表隊(duì)的有30人，參加文藝代表隊(duì)的25人，并且每個(gè)人都至少參加了一個(gè)隊(duì)，這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有幾個(gè)人？分析我們可以畫一個(gè)圖幫助思考，畫兩個(gè)相交的圓圈:其中一個(gè)表示體育代表隊(duì)，另一個(gè)表示文藝代表隊(duì)，那么兩圓的內(nèi)部共有42人，而體育代表隊(duì)的圓中有30人，文藝代表隊(duì)的圖中有25人，但：30+25=55>42，這是因?yàn)閮申?duì)都參加的人被計(jì)算了兩次，因此55-42=13，即是兩隊(duì)都參加的人數(shù)。解答 解：30+25-42=13人答：兩隊(duì)都參加的有13人。評(píng)注可能有很多同學(xué)還是剛剛接觸容斥原理，所以我們用圖形來(lái)形象地描繪整個(gè)問(wèn)題。當(dāng)容斥原理的題目做多了之后，很多根本的題目就不再需要一個(gè)一個(gè)的畫圖了。但是，當(dāng)遇到復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，圖形還是幫助我們理解和解決問(wèn)題的一個(gè)幫手。舉一反三1、某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩種電器中的一種，家中有空調(diào)的有41人，有電腦的有34人，二者都有的有27人，這個(gè)班有學(xué)生多少人？2、六年級(jí)共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂少年報(bào)，有的人訂數(shù)學(xué)報(bào)，兩種刊物都訂的有多少人？3、森林中住著很多動(dòng)物，據(jù)說(shuō)獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計(jì)鳥的種數(shù)，蝙蝠跑去說(shuō)：“我有翅膀，我算鳥類。仙鶴把蝙蝠統(tǒng)計(jì)進(jìn)去了，結(jié)果得出森林中共有80種鳥類，獅子大王又派大象去統(tǒng)計(jì)獸類的種數(shù)，蝙蝠又跑去說(shuō)：“我沒有羽毛，我應(yīng)該算獸類。大家又把蝙蝠算為獸類，統(tǒng)計(jì)出森林中共有70種獸類。最后獅子大王問(wèn)：森林中共有鳥類和獸類多少種？狐貍軍師聽了仙鶴和大象的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，向獅子大王報(bào)告：“森林中鳥類與獸類共計(jì)150種。聽了上面的故事，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)狐貍軍師這樣統(tǒng)計(jì)對(duì)嗎？為什么，正確的答案應(yīng)該是多少種呢？ 思路拓展 例2在一個(gè)炎熱的夏日，幾個(gè)小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問(wèn)：共有幾個(gè)小朋友去了冷飲店？分析：根據(jù)題意畫圖。解答方法一：人方法二：人答：共有10個(gè)小朋友去了冷飲店。評(píng)注這道題目變成了三種事件，我們?nèi)匀豢梢杂脠D形來(lái)簡(jiǎn)單的描述。只要同學(xué)們能夠明白每一種人的數(shù)量應(yīng)該填在哪個(gè)空位里，題目就變得非常容易了。同學(xué)們還要注意的一點(diǎn)是，最外圈的6，6，4三個(gè)數(shù)，并不是指的數(shù)字所在X圍里的人數(shù)，而是指的整個(gè)圓里即買了某種冷飲而并非只買這種冷飲的人數(shù)。另外，方法二里，為什么要減去1×2，同學(xué)們能明白嗎？舉一反三1， 三年級(jí)一班的同學(xué)們報(bào)名參加趣味體育運(yùn)動(dòng)會(huì)，比賽內(nèi)容共三項(xiàng)，分別是跳繩、拍球跑和踢毽子，每個(gè)人至少報(bào)了一項(xiàng)。報(bào)跳繩的有15人，報(bào)拍球跑的有18人，報(bào)踢毽子的有20人，同時(shí)包跳繩和拍球跑的有8人，同時(shí)報(bào)跳繩和踢毽子的有5人，沒有報(bào)了拍球跑和踢毽子，但是沒報(bào)跳繩的同學(xué)。三樣都報(bào)的有2人。那么三年級(jí)一班有多少名同學(xué)呢？2， 班里組織了一次語(yǔ)數(shù)外三科的小測(cè)驗(yàn)，每名同學(xué)都至少有一門得總分為，但是沒有人拿到三個(gè)總分為。語(yǔ)文得總分為的有10人，數(shù)學(xué)得總分為的有20人，外語(yǔ)得總分為的有25人，語(yǔ)文數(shù)學(xué)都得總分為的有6人，數(shù)學(xué)外語(yǔ)都得總分為的有12人，語(yǔ)文外語(yǔ)都得總分為的有2人。那么全班一共有多少人？3， 一次中、美、俄三方的學(xué)術(shù)交流會(huì)上，有28人會(huì)說(shuō)中文，有25人會(huì)說(shuō)英文，有20人會(huì)說(shuō)俄文，有13人會(huì)說(shuō)中文和英文，有10人會(huì)說(shuō)中文和俄文，有6人會(huì)說(shuō)英文和俄文，僅有大會(huì)組織者一人三種語(yǔ)言全會(huì)。那么這次交流會(huì)一共有多少人參與？