第39講開(kāi)放與探索型問(wèn)題內(nèi)容特性所謂開(kāi)放題，即為答案不唯一的問(wèn)題，其主要特征是答案的多樣性和多層次性解題策略從總體上看，解開(kāi)放型題時(shí)，通過(guò)觀察、比較、分析、綜合及猜想，應(yīng)盡可能地放開(kāi)思維，大膽猜想，仔細(xì)論證，充分運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過(guò)歸納、類(lèi)比、聯(lián)想等推理的手段，得出正確的結(jié)論從方法上看，一般以分類(lèi)討論及反演推理等方法較為常見(jiàn).基本方法(1)條件開(kāi)放型問(wèn)題：從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，逆向推理，逐步探求結(jié)論成立的條件或把可能產(chǎn)生結(jié)論的條件一一列出，逐個(gè)分析；(2)結(jié)論開(kāi)放型問(wèn)題：從剖析題意入手，充分捕捉題設(shè)信息，通過(guò)由因?qū)Ч?，順向推理或?lián)想類(lèi)比、猜測(cè)等，從而獲得所求的結(jié)論；(3)條件和結(jié)論都開(kāi)放型：此類(lèi)問(wèn)題沒(méi)有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有多樣性，需將已知的信息集中進(jìn)行分析，探索問(wèn)題成立所必須具備的條件或特定的條件應(yīng)該有什么結(jié)論，通過(guò)這一思維活動(dòng)得出事物內(nèi)在聯(lián)系，從而把握事物的整體性和一般性.類(lèi)型一條件開(kāi)放與探索型問(wèn)題(1)四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：ADBC；ADBC；OAOC；OBOD從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有()A3種 B4種 C5種 D6種【解后感悟】判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的基本依據(jù)是：平行四邊形的定義及其判定定理解答此類(lèi)題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問(wèn)題在不同條件下的結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件(2)(2016·河北)如圖，AOB120°，OP平分AOB，且OP2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且PMN為等邊三角形，則滿(mǎn)足上述條件的PMN有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D3個(gè)以上【解后感悟】本題運(yùn)用等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)的開(kāi)放性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形1(1)請(qǐng)舉反例說(shuō)明“對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x25x5的值總是正數(shù)”是假命題，你舉的反例是x(寫(xiě)出一個(gè)x的值即可)(2)(2015·無(wú)錫)某商場(chǎng)在“五一”期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，根據(jù)顧客按商品標(biāo)價(jià)一次性購(gòu)物總額，規(guī)定相應(yīng)的優(yōu)惠方法：如果不超過(guò)500元，則不予優(yōu)惠；如果超過(guò)500元，但不超過(guò)800元，則按購(gòu)物總額給予8折優(yōu)惠；如果超過(guò)800元，則其中800元給予8折優(yōu)惠，超過(guò)800元的部分給予6折優(yōu)惠促銷(xiāo)期間，小紅和她母親分別看中一件商品，若各自單獨(dú)付款，則應(yīng)分別付款480元和520元；若合并付款，則她們總共只需付款元類(lèi)型二結(jié)論開(kāi)放與探索型問(wèn)題(2016·紹興)如果將四根木條首尾相連，在相連處用螺釘連接，就能構(gòu)成一個(gè)平面圖形(1)若固定三根木條AB，BC，AD不動(dòng)，ABAD2cm，BC5cm，如圖，量得第四根木條CD5cm，判斷此時(shí)B與D是否相等，并說(shuō)明理由；(2)若固定一根木條AB不動(dòng)，AB2cm，量得木條CD5cm，如果木條AD，BC的長(zhǎng)度不變，當(dāng)點(diǎn)D移到BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)C也在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上；當(dāng)點(diǎn)C移到AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)A、C、D能構(gòu)成周長(zhǎng)為30cm的三角形，求出木條AD，BC的長(zhǎng)度【解后感悟】此題是動(dòng)態(tài)開(kāi)放探究型問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)圖轉(zhuǎn)化為所求的圖形，利用全等三角形、二元一次方程組和三角形三邊關(guān)系解決問(wèn)題2 (2015·麗水)如圖，在方格紙中，線(xiàn)段a，b，c，d的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，通過(guò)平移其中兩條線(xiàn)段，使得和第三條線(xiàn)段首尾相接組成三角形，則能組成三角形的不同平移方法有()A3種 B6種 C8種 