word 2015年 秋 季學(xué)期研究生課程考核（讀書報告、研究報告）考核科目: 偏微分方程數(shù)值解法學(xué)生所在院（系）: 理學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)生所在學(xué)科: 數(shù)學(xué)學(xué) 生 姓 名: Hiter學(xué) 號: 1XS012000學(xué) 生 類 別:考核結(jié)果閱卷人8 / 9研究有限差分格式穩(wěn)定性的其他方法摘要偏微分方程的求解一直是大家比較關(guān)心的一個問題，而有限差分格式則是求解偏微分方程時常用并且有效的一個方法。因此，研究有限差分格式的性質(zhì)就顯得尤為重要。在課上我們已經(jīng)跟著老師學(xué)習(xí)了運用Fourier方法研究有限差分格式的穩(wěn)定性，但是在很多研究有限差分格式穩(wěn)定性的問題中僅僅會用Fourier方法是不夠的，所以在本篇論文中，將會介紹其他三種常用的研究有限差分格式穩(wěn)定性的方法，分別是：Hirt啟示型方法、直接方法（或稱矩陣方法）和能量不等式方法。關(guān)鍵字：偏微分方程；有限差分格式；穩(wěn)定性AbstractThe solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a mon and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of monly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method.Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability1 前言微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區(qū)域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時間有關(guān)，在初始時刻所要滿足的定解條件，稱為初值條件。不含時間而只帶邊值條件的定解問題，稱為邊值問題。與時間有關(guān)而只帶初值條件的定解問題，稱為初值問題。同時帶有兩種定解條件的問題，稱為初值邊值混合問題。定解問題往往不具有解析解，或者其解析解不易計算。所以要采用可行的數(shù)值解法。有限差分方法就是一種數(shù)值解法，它的基本思想是先把問題的定義域進行網(wǎng)格剖分，然后在網(wǎng)格點上，按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式把定解問題中的微商換成差商，從而把原問題離散化為差分格式，進而求出數(shù)值解。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數(shù)值穩(wěn)定性、差分格式的解與原定解問題的真解的誤差估計、差分格式的解當(dāng)網(wǎng)格大小趨于零時是否趨于真解（即收斂性），等等。有限差分方法具有簡單、靈活以及通用性強等特點，容易在計算機上實現(xiàn)。在課上我們已經(jīng)跟著老師學(xué)習(xí)了運用Fourier方法研究有限差分格式的穩(wěn)定性，但是在很多研究有限差分格式穩(wěn)定性的問題中僅僅會用Fourier方法是不夠的，所以在本篇論文中，將會介紹其他三種常用的研究有限差分格式穩(wěn)定性的方法，分別是：Hirt啟示型方法、直接方法和能量不等式方法。2 Hirt啟示性方法2.1 方法概述Hirt啟示性方法是一種近似分析方法。主要是把差分格式在某確定點上作泰勒級數(shù)近似展開，把高階誤差略去，只留下最低階的誤差項。如果差分格式是相容的，那么這樣得到的新的微分方程（稱之為第一微分近似或修正微分方程）與原來的微分方程相比只增加了一些含小參數(shù)的較高階導(dǎo)數(shù)的附加項。Hirt方法就是利用第一微分近似的適應(yīng)性來研究差分格式的穩(wěn)定性。Hirt方法的判別準(zhǔn)則是這樣的：如果第一微分近似是適定的，那么原來微分方程的差分格式是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。其實所述的微分格式是原來微分方程問題的相容的差分格式，那么也可以看作第一微分近似問題的相容的差分格式。如果第一微分近似問題是不適定的，那么它的差分格式將不穩(wěn)定1。2.2 操作方法先給出幾個方程 （2.1） （2.2） （2.3）考慮對流方程（2.1）的差分格式（2.3），在點進行Taylor技術(shù)展開，有利用對流方程（2.1），有因此，在點上，有差分方程（2.3）可以得到略去高階誤差項，得出第一微分方程近似要使上面的拋物型方程有意義，必須有而上面的不等號改為等號，則就化為原來的對流方程。在這兩種情況下，相應(yīng)的問題是適定的。即第一微分近似適定的條件是由此得出差分格式（2.3）的穩(wěn)定性條件是，其中。此結(jié)論與Fourier方法分析得到的結(jié)論是一致的。下面我們再來分析逼近對流方程（2.1）（仍設(shè)）的差分格式（2.2）的穩(wěn)定性。模仿上面的推導(dǎo)可以得到它的第一微分近似是可以看出的系數(shù)小于0，因此第一微分近似是不適定的，從而推出差分格式（2.2）是不穩(wěn)定的。3 直接方法關(guān)于拋物型方程初值問題的差分格式的穩(wěn)定性問題，可以用直接方法（或稱矩陣方法）來研究。下面用具體例子來說明這個方法的基本思想及使用方法?？紤]常系數(shù)擴散方程的初值問題 （3.1）采用顯示差分格式來逼近，即 （3.2）其中。先把差分格式（3.2）寫成 （3.3）其中?？