第35講方程、函數(shù)思想型問(wèn)題(建議該講放第16講后教學(xué))內(nèi)容特性1.在解決問(wèn)題時(shí)，把某一個(gè)未知量或幾個(gè)未知量用字母來(lái)表示，根據(jù)已知的條件或有關(guān)的性質(zhì)、定理或公式，建立起未知量和已知量之間的等量關(guān)系，列出方程或方程組，從而使問(wèn)題獲得解決的思想方法稱為方程思想2函數(shù)思想是指用變量和函數(shù)來(lái)思考問(wèn)題的一種方法，借助函數(shù)知識(shí)來(lái)探求變量之間關(guān)系的一種思維方式，以生產(chǎn)、生活和學(xué)科問(wèn)題為背景，結(jié)合方程、幾何圖形等知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題解決的一種解題策略，是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型.解題策略(1)解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合，在函數(shù)、方程、不等式之間靈活轉(zhuǎn)化；(2)解決幾何綜合問(wèn)題時(shí)，常從面積關(guān)系，勾股定理、相似性質(zhì)尋求關(guān)系列方程、函數(shù)求解；(3)解決生活中應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，從一些常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系模型入手，建立方程、函數(shù)求解；(4)對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)，抓住事物在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)基本性質(zhì)和方法，從而更快更好地解決問(wèn)題.基本思想利用方程思想解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常涉及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想；利用函數(shù)思想解決問(wèn)題時(shí)，充分運(yùn)用函數(shù)數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題，經(jīng)常涉及函數(shù)與方程、不等式，函數(shù)與圖象.類型一運(yùn)用方程思想求解幾何綜合性問(wèn)題如圖，在ABC中，BABC20 cm，AC30 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)Q點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3 cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒(1)當(dāng)x為何值時(shí)，PQBC?(2)APQ能否與CQB相似？若能求出AP的長(zhǎng)；若不能請(qǐng)說(shuō)明理由【解后感悟】由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可列出分式方程，從而求解；在已知一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的前提下考慮兩個(gè)三角形相似時(shí)，有兩種情況，不可遺漏1 (2016·舟山)如圖，矩形ABCD中，AD2，AB3，過(guò)點(diǎn)A，C作相距為2的平行線段AE，CF，分別交CD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則DE的長(zhǎng)是()A. B. C1 D.類型二運(yùn)用函數(shù)思想求解方程、不等式問(wèn)題(2017·杭州)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1(xa)(xa1)，其中a0.(1)若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，求函數(shù)y1的表達(dá)式；(2)若一次函數(shù)y2axb的圖象與y1的圖象經(jīng)過(guò)x軸上同一點(diǎn)，探究實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；(3)已知點(diǎn)P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1的圖象上，若mn，求x0的取值范圍 【解后感悟】二次函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為方程，解(1)的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法；解(2)的關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式；解(3)的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等量關(guān)系，同時(shí)要分類討論，以防遺漏2(1)已知函數(shù)yx和y的圖象如圖，則不等式>x的解集為()A2x<2 B2x2 Cx<2 Dx>2 (1)圖 (2)圖(2)如圖，已知函數(shù)y與yax2bx(a>0，b>0)的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax2bx0的解為.類型三運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解幾何最值問(wèn)題(2016·黃岡模擬)如圖，在ABC中，ACB90°，ACBC6，現(xiàn)將一塊邊長(zhǎng)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)置于AB的中點(diǎn)O，兩直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，然后將三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度(0°<<90°)，旋轉(zhuǎn)后，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點(diǎn)K、H, 四邊形CHOK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板與ABC的重疊部分(如圖所示)，那么，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：(1)線段BH與CK具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHOK的面積是否發(fā)生變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)連結(jié)HK，設(shè)BHx.當(dāng)CKH的面積為時(shí)，求出x的值；試問(wèn)OHK的面積是否存在最小值，若存在，求出此時(shí)x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解后感悟】本題利用方程、函數(shù)思想把問(wèn)題構(gòu)建為方程、函數(shù)模型，再用方程、函數(shù)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程、函數(shù)關(guān)系式3 (2015·德州模擬)一個(gè)包裝盒的設(shè)計(jì)方法如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形的包裝盒，E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AEFBxcm.