第34講歸納、猜想與說理型問題(建議該講放第11講后教學(xué))內(nèi)容特性所謂歸納、猜想，指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論解題策略解題中要求充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，得出結(jié)論有時(shí)借助圖形、實(shí)物或?qū)嶋H操作打開思路解決這類題的基本思路是“觀察歸納猜想證明(驗(yàn)證)”，具體做法：(1)認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；(2)根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)一般性的結(jié)論；(3)結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性.基本思想觀察、分析、歸納、猜想一般，給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認(rèn)真觀察、分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.類型一通過數(shù)式變化產(chǎn)生規(guī)律(2016·淄博)(1)填空：(ab)(ab)；(ab)(a2abb2)；(ab)(a3a2 bab2b3)；(2)猜想：(ab)(an1an2babn2bn1)(其中n為正整數(shù)，且n2)；(3)利用(2)猜想的結(jié)論計(jì)算：29282723222.【解后感悟】此類問題要從整體上觀察各個(gè)式子的特點(diǎn)，猜想出式子的變化規(guī)律，并進(jìn)行驗(yàn)證對(duì)于本題來說，關(guān)鍵是先計(jì)算，再觀察各等式的結(jié)構(gòu)，猜想結(jié)果并驗(yàn)證對(duì)于(3)根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行設(shè)、列來構(gòu)建等式求解1(1)(2016·資陽(yáng)模擬)設(shè)一列數(shù)中相鄰的三個(gè)數(shù)依次為m、n、p，且滿足pm2n，若這列數(shù)為1，3，2，a，7，b，則b.(2)(2016·德州模擬)有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如下：則第n次運(yùn)算的結(jié)果yn(用含字母x和n的代數(shù)式表示)類型二通過圖形變化產(chǎn)生規(guī)律(2016·達(dá)州)如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個(gè)小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到7個(gè)小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到10個(gè)小三角形，稱為第三次操作；根據(jù)以上操作，若要得到100個(gè)小三角形，則需要操作的次數(shù)是()A25 B33 C34 D50【解后感悟】本題通過一次操作，得到下一個(gè)圖形的三角形個(gè)數(shù)與上一個(gè)圖形的三角形個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵解決這類問題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析前后兩個(gè)圖形中基礎(chǔ)圖案的數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)其數(shù)字變化規(guī)律具體地說，先根據(jù)圖形寫出數(shù)字規(guī)律，然后將每一個(gè)數(shù)字改寫為等式，再比較各等式的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，分析不同點(diǎn)(數(shù)字)與等式序號(hào)之間的關(guān)系，從而得到一般規(guī)律2(2017·舟山)如圖，把n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接成一排，求得tanBA1C1，tanBA2C，tanBA3C，計(jì)算tanBA4C_，按此規(guī)律，寫出tanBAnC_(用含n的代數(shù)式表示)類型三通過平移、折疊產(chǎn)生規(guī)律如圖，直角三角形紙片ABC中，AB3，AC4，D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；設(shè)Pn1Dn2的中點(diǎn)為Dn1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn(n2)，則AP6的長(zhǎng)為()A. B. C. D.【解后感悟】此題是翻折變換的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是寫出前面幾個(gè)有關(guān)線段長(zhǎng)度的表達(dá)式，從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力3 如圖，矩形OABC的兩條邊在坐標(biāo)軸上，OA1，OC2，現(xiàn)將此矩形向右平移，每次平移1個(gè)單位，若第1次平移得到的矩形的邊與反比例函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為0.6，則第n次(n1)平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為 (用含n的代數(shù)式表示)類型四通過旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生規(guī)律(2017·衢州)如圖，正ABO的邊長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸上，B在第二象限，ABO沿x軸正方向作無滑動(dòng)的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得到A1B1O，則翻滾3次后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_，翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為_【解后感悟】解題的關(guān)鍵是嘗試特殊情況，尋找循環(huán)規(guī)律，從特殊到一般的探究方法解決問題4(2015·東港模擬)如圖，點(diǎn)B1是面積為1的等邊OBA的兩條中線的交點(diǎn)，以O(shè)B1為一邊，構(gòu)造等邊OB1A1(點(diǎn)O，B1，A1按逆時(shí)針方向排列)，稱為第一次構(gòu)造；點(diǎn)B2是OB1A1的兩條中線的交點(diǎn)，再以O(shè)B2為一邊，構(gòu)造等邊OB2A2(點(diǎn)O，B2，A2按逆時(shí)針方向排列)，稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當(dāng)?shù)趎次構(gòu)造出的等邊OBnAn的邊OAn與等邊OBA的邊OB第一次重合時(shí)，構(gòu)造停止則構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是.