例3 某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得總分為的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語(yǔ)文20人，英語(yǔ)20人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科總分為者8人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科總分為者7人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科總分為者9人，三科都沒得總分為者3人。問(wèn)這個(gè)班最多多少人？最少多少人？ 分析分析與解：根據(jù)題意畫圖。解答 設(shè)三科都得總分為者為x全班人數(shù)整理后：全班人數(shù)39x 39+x表示全班人數(shù)，當(dāng)x取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三科都得總分為的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過(guò)兩科得總分為的人數(shù)，即且，由此我們得到。另一方面x最小可能是0，即沒有三科都得總分為的。當(dāng)x取最大值7時(shí)，全班有人，當(dāng)x取最小值0時(shí)，全班有39人。答：這個(gè)班最多有46人，最少有39人。評(píng)注這道題目里，我們不知道三科都得總分為者的人數(shù)，也就無(wú)法直接用容斥原理來(lái)計(jì)算班里的總?cè)藬?shù)。但是我們可以假設(shè)出三科都得總分為的人數(shù)，再利用包含原如此，即三科都得總分為的人數(shù)不能小于0，也不能超過(guò)某兩科得總分為的人數(shù)，從而確定了三科都總分為的人數(shù)的一個(gè)X圍，再代入全班人數(shù)的計(jì)算式子，便可得出最多的人數(shù)與最少的人數(shù)。遇到這種需要假設(shè)的題目，同學(xué)們一定要注意設(shè)，并且要知道設(shè)哪個(gè)。如果這道題目假設(shè)了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)得總分為但英語(yǔ)沒得總分為的人數(shù)，雖然也能計(jì)算，但是會(huì)麻煩很多。舉一反三1， 在四年級(jí)二班里，有25名男生，有30名少先隊(duì)員，有13名三好學(xué)生。男少先隊(duì)員有12人，男三好學(xué)生有6人，少先隊(duì)員里的三好學(xué)生有5人，有3名女生既不是少先隊(duì)員又不是三好學(xué)生。那么四年級(jí)二班最少有多少人，最多有多少人？2， 某公司的員工為地震災(zāi)區(qū)捐款、獻(xiàn)血和游行鼓勵(lì)，每位員工至少參加了一項(xiàng)。捐款的有40人，獻(xiàn)血的有35人，游行的有25人，捐款、獻(xiàn)血但是沒有游行的有8人，捐款、游行但是沒有獻(xiàn)血的有12人，同時(shí)獻(xiàn)血和游行的有10人。那么這個(gè)公司最少有多少名員工，最多又有多少名呢？3， 小玉在黑板上寫下了一些數(shù)，其中每個(gè)數(shù)都至少能被2、3、5之一整除。被2整除的數(shù)有10個(gè)，被3整除的數(shù)有9個(gè)，被5整除的數(shù)有6個(gè)。被2、3整除但是不被5整除的有4個(gè)，被2、5整除但是不被3整除的有3個(gè)、被3、5整除但是不被2整除的有2個(gè)。那么小玉最少寫下了幾個(gè)數(shù)？最多又寫下了幾個(gè)呢？例4有28人參加田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人至少參加跑、跳、投中的兩種比賽。有8人沒參加跑的項(xiàng)目，參加投擲項(xiàng)目的人數(shù)與參加跑和跳兩項(xiàng)的人數(shù)都是17人。問(wèn)：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有多少人？分析“每人至少參加兩項(xiàng)比賽說(shuō)明沒有不參加的，也沒有參加一項(xiàng)比賽的，我們可以在如下圖中參加一項(xiàng)的區(qū)域用0表示。解答人答：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有3人。評(píng)注在畫出象形圖并且標(biāo)注了各個(gè)區(qū)域的人數(shù)和需要求的區(qū)域的人數(shù)之后，題目就變得很清楚了。當(dāng)然，這道題目也可以這么想：只參加跑和投擲的，就是沒有參加跳的項(xiàng)目的人數(shù)。而參加了跳類項(xiàng)目的人數(shù)，又可以分為參加了跑的和沒參加跑的，后者就是只參加了跳和投擲的人數(shù)，前者就是參加了跑和跳的人數(shù)。這樣也能計(jì)算出結(jié)果，但是畢竟不如我們畫圖來(lái)得清晰與直接。舉一反三1， 有28人參加田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，沒有人同時(shí)參加跑、跳、投三種比賽。有20人參加了跑的項(xiàng)目，參加投擲項(xiàng)目的人數(shù)與參加跑和跳兩項(xiàng)的人數(shù)都是10人，只參加跳項(xiàng)目的有5人。問(wèn)：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有多少人？2， 56名小朋友，每名小朋友胸前都戴著紅、白、藍(lán)三種顏色的花，每人每種花至多戴一朵。