若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取的值為cm.類型四運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解三角形、四邊形與圓問(wèn)題(2015·汕尾)如圖，已知直線yx3分別與x、y軸交于點(diǎn)A和B.(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)求原點(diǎn)O到直線l的距離；(3)若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【解后感悟】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式，借助這些知識(shí)，再利用方程、函數(shù)思想來(lái)解決問(wèn)題以此設(shè)計(jì)問(wèn)題在中考中出現(xiàn)的頻率很高，是中考中比較典型的題型4 如圖，已知拋物線yx2bx與直線y2x交于點(diǎn)O(0，0)，A(a，12)點(diǎn)B是拋物線上O，A之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點(diǎn)C，E.(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，求BC的長(zhǎng)；(3)以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，n)，求出m，n之間的關(guān)系式 類型五運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解實(shí)際問(wèn)題某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(萬(wàn)件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y2x100.(利潤(rùn)售價(jià)制造成本)(1)寫(xiě)出每月的利潤(rùn)z(萬(wàn)元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得350萬(wàn)元的利潤(rùn)？當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？(3)根據(jù)相關(guān)部門(mén)規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬(wàn)元的利潤(rùn)，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬(wàn)元？【解后感悟】本題是通過(guò)方程、函數(shù)思想解決實(shí)際問(wèn)題，一是通過(guò)方程思想列函數(shù)解析式，二是通過(guò)函數(shù)思想解決變量間關(guān)系5(2015·濟(jì)寧)小明到服裝店參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問(wèn)題：服裝店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲乙兩種服裝，甲種每件進(jìn)價(jià)80元，售價(jià)120元；乙種每件進(jìn)價(jià)60元，售價(jià)90元計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件(1)若購(gòu)進(jìn)這100件服裝的費(fèi)用不得超過(guò)7500元，則甲種服裝最多購(gòu)進(jìn)多少件？(2)在(1)的條件下，該服裝店對(duì)甲種服裝以每件優(yōu)惠a(0a20)元的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，乙種服裝價(jià)格不變，那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)？【開(kāi)放探究題】實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時(shí)間x (時(shí))的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y200x2400x刻畫(huà)；1.5時(shí)后(包括1.5時(shí))y與x可近似地用反比例函數(shù)y(k0)刻畫(huà)(如圖所示)(1)根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算：喝酒后幾時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值為多少？當(dāng)x5時(shí)，y45.求k的值；(2)按國(guó)家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時(shí)屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請(qǐng)說(shuō)明理由【方法與對(duì)策】本題實(shí)質(zhì)是通過(guò)方程、函數(shù)思想解決反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵， 這是中考中的新題型【忽視變量范圍而出錯(cuò)】在矩形ABCD中，AB2，AD3，P是BC上的任意一點(diǎn)(P與B、C不重合)，過(guò)點(diǎn)P作APPE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E.(1)連結(jié)AE，當(dāng)APE與ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng)；(2)若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，試求出此時(shí)BP的長(zhǎng)參考答案第35講方程、函數(shù)思想型問(wèn)題【例題精析】例1(1)根據(jù)題意AP4xcm，AQACQC(303x)cm，若PQBC，則.則，解得x.所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s時(shí)，PQBC. (2)因?yàn)锳C，所以當(dāng)或時(shí)，APQ能與CQB相似當(dāng)時(shí)，解得x，所以AP4xcm.當(dāng)時(shí)，解得x15，x210(舍去)所以AP4x20cm.所以當(dāng)APcm或20cm時(shí)，APQ與CQB相似例2(1)函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，得(a1)(a)2，解得a12，a21，函數(shù)y1的表達(dá)式為y(x2)(x21)，化簡(jiǎn)，得yx2x2；或函數(shù)y1的表達(dá)式為y(x1)(x2)化簡(jiǎn)，得yx2x2，綜上所述：函數(shù)y1的表達(dá)式為yx2x2； (2)當(dāng)y0時(shí)，(xa)(xa1)0，解得x1a，x2a1，y1的圖象與x軸的交點(diǎn)是(a，0)，(a1，0)，當(dāng)y2axb經(jīng)過(guò)(a，0)時(shí)，a2b0，即ba2；當(dāng)y2axb經(jīng)過(guò)(a1，0)時(shí)，a2ab0，即ba2a； (3)當(dāng)P在對(duì)稱軸的左側(cè)(含頂點(diǎn))時(shí)，y隨x的增大而減小，(1，n)與(0，n)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由mn，得0x0；當(dāng)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大，由mn，得x01，綜上所述：x0的取值范圍為0x01.