1空間曲線及其方程第六節(jié)一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影四、小結(jié)2 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：一、空間曲線的一般方程3例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.4例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.5 )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點點.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程6 動點從動點從A點出點出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到時間，運動到M點點 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo7螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 8三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程： 0),(0),(zyxGzyxF:投影曲線投影曲線xyzo.,垂足所構(gòu)成的曲線垂足所構(gòu)成的曲線上各點向坐標(biāo)面作垂線上各點向坐標(biāo)面作垂線從曲線從曲線C準(zhǔn)線準(zhǔn)線投影柱面投影柱面投影曲線投影曲線9如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面10:投影曲線方程的求法投影曲線方程的求法設(shè)空間曲線的一般方程設(shè)空間曲線的一般方程 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于xoy 面面 的的投影柱面投影柱面空間曲線在空間曲線在xoy 面上的面上的投影曲線投影曲線 00),(zyxH11類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程： 0),(0),(zyxGzyxF12例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx13所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因為曲線在平面）因為曲線在平面 上，上，21 z14例例5 5 求拋物面求拋物面xzy 22與平面與平面 02 zyx 的截線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線方程的截線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線方程.截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,15（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx16補充補充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面17例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個立體設(shè)一個立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去18面上的投影為面上的投影為在在則交線則交線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx197例例.平面的投影平面的投影的交線在的交線在軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面繞繞求曲線求曲線xoyzyxzxyz102:解解旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為22yxz交線為交線為122zyxyxz面的投影柱面方程面的投影柱面方程向向xoy122yxyx面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程在在xoy0122zyxyx20空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程四、小結(jié)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT21練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題解答：解答：,22222 zxzxy交線方程為交線方程為消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy.0122 zyx22222、求拋物柱面22yx 和平面1 zx的交線在三個坐標(biāo)面的投影。解解：1.22yx 的母線 L/z軸，則它就是交線在xoy平面的投影柱面，因此交線在xoy面的投影曲線：02:2zyxC它是xoy面上的一條拋物線。2.1 zx平面的母線 L/y軸，則它就是交線在xoz平面的投影柱面，因此交線在xoz面的投影曲線：0)0(1:yxzxC它是xoz面上的一條射線。3.由122zxyx消去x得122 zy為交線關(guān)于yoz面的投影柱面,則012:2xzyC它是yoz面上的一條拋物線.