有30名小朋友戴了紅花，有15名小朋友戴了白花和藍(lán)花，只戴一種花的有21人，他們中戴每個(gè)顏色的花的人數(shù)都一樣。那么有多少名小朋友三種花都戴了呢？3， 一次聚會(huì)，對(duì)參與聚會(huì)的人規(guī)定，如果穿了西服，打了領(lǐng)帶，如此必須穿黑皮鞋。來(lái)的50人里穿西服、打領(lǐng)帶、穿黑皮鞋的各有20人，穿西服和黑皮鞋的有12人，穿黑皮鞋打領(lǐng)帶但是沒有穿西服的有6人。那么有多少人沒穿西服，沒打領(lǐng)帶，并且沒穿黑皮鞋？例5某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有10人。教師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)和既參加英語(yǔ)又參加語(yǔ)文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。分析根據(jù)條件畫出圖。解答三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)的有x人，既參加語(yǔ)文又參加英語(yǔ)的有y人，可以列出這樣的方程：整理后得：由于x、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為7。答：既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的為2人或7人。評(píng)注所以，我們應(yīng)該按容斥原理的方法來(lái)解決此問(wèn)題。用容斥原理的那一個(gè)呢？想一想，被計(jì)數(shù)的事物有那幾類？每一類的元素個(gè)數(shù)是多少？另外，這道題目也幫助我們復(fù)習(xí)了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念和性質(zhì)。舉一反三1， 某校五年級(jí)三班有51人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有20人。教師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有8人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)和既參加英語(yǔ)又參加語(yǔ)文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。2， 27塊立方體，每個(gè)都用紅、黃、藍(lán)三種顏料中的一種或幾種涂上了色。涂了紅色的有21塊，涂了黃色和藍(lán)色的立方體個(gè)數(shù)都各自是一個(gè)整數(shù)的平方。同時(shí)涂了紅、黃兩色的有10塊，同時(shí)涂了黃、藍(lán)兩色的有3塊，同時(shí)涂了紅、藍(lán)兩色的有2塊。僅有一塊立方體三種顏色都涂了。那么有多少塊涂了黃色呢？3， 有20名同學(xué)，愛唱歌的有8人，愛跳舞的有9人，愛演奏樂器的有10人，愛唱歌跳舞的有5人，愛唱歌和演奏樂器的有4人，愛跳舞和演奏樂器的有5人。三種都愛的和三種都不愛的同學(xué)的個(gè)數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么有多少名同學(xué)至少有一個(gè)愛好？例6 有25人參加跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)賽，每人跳三次，每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀。第一次達(dá)到優(yōu)秀的有10人，第二次達(dá)到優(yōu)秀的有13人，第三次達(dá)到優(yōu)秀的有15人，三次都達(dá)到優(yōu)秀的只有1人。只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有多少人？分析“每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀說(shuō)明沒有三次都沒達(dá)到優(yōu)秀的。要求只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，就是求重疊兩層的局部圖中陰影局部。 解答人答：只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有11人。評(píng)論這道題目，圖形對(duì)我們的幫助依然很大。通過(guò)畫圖，我們就可以清晰地看出如何在容斥中進(jìn)展扣除。準(zhǔn)確地畫出“只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)在圖中的位置，是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵。舉一反三1、學(xué)校先后舉行數(shù)學(xué)、作文、自然三科競(jìng)賽，某班有25人報(bào)名參加。其中14人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，12人參加作文競(jìng)賽，10人參加自然競(jìng)賽，并且有4人參加數(shù)學(xué)作文兩科競(jìng)賽，有2人參加數(shù)學(xué)、自然兩科競(jìng)賽；只有1人三科競(jìng)賽都參加。問(wèn)有多少人參加作文、自然兩科的競(jìng)賽？