蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 軸對(duì)稱(chēng)圖形學(xué)員姓名： 年 級(jí)： 八年級(jí) 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 授課日期授課時(shí)段 - 授課主題軸對(duì)稱(chēng)教學(xué)目標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，線段、角軸對(duì)稱(chēng)，等腰、等邊、直角三角形軸對(duì)稱(chēng)性教學(xué)重難點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容【知識(shí)梳理】一、軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別1.軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果沿某條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能夠完全重合，那么就稱(chēng)這樣的圖形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸；注：軸對(duì)稱(chēng)圖形是“一個(gè)圖形”，一個(gè)具有特殊形狀的圖形2.軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線就是對(duì)稱(chēng)軸，兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)； 注：軸對(duì)稱(chēng)是指“兩個(gè)圖形”的位置關(guān)系3. 軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：（1）關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形；（2）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分；（3）軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上二、線段和角的軸對(duì)稱(chēng)性1.線段的垂直平分線：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線2.垂直平分線的性質(zhì)：（1）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（2）和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。注：線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是它的垂直平分線。3.角平分線：從角的頂點(diǎn)出發(fā)并且平分這個(gè)角的射線稱(chēng)為這個(gè)角的角平分線4.角平分線的性質(zhì)：（1） 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；（2） 到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。注：角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是它的角平分線。三、 等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性1.等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊叫腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角；2.等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）.（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（三線合一）（3）等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.3.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等（“等角對(duì)等邊”）；4.等邊三角形的定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；注：等邊三角形是一種特殊的等腰三角形5. 等邊三角形的性質(zhì)：（1） 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，并且每個(gè)角都等于60度；（2） 等邊三角形每一條邊上都是三線合一；6. 等邊三角形的判定：（1） 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2） 有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。7. 直角三角形的性質(zhì)：（1） 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。典例精講：軸對(duì)稱(chēng)：例1：下列圖形中，ABC與ABC關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱(chēng)的是（）ABCD練習(xí)：如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的ABC，請(qǐng)你找出格紙中所有與ABC成軸對(duì)稱(chēng)且以格占為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有_個(gè)，請(qǐng)?jiān)谙旅嫠o的格紙中一一畫(huà)出（所給的六個(gè)格紙未必全用）軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念例2：下列交通標(biāo)志中，成軸對(duì)稱(chēng)圖形的是()ABCD練習(xí)：用四塊如圖所示的正方形瓷磚拼成一個(gè)新的正方形，使拼成的圖案是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形請(qǐng)你在圖、圖、圖中各畫(huà)一種拼法（要求三種拼法各不相同）例3：把一張正方形紙片如圖 、圖對(duì)折兩次后，再如圖挖去一個(gè)三角形小孔，則展開(kāi)后圖形是請(qǐng)你畫(huà)出展開(kāi)后的圖形（折痕用虛線畫(huà)出）練習(xí)：通過(guò)找出這組圖形符號(hào)中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律,在橫線上填上恰當(dāng)?shù)膱D形.