第二章方程與不等式 第6講一元二次方程及其應(yīng)用 知識(shí)梳理 1 一元二次方程 含有一個(gè)未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程 它的一般形式是ax2 bx c 0 a b c為常 a 0 2 一元二次方程的解法 1 直接開平方法 如解 x 1 2 4的根為 2 配方法 如將x2 2x 5 0 a 0 化成 x 1 2 的形式 然后進(jìn)行求解 3 因式分解法 如解x2 2x 0 解得 4 公式法 利用求根公式 x1 3 x2 1 6 x1 0 x2 2 x1 2 b2 4ac 0 3 根的判別式 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式 b2 4ac 1 當(dāng) 0時(shí) 原方程有 的實(shí)數(shù)根 2 當(dāng) 0時(shí) 原方程有 的實(shí)數(shù)根 3 當(dāng) 0時(shí) 原方程 實(shí)數(shù)根 兩個(gè)不相等 兩個(gè)相等 沒(méi)有 4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1 x2 那么 x1 x2 x1 x2 易錯(cuò)題匯總 1 方程x2 x的解是 x1 0 x2 1 2 方程2x x 2 x 2的解是 x1 x2 2 3 當(dāng)m 時(shí) 關(guān)于x的方程 m 1 xm2 m 3x 5 0是一元二次方程 2 4 已知關(guān)于x的一元二次方程 k 4 x2 3x k2 3k 4 0的一個(gè)根為0 則k的值為 1 已知x1 x2是3x2 x 1 0的兩個(gè)根 則x1 x2 x1 x2 6 已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和9 第三邊的長(zhǎng)為一元二次方程x2 14x 48 0的根 則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 A 11B 17C 17或19D 19 D 7 當(dāng)m為何值時(shí) 關(guān)于x的方程 m 2 x2 2m 1 x m 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 解 m 且m 2 考點(diǎn)突破 1 2018紹興 解方程 x2 2x 1 0 解 x1 1 x2 1 考點(diǎn)一 一元二次方程的解法 考點(diǎn)二 一元二次方程的判別式與根的情況 2 2017廣東 如果2是方程x2 3x k 0的一個(gè)根 則常數(shù)k的值為 A 1B 2C 1D 2 B 3 2018廣東 關(guān)于x的一元二次方程x2 3x m 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 A m B m C m D m A 4 2016梅州 關(guān)于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0有兩個(gè)不等實(shí)根x1 x2 求實(shí)數(shù)k的取值范圍 解 原方程有兩個(gè)不等實(shí)根 2k 1 2 4 k2 1 0 解得k 考點(diǎn)三 一元二次方程的應(yīng)用 5 2018沈陽(yáng) 某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬(wàn)元 由于改進(jìn)技術(shù) 生產(chǎn)成本逐月下降 3月份的生產(chǎn)成本是361萬(wàn)元 假設(shè)該公司2 3 4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同 1 求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率 2 請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本 解 1 設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x 根據(jù)題意 得400 1 x 2 361 解得x1 0 05 5 x2 1 95 不合題意 舍去 答 每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5 2 361 1 5 342 95 萬(wàn)元 答 預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342 95萬(wàn)元 6 2018齊齊哈爾 解方程 2 x 3 3x x 3 解 x1 3 x2 7 2018內(nèi)江 若關(guān)于x的一元二次方程x2 4x k 0有實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 k 4 8 已知關(guān)于x的方程x2 k 1 x 6 0 求證 無(wú)論k取任何實(shí)數(shù) 該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 證明 b2 4ac k 1 2 4 1 6 k 1 2 24 0 無(wú)論k取何實(shí)數(shù) 該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 9 2017深圳 一個(gè)矩形周長(zhǎng)為56cm 1 當(dāng)矩形面積為180cm2時(shí) 長(zhǎng) 寬分別為多少 2 能圍成面積為200cm2的矩形嗎 請(qǐng)說(shuō)明理由 解 1 設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm 則寬為 28 x cm 依題意 得x 28 x 180 解得x1 10 舍去 x2 18 28 x 28 18 10 答 長(zhǎng)為18cm 寬為10cm 2 不能 理由如下 設(shè)矩形的長(zhǎng)為ycm 則寬為 28 y cm 依題意 得y 28 y 200 即y2 28y 200 0 282 4 200 784 800 0 原方程無(wú)解 不能圍成一個(gè)面積為200cm2的矩形 10 2018菏澤 關(guān)于x的一元二次方程 k 1 x2 2x 1 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 A k 0B k 0C k 0且k 1D k 0且k 1 D 11 2018鹽城 已知一元二次方程x2 kx 3 0有一個(gè)根為1 則k的值為 A 2B 2C 4D 4 B 12 2018淮安 一元二次方程x2 x 0的根是 13 2017眉山 已知一元二次方程x2 3x 2 0的兩實(shí)數(shù)根為x1 x2 則 x1 1 x2 1 的值是 x1 0 x2 1 4 14 2018綿陽(yáng) 在一次酒會(huì)上 每?jī)扇硕贾慌鲆淮伪?如果一共碰杯55次 則參加酒會(huì)的人數(shù)為 11 15 2018揚(yáng)州 若m是方程2x2 3x 1 0的一個(gè)根 則6m2 9m 2015的值為 2018 16 2018鹽城 一商店銷售某種商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元 為了擴(kuò)大銷售 增加盈利 該店采取了降價(jià)措施 在每件盈利不少于25元的前提下 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的銷售 發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元 平均每天可多售出2件 1 若降價(jià)3元 則平均每天銷售數(shù)量為件 2 當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí) 該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元 26 解 2 設(shè)當(dāng)每件商品降價(jià)x元時(shí) 該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元 根據(jù)題意 得 40 x 20 2x 1200 整理 得x2 30 x 200 0 解得x1 10 x2 20 要求每件盈利不少于25元 x2 20應(yīng)舍去 x 10 答 當(dāng)每件商品降價(jià)10元時(shí) 該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元 綜合提升 17 2018孝感 已知關(guān)于x的一元二次方程 x 3 x 2 p p 1 1 試證明 無(wú)論p取何值 此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 2 若原方程的兩根x1 x2 滿足x21 x22 x1x2 3p2 1 求p的值 1 證明 原方程可變形為x2 5x 6 p2 p 0 5 2 4 6 p2 p 25 24 4p2 4p 4p2 4p 1 2p 1 2 0 無(wú)論p取何值 此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 2 解 原方程的兩根為x1 x2 x1 x2 5 x1x2 6 p2 p 又 x12 x22 x1x2 3p2 1 x1 x2 2 3x1x2 3p2 1 52 3 6 p2 p 3p2 1 25 18 3p2 3p 3p2 1 3p 6 p 2 18 2017眉山 某烘焙店的蛋糕禮盒分為六個(gè)檔次 第一檔次 即最低檔次 的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件 每件利潤(rùn)10元 調(diào)查表明 生產(chǎn)提高一個(gè)檔次的蛋糕產(chǎn)品 該產(chǎn)品每件利潤(rùn)增加2元 1 若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤(rùn)為14元 則此批次蛋糕屬第幾檔次產(chǎn)品 2 由于生產(chǎn)工序不同 蛋糕產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次 一天產(chǎn)量會(huì)減少4件 若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1080元 則該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品 解 1 14 10 2 1 3 檔次 答 此批次蛋糕屬第三檔次產(chǎn)品 2 設(shè)烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的產(chǎn)品 根據(jù)題意 得 2 x 1 10 76 4 x 1 1080 整理 得x2 16x 55 0 解得x1 5 x2 11 不合題意 舍去 答 該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的產(chǎn)品