2、有A、B、C三本書，至少讀過(guò)其中一本的有20人，讀過(guò)A書的有10人，讀過(guò)B書的有12人，讀過(guò)C書的有15人，讀過(guò)A、B兩書的有12人，讀過(guò)B、C兩書的有9人，讀過(guò)A、C兩書的有7人，三本書全都讀過(guò)有多少人？3、某班四年級(jí)時(shí)，五年級(jí)時(shí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)出10名三好學(xué)生，又知四、五年級(jí)連續(xù)三好生4人，五、六年級(jí)連續(xù)三好生3人，四年級(jí)、六年級(jí)兩年評(píng)上三好生的有5人，四、五、六三年沒評(píng)過(guò)三好生的有20人，問(wèn)這個(gè)班最多有多少名同學(xué)，最少有多少名同學(xué)？例7 在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？分析顯然，這是一個(gè)重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題當(dāng)然，如果不怕麻煩你可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù)。我們可以把“能被3或5整除的數(shù)分別看成A類元素和B類元素，能“同時(shí)被3或5整除的數(shù)15的倍數(shù)就是被重復(fù)計(jì)算的數(shù)，即“既是A類又是B類的元素。求的是“A類或B類元素個(gè)數(shù)?，F(xiàn)在我們還不能直接計(jì)算，必須先求出所需條件。1000÷3=3331，能被3整除的數(shù)有333個(gè)。同理，可以求出1000÷5=200，能被5整除的數(shù)有200個(gè)?？梢郧蟪?000÷15=6610，能被15整除的數(shù)有66個(gè)。解答333+200-66=467(個(gè))1000+66-333-200=533(個(gè))答：在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有467個(gè)；不能被3或5整除的數(shù)共有533個(gè)。評(píng)注這樣的題目在考試中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)。被什么數(shù)整除，其實(shí)等于既告訴了各自集合的元素個(gè)數(shù)，也告訴了公共局部的元素個(gè)數(shù)。此外，這道題目和數(shù)論還要一些聯(lián)系，同學(xué)們要注意知識(shí)的關(guān)聯(lián)呦。 舉一反三1、在1到10000這10000個(gè)自然數(shù)中，即不能被8整除也不能被125整除的數(shù)有多少個(gè)？2、分母是1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)？3、求在1100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？例850名學(xué)生面向教師站成一行，按教師的口令從左往右依次報(bào)數(shù)：1、2、350。報(bào)完后，教師讓所報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓所報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。問(wèn)：現(xiàn)在仍然面向教師的有多少名同學(xué)？分析 面向教師的學(xué)生有兩種情況：一是兩次都沒有向后轉(zhuǎn)的學(xué)生；二是兩次都向后轉(zhuǎn)的學(xué)生。所以此題可求出只向后轉(zhuǎn)一次的學(xué)生數(shù)，用學(xué)生總數(shù)減去這個(gè)數(shù)字就可得出結(jié)果。解答因?yàn)?0÷4=12.5，即1至50這50個(gè)數(shù)中，有12個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)。同樣，50÷6=82，即這些數(shù)中，有8個(gè)數(shù)是6的倍數(shù)。但50÷12=42，即這些數(shù)中，有4個(gè)數(shù)既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)。所以，向后轉(zhuǎn)一次的學(xué)生數(shù)=12+8-4=16名 最后面向教師的學(xué)生數(shù)=50-16=34名答：還有34名學(xué)生面向教師。評(píng)注這道題目將不單單是求兩次都轉(zhuǎn)向或者是兩次都不轉(zhuǎn)向的同學(xué)人數(shù)。由于轉(zhuǎn)向的特殊性，需要求這兩類同學(xué)的人數(shù)和。當(dāng)然，這仍然只需要利用公式將每一局部的人數(shù)求出再求和即可。當(dāng)總?cè)藬?shù)增多時(shí)，必須利用容斥原理才能得出結(jié)論。舉一反三1， 20名學(xué)生面向教師站成一行，按教師的口令從左往右依次報(bào)數(shù)：1、2、320。報(bào)完后，教師讓所報(bào)數(shù)是3的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓所報(bào)數(shù)是質(zhì)數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。