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第五章 彎曲應力 在縱向對稱面內受一對大小相等 方向相反的力偶作用的梁段稱為處于純彎曲狀態(tài) 可以看出 純彎曲狀態(tài)下任意橫截面上的內力都等于該力偶 5 1純彎曲 純彎曲 只在常值彎矩作用下的梁段 橫力彎曲 剪力和彎矩同時存在的梁段 觀察變形現象 1 橫向線仍保持直線 2 縱向線彎曲為曲線 3 縱向線仍與橫向線相正交 4 底部縱線伸長 頂部縱線縮短 5 縱線間距離保持不變 1 平面假設對于純彎曲 各橫截面變形后仍然保持為平面 且仍與梁軸正交 只是橫截面間做相對轉動 變形假設 2 單向受力假設各縱向線只在其直線方向受力作用 各縱向線之間無擠壓或拉伸作用 推論 1 橫截面上只存在正應力 縱向線與橫向線保持直角 2 正應力分布不是均勻的 縱向線中既有伸長也有縮短的 中性層和中性軸 如圖所示 當梁彎曲時 底部各縱向纖維伸長 頂部各縱向纖維縮短 底部拉伸且頂部壓縮 梁的底部和頂部之間必有一個平面 其上各縱向纖維長度不變化 該平面被稱為梁的中性層 中性層與各橫截面的交線成為中性軸 5 2純彎曲時的正應力 變形后 1變形幾何關系 2物理關系 根據單向受力假設 橫截面上任意點受單軸向應力作用 根據胡克定律 s y 正應力的分布規(guī)律 3靜力等效關系 這表明 中性軸必定通過截面形心 則 兩個問題 中性層位置 曲率半徑r 靜力等效關系 橫截面上無側彎矩 由于y軸是對稱軸 則必有 靜力等效關系 EIz 截面抗彎剛度 截面對Z軸的慣性矩 聯立方程 最后可得 稱為抗彎截面模量 彎曲正應力的分布 y z b h 抗彎截面模量 純彎曲 梁的受力段受剪力和彎矩同時作用 彎矩是橫截面在梁軸上的位置函數 梁的純彎曲段只受彎矩的作用 并且各橫截面上彎矩相等 橫力彎曲 5 3橫力彎曲時的正應力 這里 彎矩M是截面位置x的函數 對于足夠長的等截面直梁 橫力彎曲時橫截面上的正應力仍可按純彎曲的正應力公式計算 梁的彎曲正應力強度條件 解決三類問題 1 校核強度 2 設計截面尺寸 3 計算許用載荷 或 例5 1T形截面梁受力及幾何尺寸如圖所示 已知截面對中性軸的慣性矩Iz 2610cm4 1 試求梁上的最大拉應力和最大壓應力 并指明產生于何處 2 若 s 160MPa 校核此梁的強度 解 1 求支反力 2 畫彎矩圖 37 5 62 5 50 14 1 25 極值點彎矩 C點 B點 最大彎矩 FQ M kN kN m C B C B C截面 B截面 最大拉應力可能發(fā)生在C截面的下邊緣或B截面的上邊緣 故最大拉應力為 發(fā)生在C截面的下邊緣 3 求最大應力 C截面 B截面 最大壓應力只可能發(fā)生在B截面的下邊緣 4 強度校核 滿足強度要求 兩個假設 橫截面上各點的切應力方向與剪力平行 即平行于橫截面的垂直邊 切應力沿截面寬度方向均勻分布 在高度方向上可能有變化 5 4彎曲切應力 矩形截面梁 研究方法 FQ dFQ M M dM FQ dx 自由體平衡 在梁上截取寬度為dx的小段微元 如圖所示 在微段上選取一小塊 作用在其上的所有應力應平衡 FQ dFQ M M dM FQ dx 因為 FQ dFQ M M dM FQ dx 同理 梁腹板面積 web Flange 同理 需進行彎曲切應力強度條件校核的情況 鉚接或焊接的工字梁 腹板較薄而高度較大 腹板與高度的比值小于型鋼的相應比值 梁的跨度較短 或在支座附近作用較大載荷 焊接 鉚接或膠合而成的梁 焊縫 鉚釘或膠合面 彎曲切應力強度條件 例5 2如圖所示 木質簡支梁受均布載荷作用 橫截面為矩形 已知b h 0 12m 0 18m 7MPa 0 9MPa 請計算 max max的比率并校核梁的強度 解 1 畫出內力圖 確定可能的危險截面 q 3 6kN m A L 3m B q 3 6kN m A L 3m B 2 計算最大應力并校核強度 梁是安全的 q 3 6kN m A L 3m B 3 計算 max max的比率 對彎曲梁的強度起主要影響的是正應力 梁的彎曲正應力強度條件 因此提高彎曲梁強度的措施應是減小彎矩M和提高抗彎截面模量Wz 顯然 5 6提高彎曲強度的措施 1 載荷及支座的合理配置 本例中a和Mmax的最合理的值是多少 1 載荷及支座的合理配置 例5 3兩端外伸梁如圖所示 若已知鋼材許用應力 s 160MPa 試分別設計以下幾種形狀的截面尺寸和型號 1 矩形 h b 2 2 圓形 3 工字鋼 4 管形 D d 2 5 薄壁管 D d 1 1 并比較其經濟性 2 梁的合理截面設計 5kN m 15kN 10kN m 0 5m 0 5m 0 5m 0 5m 例5 3 s 160MPa 設計截面尺寸和型號 1 矩形 h b 2 2 圓形 3 工字鋼 4 管形 D d 2 5 薄壁管 D d 1 1 解 1求支反力 A B 2 5kN 12 5kN 17 5kN 5kN 5kN m 6 25kN m 1 25kN m FQ M 2作剪力圖和彎矩圖 3根據強度條件進行截面設計 1 矩形 h b 2 解得 2 圓形 3 工字鋼 查型鋼表 選擇No10號工字鋼 4 管形 D d 2 5 薄壁管 D d 1 1 2 梁的合理截面設計 提高WZ 盡可能使截面的面積分布得遠離中性層 對于矩形截面 增加高度減小寬度來提高WZ 北宋李誡于1100年著 營造法式 一書中指出 矩形木梁的合理高寬比 h b 1 5 T Young 英 于1807年著 自然哲學與機械技術講義 一書中指出 矩形木梁的合理高寬比為 如果抗拉和抗壓能力不同 如脆性材料 則應采用上下非對稱截面 3 合理設計梁的外形 變截面等強度設計 本章完 2慣性矩的計算 量綱 L4 單位 m4或mm4 慣性矩的值恒為正 平面圖形關于z軸和y軸的慣性矩定義 關于z軸的慣性矩 關于y軸的慣性矩 極慣性矩 矩形關于形心軸zc和yc的慣性矩 h zc yc C h 2 圓形關于形心軸zc軸和yc軸的慣性矩 D zc yc C 由圖形的對稱性計算 同理 空心圓截面的慣性矩為 組合圖形的慣性矩 例如空箱體截面關于形心軸zc yc的慣性矩 平行移軸公式