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)例4：下列結(jié)論正確的是 （ ）A 全等的兩個(gè)的圖形一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形B 全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱(chēng)C 成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形不一定全等D 成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等練習(xí)：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4 cm，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)cm2垂直平分線例1：下列說(shuō)法中正確的是 （ ）A 線段的垂直平分線就是垂直于線段的直線B 線段的垂直平分線就是過(guò)該線段中點(diǎn)的直線C 線段的垂直平分線就是垂直于該線段且過(guò)該線段中點(diǎn)的直線D 線段的垂直平分線有無(wú)數(shù)條練習(xí)：在軸對(duì)稱(chēng)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被 垂直平分.作圖例2：如圖：已知AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到AOB兩邊的距離相等練習(xí)：近年來(lái)，國(guó)家實(shí)施“村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計(jì)劃在張村、李村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P，張、李兩村座落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）.醫(yī)療站必須滿足下列條件：使其到兩公路距離相等；到張、李兩村的距離也相等，請(qǐng)你通過(guò)作圖確定P點(diǎn)的位置。變式： 近年來(lái),國(guó)家實(shí)施村村通工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革,某縣計(jì)劃在張村,李村與王村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P,張,李,王村坐落在兩相交公路內(nèi)【如圖所示】，醫(yī)療站必須滿足下列條件，到張,李,王村的距離都相等,請(qǐng)你通過(guò)作圖確定P點(diǎn)的位置.線段的軸對(duì)稱(chēng)性例3:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，則PB= 。練習(xí)：點(diǎn)P在AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別使點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接M、N分別交OA、OB于E、F兩點(diǎn),若PEF的周長(zhǎng)是20cm，求MN的長(zhǎng).角的軸對(duì)稱(chēng)性:例4：已知:如圖AC平分BAD,CEAB于E,CFAD于F,且BC=DC求證BE=DF練習(xí)：如圖，ABC中，C90°，AB13，AC5，BC12，點(diǎn)O為ABC與CAB的平分線的交點(diǎn)你能求出點(diǎn)O到邊AB的距離嗎？是多少？例5：如圖，ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分別以A、B為圓心，4為半徑畫(huà)弧交于兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)的直線交AC于點(diǎn)D，連接BD，則BCD的周長(zhǎng)是_等腰三角形的性質(zhì)例1：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=40°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則CBE等于( )A、20° B、70° C、40° D、30°練習(xí)：1、若等腰三角形的一個(gè)外角為70°，則它的底角為 .2、如圖，點(diǎn)M是等腰三角形ABC底邊的中點(diǎn)，MDAB，MEAC，請(qǐng)問(wèn)DM和EM相等嗎？等腰三角形的判定：例2：如圖,在ABC中,ABC和ACB的平分線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作MNBC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9則線段MN的長(zhǎng)為等邊三角形的概念、性質(zhì)及判定例3:1、下列說(shuō)法：有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.其中正確的有（ ）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)2、如圖，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F（1）求證：ABECAD；（2）求BFD的度數(shù)直角三角形的性質(zhì) 例4：如圖，已知在ABC中，BE,CF分別是AC，AB邊上的高，D是BC邊上的中點(diǎn)，試說(shuō)明DE=DF。 例5：如圖，在ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)（1）若四邊形AEDF的周長(zhǎng)為24，AB=15，求AC的長(zhǎng)；（2）求證：EF垂直平分AD1.等腰三角形底邊上的高與底邊的比是1：2，則它的頂角等于（） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°2.下列性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（   ） A.內(nèi)角和等于180° B.有一個(gè)角的平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊C.有兩個(gè)銳角的和等于90° D.有兩條邊的平方和等于第三條邊的平方3.如圖，在矩形紙片 中， ，點(diǎn) 在邊 上，將 沿直線 折疊，點(diǎn) 恰好落在對(duì)角線 上的點(diǎn) 處，若 ，則 的長(zhǎng)是（  ）A. B.6 C.4 D.54.如圖，已知點(diǎn)P是AOB角平分線上的一點(diǎn)，AOB=60°，PDOA，M是OP的中點(diǎn)，DM=4cm，如果點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值為（）A.2 B.2 C.4 D.45.如圖，在ABC中（ABBC），在BC上截取BD=BA，作ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)P，連接PC，若ABC的面積為3，則BPC的面積為_(kāi) 6.