問(wèn)：現(xiàn)在仍然面向教師的有多少名同學(xué)？2， 200名學(xué)生，每名學(xué)生有一個(gè)學(xué)號(hào)，分別是1、2、3200?，F(xiàn)在他們?nèi)棵鎸?duì)教學(xué)樓站好，接著讓學(xué)號(hào)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓學(xué)號(hào)是5的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著再讓學(xué)號(hào)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。問(wèn)：現(xiàn)在仍然面向教學(xué)樓的有多少名同學(xué)？3， 馬路上有40盞燈連成一排，每盞燈的底下都有一個(gè)開關(guān)，現(xiàn)在所有燈都是亮著的。小成從第一盞燈數(shù)起，每隔4盞燈就按一盞燈的開關(guān)。等小成按完后，小亮也從第一盞燈數(shù)起，每隔3盞燈就按一盞燈的開關(guān)。當(dāng)他們都按完后，還有多少盞燈是亮的？例9在一根長(zhǎng)的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？分析很顯然，要計(jì)算木棍被鋸成多少段，只需要計(jì)算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此根底上加1就是段數(shù)了。假如按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復(fù)的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應(yīng)該按容斥原理的方法來(lái)解決此問(wèn)題。解答第一種和第二種刻度線重合的次數(shù)為(10,12)-1=1次第二種和第三種刻度線重合的次數(shù)為(12,15)-1=2次第一種和第三種刻度線重合的次數(shù)為(10,15)-1=4次三種刻度線一起重合的次數(shù)為(10,12,15)-1=0次因此最后實(shí)際上有(10-1)+(12-1)+(15-1)-1-2-4+0=27條刻度線因此木棍一共被鋸成了27+1=28段答：木棍總共被鋸成28段。評(píng)注這道題目不但要注重容斥原理的使用，還要注意計(jì)算每種刻度線的個(gè)數(shù)時(shí)存在一個(gè)植樹問(wèn)題，這實(shí)際上也是兩類數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)合。 舉一反三1、文宮中心校參加大型團(tuán)體操的同學(xué)共240名，他們面對(duì)教練站成一排，自左至右按1，2，3，4依次報(bào)數(shù)，教練讓每個(gè)同學(xué)記住自己報(bào)的數(shù)，并做以下動(dòng)作：先讓報(bào)數(shù)是3的倍數(shù)的學(xué)生向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是5的倍數(shù)的學(xué)生向后轉(zhuǎn)，最后讓報(bào)數(shù)是7的倍數(shù)的學(xué)生向后轉(zhuǎn)，問(wèn)此時(shí)還有多少名學(xué)生面對(duì)教練？2、邊長(zhǎng)為2的正方形與邊長(zhǎng)為3的正方形，如下列圖放在桌面上，它們所蓋住的面積有多大？3、邊長(zhǎng)分別為6，5，2的三個(gè)正方形，如下列圖放在桌面上。問(wèn)它們蓋住的面積是多大？ 本章小結(jié)容斥原理說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn),就是從多的往下減,減過(guò)頭了在加回來(lái),加多了再減,減多了再加,最終得到正確結(jié)果。對(duì)于計(jì)數(shù)中容易出現(xiàn)重復(fù)的題目,我們常常采用容斥原理,去掉重復(fù)的情況。 同學(xué)們?cè)谑褂萌莩庠頃r(shí)，必須要分析清楚不同類的元素。對(duì)于有兩類元素的問(wèn)題，要分清：哪些是A類元素？哪些是B類元素？哪些既是A類又是B類的元素？對(duì)于有兩類元素的問(wèn)題，如此要分清：哪些是A類元素？哪些是B類元素？哪些是C類元素？哪些既是A類又是B類的元素？哪些既是A類又是C類的元素？哪些既是B類又是C類的元素？哪些既是A類又是B類而且是C類的元素？這樣，才能夠正確地解決問(wèn)題。本章自測(cè)1、某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人與格，在第二次考試中有24人與格，假如兩次考試中，都沒有與格的有4人，那么兩次考試都與格的人數(shù)是多少？2、一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得總分為，有12人語(yǔ)文得總分為，并且有4人語(yǔ)、數(shù)都是總分為，那么這個(gè)班至少有一門得總分為的同學(xué)有多少人？3、在100個(gè)學(xué)生中，愛好音樂的有58人，愛好體育的有75人。那么，既愛好音樂又愛好體育的，至少有多少人？至多有多少人？ 4、某班45名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒達(dá)優(yōu)秀，求三項(xiàng)都是優(yōu)秀的人數(shù)。