D12種3(2015·臺(tái)州)關(guān)于x的方程mx2xm10，有以下三個(gè)結(jié)論：當(dāng)m0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)m0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解；無(wú)論m取何值，方程都有一個(gè)負(fù)數(shù)解，其中正確的是(填序號(hào))類(lèi)型三條件、結(jié)論開(kāi)放與探索型問(wèn)題(2015·紹興)正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角DAG，其中0°180°，連結(jié)DF，BF，如圖(1)若0°，則DFBF，請(qǐng)加以證明；(2)試畫(huà)一個(gè)圖形(即反例)，說(shuō)明(1)中命題的逆命題是假命題；(3)對(duì)于(1)中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說(shuō)明理由【解后感悟】本題通過(guò)條件的改變尋求新的結(jié)論，從特殊到一般來(lái)探求問(wèn)題即0°的情況，再逆命題的探究，以及補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該命題為真命題的探究逐步畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題4(2015·南京)如圖，ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連結(jié)EF，AEF、CFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，BEF、DFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)H.(1)求證：四邊形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過(guò)G作MNEF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，過(guò)H作PQEF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP，此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，請(qǐng)?jiān)谙铝锌蛑醒a(bǔ)全他的證明思路由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MNNQ，由已知條件_，MNEF故只要證GMFQ，即證MGEQFH，易證_，_，故只要證MGEQFH，易證MGEGEF，QFHEFH，_，即可得證類(lèi)型四過(guò)程開(kāi)放與探索型問(wèn)題(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DGBE，連結(jié)EF，AG.求證：EFFG.(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC90°，ABAC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且MAN45°，若BM1，CN3，求MN的長(zhǎng) 【解后感悟】 本題是幾何綜合題，通過(guò)觀察、比較、分析、綜合及猜想，運(yùn)用正方形、全等三角形、等腰直角三角形以及勾股定理等幾何圖形的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)歸納、類(lèi)比、聯(lián)想等推理的手段，得出正確的結(jié)論5(2015·河南)如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BP到點(diǎn)C，使PCPB，D是AC的中點(diǎn)，連結(jié)PD、PO.(1)求證：CDPPOB；(2)填空：若AB4，則四邊形AOPD的最大面積為_(kāi)；連結(jié)OD，當(dāng)PBA的度數(shù)為_(kāi)時(shí)，四邊形BPDO是菱形6(2017·紹興)已知ABC，ABAC，D為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，E為直線(xiàn)AC上一點(diǎn)，ADAE，設(shè)BAD，CDE.(1)如圖，若點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上如果ABC60°，ADE70°，那么_°，_°；求，之間的關(guān)系式；(2)是否存在不同于以上中的，之間的關(guān)系式？若存在，求出這個(gè)關(guān)系式(求出一個(gè)即可)；若不存在，說(shuō)明理由【經(jīng)驗(yàn)積累題】(2015·麗水)如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BE上的一點(diǎn)，連結(jié)CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，MNCM交射線(xiàn)AD于點(diǎn)N.(1)當(dāng)F為BE中點(diǎn)時(shí)，求證：AMCE；(2)若2，求的值；(3)若n，當(dāng)n為何值時(shí)，MNBE?【方法與對(duì)策】本題是幾何綜合題，運(yùn)用了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，本題三問(wèn)的解題思路是一致的；即通過(guò)特殊到一般，利用全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，這是中考常見(jiàn)的壓軸題型【考慮欠周，容易漏解】在一服裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料(如圖)現(xiàn)找出其中的一種，測(cè)得C90°，ACBC4，現(xiàn)要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在ABC的邊上，且扇形與ABC的其他邊相切請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出扇形半徑)參考答案第39講開(kāi)放與探索型問(wèn)題【例題精析】例1(1)組合可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；組合可根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；可證明ADOCBO，進(jìn)而得到ADCB，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；可證明ADOCBO，進(jìn)而得到ADCB，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；故選：B.