如圖（1），在ABC中，ABACBC，ACB=80°，點(diǎn)D、E分別在線段BA、AB的延長(zhǎng)線上，且AD=AC，BE=BC，則DCE= ；（2）如圖（2），在ABC中，ABACBC，ACB=80°，點(diǎn)D、E分別在邊AB上，且AD=AC，BE=BC，求DCE的度數(shù)；（3）在ABC中，ABACBC，ACB=80°，點(diǎn)D、E分別在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，則求DCE的度數(shù)（直接寫(xiě)出答案）；（4）如圖（3），在ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，點(diǎn)D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC請(qǐng)根據(jù)題意把圖形補(bǔ)畫(huà)完整，并在圖形的下方直接寫(xiě)出DCE的面積（如果有多種情況，圖形不夠用請(qǐng)自己畫(huà)出，各種情況用一個(gè)圖形單獨(dú)表示） 軸對(duì)稱(chēng)有哪些性質(zhì)？你對(duì)本章還有什么疑問(wèn)？課后作業(yè)：1下列命題中：兩個(gè)全等三角形合在一起是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是底邊上的中線；等邊三角形一邊上的高就是這邊的垂直平分線；一條線段可以看著是以它的垂直平分線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形. 正確的說(shuō)法有（）個(gè)A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2下列圖形中：平行四邊形；有一個(gè)角是30°的直角三角形；長(zhǎng)方形；等腰三角形. 其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形有（）個(gè)A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3已知AOB30°，點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部，P1與P關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，P2與P關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，則P1OP2是（）A含30°角的直角三角形；B頂角是30的等腰三角形；C等邊三角形D等腰直角三角形.PAECBD4如圖：等邊三角形ABC中，BDCE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則APE的度數(shù)是（）A45°B55° C60°D75°5. 下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是（）A等腰三角形兩底角相等 B等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合 C等腰三角形是中心對(duì)稱(chēng)圖形 D等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形6已知點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，點(diǎn)Q在線段AB的中垂線外，則（） APA+PBQA+QBBPA+PBQA+QB DPA+PBQA+QBD不能確定7已知ABC與A1B1C1關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，且BC與B1C1交與直線MN上一點(diǎn)O，則（）A點(diǎn)O是BC的中點(diǎn) B點(diǎn)O是B1C1的中點(diǎn)BADPOC C線段OA與OA1關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng) D以上都不對(duì)8如圖：已知AOP=BOP=15°，PCOA，PDOA，若PC=4，則PD=（） A4 B3 C2 D19AOB的平分線上一點(diǎn)P到OA的距離 為5，Q是OB上任一點(diǎn)，則（） APQ5 BPQ5 CPQ5 DPQ510等腰三角形的周長(zhǎng)為15cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm則該等腰三角形的底長(zhǎng)為（） A3cm或5cm B3cm或7cmC3cmD5cm11線段軸是對(duì)稱(chēng)圖形，它有_條對(duì)稱(chēng)軸12等腰ABC中，若A=30°，則B=_13在RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若CD=4，則點(diǎn)D到AB的距離是_14等腰ABC中，AB=AC=10，A=30°，則腰AB上的高等于_15如圖，在ABC中，ABC=ACB=72°，BD、CE分別是ABC和ACB的平分線，它們的交點(diǎn)為F，則圖中等腰三角形有_個(gè) 16如圖，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=32°，則BAC= °_17若D為ABC的邊BC上一點(diǎn)，且AD=BD，AB=AC=CD，則BAC=_18ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若BAC=115°，則EAF=_AC··DOB19如圖：已知AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到AOB兩邊的距離相等20如圖：AD為ABC的高，B=2C，用軸對(duì)稱(chēng)圖形說(shuō)明：CD=AB+BDACDB21有一本書(shū)折了其中一頁(yè)的一角，如圖：測(cè)得AD=30cm,BE=20cm，BEG=60°，求折痕EF的長(zhǎng)22如圖：ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D，BCDEA 若BCD的周長(zhǎng)為8，求BC的長(zhǎng)； 若BC=4，求BCD的周長(zhǎng)23等邊ABC中，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，問(wèn) APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論ACBQP24. 如圖1，已知矩形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD（1）判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）保持圖1中ABC固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)），試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明；（3）保持圖2中ABC固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明18 / 18