教材同步復習 第一部分 第三章函數(shù) 課時11二次函數(shù)的圖象與性質 1 二次函數(shù)的概念一般地 形如y ax2 bx c a b c是常數(shù) a 0 的函數(shù)叫做二次函數(shù) 其中x是自變量 a b c分別為函數(shù)表達式的二次項系數(shù) 一次項系數(shù)和常數(shù)項 注意 1 二次函數(shù)的表達式為整式 且二次項系數(shù)不為0 2 b c可分別為0 也可同時為0 3 自變量的取值范圍是全體實數(shù) 知識要點 歸納 知識點一二次函數(shù)及其解析式 2 二次函數(shù)的三種表達式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 a b c為常數(shù) 2 頂點式 y a x h 2 k a 0 對稱軸為直線x h 頂點坐標為 h k 最值為k 3 交點式 y a x x1 x x2 a 0 其中x1 x2是拋物線與x軸交點的橫坐標 2 知識點二二次函數(shù)的圖象與性質 上 下 減小 增大 增大 減小 B C 1 二次函數(shù)一般式的平移 知識點三二次函數(shù)圖象的平移 m m m m m m 2 二次函數(shù)頂點式的平移 1 平移的方法步驟 將拋物線解析式轉化為頂點式y(tǒng) a x h 2 k 確定其頂點坐標 保持拋物線的形狀不變 平移頂點坐標 h k 即可 2 平移的規(guī)律 易錯提示 點坐標的平移規(guī)律 左減右加 上加下減 函數(shù)圖象的平移規(guī)律 左加右減 上加下減 兩者要區(qū)分開 5 將拋物線y x2 2x向上平移3個單位 再向右平移4個單位得到的拋物線是 y x 5 2 2 或y x2 10 x 27 1 待定系數(shù)法 1 選擇解析式的形式 知識點四二次函數(shù)解析式的確定 2 確定二次函數(shù)解析式的步驟 根據(jù)已知設合適的二次函數(shù)的解析式 代入已知條件 得到關于待定系數(shù)的方程組 解方程組 求出待定系數(shù)的值 從而寫出函數(shù)的解析式 2 根據(jù)圖象變換求解析式 1 將已知解析式化為頂點式y(tǒng) a x h 2 k 2 根據(jù)下表求出變化后的a h k a h k h k 3 將變化后的a h k代入頂點式中即可得到變化后的解析式 y x2 2x 2 y x2 2x 3 y x2 1 知識點五二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a b c的關系 上 下 小 y 左 右 原點 正 負 唯一 兩個不同 沒有 a b c a b c 9 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖所示 有下列結論 b 0 c 0 a c b b2 4ac 0 其中正確的個數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 C 10 如圖 已知經(jīng)過原點的拋物線y ax2 bx c a 0 的對稱軸為直線x 1 下列結論中 ab 0 a b c 0 當 2 x 0時 y 0 正確的個數(shù)是 A 0B 1C 2D 3 D 考向一 列一般式求解析式例1如圖 二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象經(jīng)過A B C三點 觀察圖象寫出A B C三點的坐標 并求出此二次函數(shù)的解析式 重難點 突破 考點1二次函數(shù)解析式的確定高頻考點 思路點撥根據(jù)二次函數(shù)的圖象直接寫出A B C三點的坐標 進一步利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式即可 例2已知二次函數(shù)的圖象以A 1 4 為頂點 且過點B 2 5 求該二次函數(shù)的關系式 思路點撥根據(jù)圖象的頂點A 1 4 來設該二次函數(shù)的關系式 然后將B點坐標代入 列方程求解 解答 由題知頂點A 1 4 設二次函數(shù)的關系式為y a x 1 2 4 a 0 二次函數(shù)的圖象過點B 2 5 5 a 2 1 2 4 解得a 1 二次函數(shù)的關系式是y x 1 2 4 x2 2x 3 考向二 列頂點式求解析式 考向三 列交點式求解析式例3已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象經(jīng)過A 1 0 B 3 0 C 0 3 三點 求這個二次函數(shù)的解析式 思路點撥由于已知拋物線與x軸的兩交點坐標 則可設為交點式y(tǒng) a x 1 x 3 然后把C點坐標代入計算出a即可 解答 設二次函數(shù)的解析式為y a x 1 x 3 把C 0 3 代入得a 1 3 3 解得a 1 即這個二次函數(shù)的解析式為y x 1 x 3 x2 2x 3 練習1拋物線y ax2 bx c經(jīng)過A 2 4 B 6 4 兩點 且頂點在x軸上 則該拋物線的解析式為 本題考查二次函數(shù)解析式的確定 確定二次函數(shù)解析式的主要方法是待定系數(shù)法 確定二次函數(shù)解析式一般需要三個條件 要根據(jù)不同條件選擇不同設法 若已知二次函數(shù)圖象上的三個點 可設一般式求解 若已知二次函數(shù)的頂點坐標和拋物線上另一點時 可設頂點式求解 若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標和另一點坐標 可設交點式求解 例4 2018 濱州 如圖 若二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 圖象的對稱軸為直線x 1 與y軸交于點C 與x軸交于點A 點B 1 0 則 二次函數(shù)的最大值為a b c a b c 0 b2 4ac 0 當y 0時 1 x 3 其中正確的個數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 考點2二次函數(shù)的圖象與性質高頻考點 B 思路點撥 根據(jù)開口向下知a 0 得函數(shù)有最大值 由對稱軸為直線x 1 得出最大值為a b c 由二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象經(jīng)過B 1 0 即可判斷 將二次函數(shù)與一元二次方程結合 其與x軸有兩個交點 即可判斷 由題圖可知 當y 0時 x的取值范圍 解答 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 圖象的對稱軸為直線x 1 且開口向下 當x 1時 y a b c 即二次函數(shù)的最大值為a b c 故 正確 當x 1時 a b c 0 故 錯誤 圖象與x軸有兩個交點 故b2 4ac 0 故 錯誤 圖象的對稱軸為直線x 1 與x軸交于點A 點B 1 0 A 3 0 故當y 0時 1 x 3 故 正確 故選B 由函數(shù)圖象的特征 確定字母系數(shù)或與字母系數(shù)相關的代數(shù)式的值的符號 其順序是先由開口方向確定a的符號 再由對稱軸的位置及a的符號確定b的符號 由拋物線與y軸的交點的位置確定c的符號 A 例5如圖 已知二次函數(shù)y x2 bx 3的圖象與x軸正半軸交于B C兩點 BC 2 則b的值為 A 5B 4C 4D 4 易錯點忽略隱含條件 錯解 設C m 0 B n 0 則n m 2 根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到m n為方程x2 bx 3 0的兩根 則利用根與系數(shù)的關系得到m n b mn 3 由于 n m 2 4 則 m n 2 4mn 4 即b2 4 3 4 解得b 4 故選D