梢园眩?.3）寫成向量形式，即 （3.4）如果令并考慮到，則（3.4）式可以寫成 （3.5）其中 （3.6）從顯示格式出發(fā)，得到方程組（3.5）式，也可以理解為較為一般的形式，即對于逼近初值問題（3.2）的其他二層格式也可以化為（3.5）式的形式。當(dāng)然此時不是（3.6）式所表示的形式。如果差分格式是二層隱式格式。則為這種形式。因此（3.5）式這種形式可理解為既包含二層顯示格式又包含二層隱士格式的較為一般的形式。引入誤差向量，其中是差分方程（3.5）的精確值（理論值），是差分方程（3.5）經(jīng)數(shù)值求解得到的值（包括了舍入誤差等）。顯然，滿足 （3.7）從而推出 （3.8）差分格式（3.5）的穩(wěn)定性就要求 （3.9）其中為向量的2-數(shù)。由于因此（3.9）式成立的充分必要條件為 （3.10）上述采用2-數(shù)，當(dāng)然也可以采用其他類型的數(shù)。對于穩(wěn)定性條件（3.10），可以仿Fourier方法中的推導(dǎo)，得到一些結(jié)論：（1）譜半徑條件 （3.11）是差分格式穩(wěn)定的一個必要條件，其中為常數(shù)。（2）如果矩陣是一個正規(guī)矩陣，則（3.11）式也是格式穩(wěn)定的一個充分條件。下面討論差分格式（3.5），（3.6）的穩(wěn)定性。矩陣（3.6）是對稱矩陣，所以只要使條件（3.11）成立即可?，F(xiàn)在來計算的特征值。令階方陣則可以表示為其中為階單位矩陣。由此可知，關(guān)鍵是求出的特征值和特征向量。設(shè)和分別為的特征值和特征向量，寫成分量的形式有 （3.12）先求出，再求出的特征值。由于為對稱矩陣，所以其特征值為實數(shù)。由Gerschgorin定理知，其中為矩陣的元素。由此得到。（3.12）式的第一式為常系數(shù)線性差分方程。設(shè)其解具有如下形式：將它代入（3.12）式的第一式，便得到關(guān)于的一元二次方程此方程稱為（3.12）式的第一式的特征方程。由于，所以其解為其中?？梢钥吹饺?，則。因此差分方程（3.12）的解可以表示為由，得到。再由，得到，從而有由此可推。，有。所以得到，可以得到。注意到，則的特征值為。從而得到的特征值為當(dāng)時，。因此顯示格式的穩(wěn)定性條件為。下面討論隱式格式的穩(wěn)定性?？梢园央[式格式寫成向量形式其中，。利用前面已經(jīng)求得的的特征值，可以得到的特征值由此可知，從而有。注意的為對稱矩陣，所以也為對稱矩陣，利用直接方法結(jié)論（2）知，擴散方程隱式格式是無條件穩(wěn)定的。從上面的敘述看來，利用直接方法來分析拋物型方程的初值問題的差分格式并不困難。但在實際應(yīng)用中卻存在著一定的限制。上面討論穩(wěn)定性的兩個例子中式依據(jù)了特殊矩陣才求出了階矩陣、的特征值。一般說來，計算高階矩陣的特征值是相當(dāng)困難的，因此直接方法應(yīng)用也就很困難了。4 能量不等式方法4.1 方法概述在討論線性常系數(shù)差分格式的穩(wěn)定性問題時，建立了判別差分格式的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，從而比較容易地判斷一些差分格式的穩(wěn)定性。但對于變系數(shù)問題和非線性問題，一般不能采用Fourier方法和直覺法來討論差分格式的穩(wěn)定性。而對于上述這些問題，能量不等式方法是研究差分格式穩(wěn)定性的有力工具。用能量不等式方法討論差分格式穩(wěn)定性是從穩(wěn)定性的定義出發(fā)，通過一系列估計式來完成的。這個方法是偏微分方程中常用的能量方法的離散模擬，在此我們僅通過例子敘述其基本思想。4.2 操作方法考慮變系數(shù)對流方程的初值問題 （4.1）假定，建立差分格式 （4.2）其中。下面用能量不等式方法來討論這個差分格式的穩(wěn)定性。先把它改變形式為其中為網(wǎng)格比。用乘上式的兩邊，得如果滿足條件 （4.3）則有移項得用乘上面不等式的兩邊，并對求和，令則有如果 （4.4）則有由此可得由于問題是線性的，因此上述不等式就證明了差分格式（4.2）的穩(wěn)定性。由此看出，條件（4.4）是微分方程問題中給定的。而差分格式穩(wěn)定性條件就是（4.3式）式。如果即為常系數(shù)問題，那么（4.4）式滿足，而條件（4.3）就化為，這與我們在課上所學(xué)的用Fourier方法得到的結(jié)論一致。5 結(jié)論在本篇論文中，從微分方程的基本概念出發(fā)，先介紹了微分方程中比較基本的概念，然后又介紹了有限差分格式的性質(zhì)。在介紹有限差分格式時從三種求解有限差分格式穩(wěn)定性的方法出發(fā)，分別是：Hirt啟示性方法、直接方法（或矩陣方法）和能量不等式方法。在介紹這三種的方法時也是先從基本思想出發(fā)，然后分別闡述其方法原理、公式推導(dǎo)和實際應(yīng)用等。但是求解有限差分格式穩(wěn)定性的方法很多，作者也僅僅介紹了三種方法，希望能起到拋磚引玉的作用。參考文獻1 陸金甫, 關(guān)治：偏微分方程數(shù)值解法，清華大學(xué)，20032 馮康等編：數(shù)值計算方法，國防工業(yè)，1978.3 祖熾編：計算方法，高等教育，1959。4 清華大學(xué)、大學(xué)計算方法編與組編：（計算方法），科學(xué)，1980。5 朱幼蘭等著：初邊值問題差分法及繞流，科學(xué)，1980。6 RD里奇特邁爾著，何旭初等譯：初值問題差分方法，科學(xué)，19667 R. D. Richtmyer，Difference Methods for Initial-Value Problems，Interscience Pub.，New York，1957.）8 R. D. Richtmyer，K. W. Morton，Difference Methods for Initial-Value Problems，2nd ed.，Interscience Pub.，New York，1967.