類型五以數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系為背景的規(guī)律問題(2016·菏澤)如圖，一段拋物線：yx(x2)(0x2)記為C1，它與x軸交于兩點(diǎn)O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；如此進(jìn)行下去，直至得到C6，若點(diǎn)P(11，m)在第6段拋物線C6上，則m.【解后感悟】此題是拋物線其中一段的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)5(1)如圖，在數(shù)軸上，A1，P兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是1，2，A1，A2關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，A2，A3關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，A3，A4關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，A4，A5關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱依此規(guī)律，則點(diǎn)A14表示的數(shù)是.(2) (2015·達(dá)州)在直角坐標(biāo)系中，直線yx1與y軸交于點(diǎn)A1，按如圖方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2，A1、A2、A3在直線yx1上，點(diǎn)C1、C2、C3、在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，Sn，則Sn的值為_(用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù))【探索研究題】用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為a，內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為b，則Sab1(史稱“皮克公式”)小明認(rèn)真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對(duì)正三角形網(wǎng)格中的類似問題進(jìn)行探究：正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1，小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，下圖是該正三角形格點(diǎn)中的兩個(gè)多邊形：根據(jù)圖中提供的信息填表：格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)格點(diǎn)多邊形的面積多邊形181多邊形273一般格點(diǎn)多邊形abS則S與a、b之間的關(guān)系為S_(用含a、b的代數(shù)式表示)【方法與對(duì)策】此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律尋找規(guī)律是一件比較困難的活動(dòng)，需要仔細(xì)觀察和大量的驗(yàn)算該題型采用特殊到一般探究問題的方法是中考命題的一種方式【探求一般規(guī)律，注意序號(hào)與變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系】如圖，ABC是斜邊AB的長(zhǎng)為3的等腰直角三角形，在ABC內(nèi)作第1個(gè)內(nèi)接正方形A1B1D1E1(D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上)，再在A1B1C內(nèi)按同樣的方法作第2個(gè)內(nèi)接正方形A2B2D2E2，如此下去，操作n次，則第n個(gè)小正方形AnBnDnEn的邊長(zhǎng)是_第34講歸納、猜想與說理型問題【例題精析】例1(1)a2b2，a3b3，a4b4； (2)anbn； (3)令S29282723222，S12928272322212(1)(292827232221)÷3(2101)÷3(10241)÷3341，S342.例2第一次操作后，三角形共有4個(gè)；第二次操作后，三角形共有437個(gè)；第三次操作后，三角形共有43310個(gè)；第n次操作后，三角形共有43(n1)(3n1)個(gè)；當(dāng)3n1100時(shí)，解得：n33，故選：B.例3由題意得，ADBC，AD1ADDD1，AD2，AD3，ADn.故AP1，AP2，AP3APn.當(dāng)n6時(shí)，AP6.故選A.例4如圖作B3Ex軸于E，易知OE5，B3E，B3(5，)，觀察圖象可知三次一個(gè)循環(huán)，一個(gè)循環(huán)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為，2017÷36721，翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為672·.故答案為(5，)；.例5yx(x2)(0x2)，配方可得y(x1)21(0x2)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，A1坐標(biāo)為(2，0)，C2由C1旋轉(zhuǎn)得到，OA1A1A2，即C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，1)，A2(4，0)；照此類推可得，C3頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5，1)，A3(6，0)；C4頂點(diǎn)坐標(biāo)為(7，1)，A4(8，0)；C5頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9，1)，A5(10，0)；C6頂點(diǎn)坐標(biāo)為(11，1)，A6(12，0)；m1.故答案為：1.【變式拓展】1(1)128(2)2. 3.或4.5.(1)25(2)22n3【熱點(diǎn)題型】【分析與解】根據(jù)882(11)，1172(31)得到Sa2(b1)填表如下：格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)格點(diǎn)多邊形的面積多邊形1818多邊形27311一般格點(diǎn)多邊形abS【錯(cuò)誤警示】AB45°，AE1A1E1A1B1B1D1D1B，第一個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)AB1；同理可得：第二個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)A1B1AB；第三個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)A2B2AB；故可推出第n個(gè)小正方形AnBnDnEn的邊長(zhǎng)AB，故答案為：.8