5、某班學(xué)生手中分別拿有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球。手中有紅球的共有34人，手中有黃球的共有26人，手中有藍(lán)球的共有18人。其中手中有紅、黃、藍(lán)三種球的有6人。而手中只有紅、黃兩種球的有9人，手中只有黃、藍(lán)兩種球的有4人，手中只有紅、藍(lán)兩球的有3人，那么這個(gè)班共有多少人？6、有40名運(yùn)動(dòng)員，其中有25人會(huì)摔跤，有20人會(huì)擊劍，有10人擊劍、摔跤都不會(huì)，問(wèn)既會(huì)摔跤、又會(huì)擊劍的運(yùn)動(dòng)員有多少人？7、某次語(yǔ)文競(jìng)賽共有五道題總分為不是100分，丁一只做對(duì)了1、2、3三題得了16分；于山只做對(duì)了2、3、4三題，得了25分；王水只做對(duì)了3、4、5三題，得了28分，X燦只做對(duì)了1、2、5三題，得了21分，李明五個(gè)題都對(duì)了他得了多少分？8、某校六1班有學(xué)生54人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，問(wèn)：三項(xiàng)都參加的有多少人？9、某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽有120名男生，80名女生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有120名女生，80名男生，該校總共有260名學(xué)生參加競(jìng)賽，其中75名男生兩科教參加了，那么只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒有參加語(yǔ)文競(jìng)賽的女生有多少人？10、某單位有青年員工85人，其中68人會(huì)騎自行車，62人會(huì)游泳，既不會(huì)騎車又不會(huì)游泳的有12人，如此既會(huì)騎車又會(huì)游泳的有多少人11、六一班60名同學(xué)，參加乒乓球賽的40人，參加足球賽的45人，參加籃球賽的48人，三項(xiàng)都參加的22人，問(wèn)至多有幾人三項(xiàng)都未參加？12、電視臺(tái)向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過(guò)2頻道，34人看過(guò)8頻道，11人兩個(gè)頻道都看過(guò)。兩個(gè)頻道都沒看過(guò)的有多少人？13、對(duì)某單位的100名員工進(jìn)展調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，如此只喜歡看電影的有多少人？14、某校組織棋類比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)展。參加圍棋比賽的共有42人，參加中國(guó)象棋比賽的共有51人，參加國(guó)際象棋比賽的共有30人。同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的共有13人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的7人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的11人，其中三種棋賽都參加的3人。問(wèn)參加棋類比賽的共有多少人？15、某年級(jí)的課外小組分為美術(shù)、音樂、手工三個(gè)小組，參加美術(shù)小組有20人，參加音樂小組有24人，參加手工小組有31人，同時(shí)參加美術(shù)和音樂兩個(gè)小組有5人，同時(shí)參加音樂和手工兩個(gè)小組有6人，同時(shí)參加美術(shù)和手工兩個(gè)小組的有7人，三個(gè)小組都參加的有3人，這個(gè)年級(jí)參加課外小組的同學(xué)共有多少人?16、某校有學(xué)生960人，其中510人訂閱中國(guó)少年報(bào)，330人訂閱少年文藝；120人訂閱中小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)；其中有270人訂閱兩種報(bào)刊，有58人訂閱三種報(bào)刊。問(wèn)這個(gè)學(xué)校沒有訂閱任何報(bào)刊的學(xué)生有多少人？17、某大學(xué)有外語(yǔ)教師120名，其中教英語(yǔ)的有50名，教日語(yǔ)的有45名，教法語(yǔ)的有40名，有15名既教英語(yǔ)又教日語(yǔ)，有10名既教英語(yǔ)又教法語(yǔ)，有8名既教日語(yǔ)又教法語(yǔ)，有4名教英語(yǔ)、日語(yǔ)和法語(yǔ)三門課，如此不教三門課的外語(yǔ)教師有多少名？18、從1到100的自然數(shù)中，1不能被6和10整除的數(shù)有多少個(gè)？2至少能被2，3，5中一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有多少個(gè)？19、分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？20、一次會(huì)議有1990名數(shù)學(xué)家參加，每人至少有1327位合作者，求證：可以找到4個(gè)數(shù)學(xué)家，他們中每?jī)蓚€(gè)人都合作過(guò)。9 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