例3(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BHCK，四邊形CHOK的面積始終保持不變，其值為ABC面積的一半理由如下：連結(jié)OC.ABC為等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點(diǎn)，COAB，OCKB45°，COOB.又COK與BOH均為旋轉(zhuǎn)角，COKBOH，在COK和BOH中，COKBOH，BHCK，S四邊形CHOKSCOKSCOHSBOHSCOHSCOBSABC9. (2)由(1)知CKBHx，BC6，CH6x，根據(jù)題意，得CH·CK，即(6x)x5，解這個(gè)方程得x11，x25，此兩根滿足條件：0<x<6，所以當(dāng)CKH的面積為時(shí)，x的取值是1或5；設(shè)OKH的面積為S，由(1)知四邊形CHOK的面積為9，SOKHS四邊形CHOKSCKH9x(6x)(x26x)9(x3)2，>0，當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)SOKH有最小值，x3滿足條件0<x<6，OKH的面積存在最小值，此時(shí)x的值是3.例4(1)當(dāng)x0時(shí)，y3，B點(diǎn)坐標(biāo)(0，3)；當(dāng)y0時(shí)，有0x3，解得x4，A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)(2)過(guò)點(diǎn)O作OCAB于點(diǎn)C，則OC長(zhǎng)為原點(diǎn)O到直線l的距離，在RtBOA中，OA4，OB3，由勾股定理可得AB5，SBOAOB×OAAB×OC，OC，原點(diǎn)O到直線l的距離為.(3)過(guò)M作MDAB交AB于點(diǎn)D，當(dāng)圓M在直線l下方與直線相切時(shí)，MD2，在BOA和BDM中，OBADBM，BOABDM，BOABDM，BM，OMOBBM，當(dāng)M在直線l上方與直線相切時(shí)，同理可得OMOBBM，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(0，)或M(0，)例5(1)z(x18)y(x18)(2x100)2x2136x1800，z與x之間的函數(shù)解析式為z2x2136x1800.(2)由z350，得3502x2136x1800，解這個(gè)方程得x125，x243.銷售單價(jià)定為25元或43元時(shí)，廠商每月能獲得350萬(wàn)元的利潤(rùn)z2x2136x18002(x34)2512，當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí)，每月能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是512萬(wàn)元(3)結(jié)合(2)及函數(shù)z2x2136x1800的圖象(如圖所示)可知，當(dāng)25x43時(shí)，z350.又由限價(jià)32元，得25x32.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y2x100中y隨x的增大而減小，當(dāng)x32時(shí)，每月制造成本最低最低成本是18×(2×32100)648(萬(wàn)元)所求每月最低制造成本為648萬(wàn)元【變式拓展】1 D2.(1)A(2)x33.154. (1)點(diǎn)A(a，12)在直線y2x上，122a，解得：a6，又點(diǎn)A是拋物線yx2bx上的一點(diǎn)，將點(diǎn)A(6，12)代入yx2bx，可得b1，拋物線解析式為yx2x. (2)點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，6)，把y6代入yx2x，解得：x11，x21(舍去)，故BC132. (3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，n)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n，n)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，2m)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n，2m)，把點(diǎn)B(n，2m)代入yx2x，可得mn2n，m、n之間的關(guān)系式為mn2n.5.(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種服裝x件，由題意可知：80x60(100x)7500，解得：x75.答：甲種服裝最多購(gòu)進(jìn)75件 (2)設(shè)總利潤(rùn)為W元，因?yàn)榧追N服裝不少于65件，所以65x75.W(40a)x30(100x)(10a)x3000.方案1：當(dāng)0a10時(shí)，10a0，W隨x的增大而增大，所以當(dāng)x75時(shí)，W有最大值，則購(gòu)進(jìn)甲種服裝75件，乙種服裝25件；方案2：當(dāng)a10時(shí)，所有方案獲利相同，所以按哪種方案進(jìn)貨都可以；方案3：當(dāng)10a20時(shí)，10a0，W隨x的增大而減小，所以當(dāng)x65時(shí)，W有最大值，則購(gòu)進(jìn)甲種服裝65件，乙種服裝35件【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)當(dāng)x1時(shí)，y200，喝酒后1時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值，最大值為200毫克/百毫升當(dāng)x5時(shí)，y45，且(5，45)在反比例函數(shù)y(k0)圖象上，把(5，45)代入y得45，解得k225. (2)把y20代入反比例函數(shù)y得x11.25.喝完酒經(jīng)過(guò)11.25時(shí)為早上7：15.第二天早上7：15以后才可以駕駛，7：00時(shí)不能駕車去上班【錯(cuò)誤警示】(1)由APEADE可得APAD3，在RtABP中，運(yùn)用勾股定理即可求得BP的長(zhǎng)APEADE，APAD3.在RtABP中，AB2，BP. (2)由APPE，得RtABPRtPCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)x時(shí)，y的值最大，最大值是.APPE，RtABPRtPCE.，即，yx2x，yx2x(x)2，當(dāng)x時(shí)，y的值最大，最大值是. (3)由PEBD，得CPECBD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式求得BP的長(zhǎng)設(shè)BPx，由(2)得CEyx2x，PEBD，CPECBD.，即，化簡(jiǎn)得3x213x120，解得x1或x23(不合題意，舍去)，當(dāng)BP時(shí)，PEBD.12