(2)如圖在OA、OB上截取OEOFOP，作MPN60°.OP平分AOB，EOPPOF60°，OPOEOF，OPE，OPF是等邊三角形，EPOP，EPOOEPPONMPN60°，EPMOPN，在PEM和PON中，PEMPON.PMPN，MPN60°，PMN是等邊三角形，只要MPN60°，PMN就是等邊三角形，故這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)故選D.例2(1)相等理由：連結(jié)AC，在ACD和ACB中，ACDACB，BD.(2) 設(shè)ADx，BCy，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，解得：，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，解得：，此時(shí)AC17，CD5，AD8，58<17，不合題意，AD13cm，BC10cm.例3(1)證明：如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG中，GFEF，AGAE，ADAB，DGBE.又DGFBEF90°，DGFBEF(SAS)DFBF. (2)反例圖形如圖2： (3)不唯一，如點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，或180°.例4(1)證明：ABEADG，ADAB，在ABE和ADG中，ABEADG(SAS)，BAEDAG，AEAG，EAG90°，在FAE和FAG中，F(xiàn)AEFAG(SAS)，EFFG；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CEBC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CEBM，連結(jié)AE、EN，ABAC，BAC90°，BACB45°，CEBC，ACEB45°，在ABM和ACE中，ABMACE(SAS)AMAE，BAMCAE.BAC90°，MAN45°，BAMCAN45°.于是，由BAMCAE，得MANEAN45°.在MAN和EAN中，MANEAN(SAS)MNEN.在RtENC中，由勾股定理，得EN2EC2NC2.MN2BM2NC2.BM1，CN3，MN21232，MN.【變式拓展】1 (1)2(2)838或9102.B3.4.(1)EH平分BEF，F(xiàn)EHBEF，F(xiàn)H平分DFE，EFHDFE，ABCD，BEFDFE180°，F(xiàn)EHEFH(BEFDFE)×180°90°，F(xiàn)EHEFHEHF180°，EHF180°(FEHEFH)180°90°90°，同理可得：EGF90°，EG平分AEF，F(xiàn)EGAEF，EH平分BEF，F(xiàn)EHBEF，點(diǎn)A、E、B在同一條直線(xiàn)上，AEB180°，即AEFBEF180°，F(xiàn)EGFEH(AEFBEF)×180°90°，即GEH90°，四邊形EGFH是矩形；(2)答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MNNQ，由已知條件：FG平分CFE，MNEF，故只要證GMFQ，即證MGEQFH，易證GEFH、GMEFQH.故只要證MGEQFH，易證MGEGEF，QFHEFH，GEFEFH，即可得證5.(1)PCPB，D是AC的中點(diǎn)，DPAB，DPAB，CPDPBO，BOAB，DPBO，在CDP與POB中，CDPPOB(SAS)； (2)當(dāng)四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時(shí)有最大面積，(4÷2)×(4÷2)2×24；如圖：DPAB，DPBO，四邊形BPDO是平行四邊形，四邊形BPDO是菱形，PBBO，POBO，PBBOPO，PBA的度數(shù)為60°.6.(1)ABAC，ABC60°，BAC60°，ADAE，ADE70°，DAE180°2ADE40°，BAD60°40°20°，ADCBADABD60°20°80°，CDEADCADE10°，故答案為：20，10；設(shè)ABCx，AEDy，ACBx，ADEy，在DEC中，yx，在ABD中，xyx，2； (2)存在；答案不唯一，如：當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，如圖1，設(shè)ABCx，ADEy，ACBx，AEDy，在ABD中，xy，在DEC中，xy180°，2180°，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖2，同的方法可得180°2.【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)F為BE的中點(diǎn)，BFEF.ABCD，MBFCEF，BMFECF.BMFECF，MBCE，ABCD，CEDE，MBAM.AMCE. (2)設(shè)MBa，ABCD，BMFECF.2，2，CE2a.ABCD2CE4a，AMABMB3a.2，BCAD2a.MNMC，AABC90°，AMNBCM.，即，ANa，ND2aaa，3.(3)方法一：n，設(shè)MBa，由(2)可得BC2a，CEna，AM(2n1)a.由AMNBCM，AN(2n1)a，DN，DHAM，DH(2n5)a，HE(5n)a.MBEH是平行四邊形，(5n)aa，n4.方法二：n，設(shè)MBa，由(2)可得BC2a：CEna.當(dāng)MNBE時(shí)，CMBE，可證MBCBCE，n4.【錯(cuò)誤警示】10