第27講圖形與變換第1課時圖形軸對稱與中心對稱1軸對稱與軸對稱圖形考試內(nèi)容考試要求軸對稱軸對稱圖形a定義把一個圖形沿某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形 ，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是 ，兩個圖形的對應(yīng)點叫做對稱點如果一個圖形沿某條直線對折，對折的兩部分能夠完全 ，那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的 區(qū)別軸對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關(guān)系軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形軸對稱的性質(zhì)1.對稱點的連線被對稱軸_；2對應(yīng)線段_；3對應(yīng)線段或延長線段的交點在_上；4成軸對稱的兩個圖形 c2.中心對稱與中心對稱圖形考試內(nèi)容考試要求中心對稱中心對稱圖形a定義把一個圖形繞著一點旋轉(zhuǎn) 后，如果與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做其對稱中心，旋轉(zhuǎn)前后重合的點叫做對稱點把一個圖形繞著某點旋轉(zhuǎn) 后，能與其自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做 區(qū)別中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關(guān)系中心對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形中心對稱的性質(zhì)1.中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過_，而且被對稱中心_；2成中心對稱的兩個圖形 c考試內(nèi)容考試要求基本思想轉(zhuǎn)化思想：有關(guān)幾條線段之和最短的問題，都是把它們轉(zhuǎn)化到同一條直線上，然后利用“兩點之間線段最短”來解決c1 (2016·紹興)我國傳統(tǒng)建筑中，窗框(如圖1)的圖案玲瓏剔透、千變?nèi)f化，窗框一部分如圖2，它是一個軸對稱圖形，其對稱軸有()A1條 B2條 C3條 D4條2(2016·湖州)為了迎接杭州G20峰會，某校開展了設(shè)計“YJG20”圖標(biāo)的活動，下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()3 (2017·衢州)如圖，矩形紙片ABCD中，AB4，BC6，將ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于()A. B. C. D.4(2017·麗水)如圖，由6個小正方形組成的2×3網(wǎng)格中，任意選取5個小正方形并涂黑，則黑色部分的圖形是軸對稱圖形的概率是_【問題】給出下列圖形(1)這些圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是_；(2)畫出平行四邊形ABCD關(guān)于DC所在直線對稱的平行四邊形A1B1C1D1；(3)通過(1)、(2)解題體驗，你想到哪些知識和方法？【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理軸對稱圖形和中心對稱圖形；軸對稱和中心對稱以及畫圖類型一軸對稱與軸對稱圖形、中心對稱與中心對稱圖形(1)(2015·無錫)下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是()A等邊三角形 B平行四邊形 C矩形 D圓(2)(2017·山東模擬)如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為_【解后感悟】(1)軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖形折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后重合；(2)解答的關(guān)鍵是菱形是中心對稱圖形，并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半1 (1)如圖，ABC中，ABAC，ABC與FEC關(guān)于點C成中心對稱，連結(jié)AE，BF，當(dāng)ACB為_度時，四邊形ABFE為矩形()A90° B30° C60° D45°(2) (2015·陽谷模擬)若AOB45°，P是AOB內(nèi)一點，分別作點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點P1，P2，連結(jié)OP1，OP2，則下列結(jié)論最準(zhǔn)確的是()AOP1OP2 BOP1OP2COP1OP2 DOP1OP2且OP1OP2(3) (2017·溫州模擬)如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個小正方形所形成的圖案，再將方格內(nèi)空白的一個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的涂法有種類型二網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系中的圖形變換如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為(2，4)，請解答下列問題：(1)畫出ABC關(guān)于x軸對稱的A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)；(2)畫出A1B1C1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到的A2B2C2，并寫出點A2的坐標(biāo)【解后感悟】本題運用圖形的軸對稱變換及旋轉(zhuǎn)變換解答此類題目的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的特點，然后根據(jù)題意找到各點的對應(yīng)點，然后順次連結(jié)即可2(1)(2015·杭州模擬)如下圖均為2×2的正方形網(wǎng)格，每個小正形的邊長均為1，請分別在四個圖中各畫出一個與ABC成軸對稱、頂點在格點上，且位置不同的三角形(2)(2017·寧波)在4×4的方格中，ABC的三個頂點都在格點上在圖1中畫出與ABC成軸對稱且與ABC有公共邊的格點三角形(畫出一個即可)；將圖2中的ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的三角形(3)(2015·南昌)如圖，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關(guān)于某點中心對稱，已知A，D1，D三點的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0，3)，(0，2)(1)求對稱中心的坐標(biāo)；(2)寫出頂點B，C，B1，C1的坐標(biāo)類型三軸對稱變換解決折疊問題(1)(2016·齊齊哈爾)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，A60°，點M是AD邊的中點，連結(jié)MC，將菱形ABCD翻折，使點A落在線段CM上的點E處，折痕交AB于點N，則線段EC的長為.【解后感悟】此題運用菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形(2)如圖，在ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DEBF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點B，C分別落在點B，C處，線段EC與線段AF交于點G，連結(jié)DG，BG.求證：12；DGBG.【解后感悟】本題運用軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的證明等知識，首先折疊問題是一種常見題型，折疊前后的兩個圖形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，也就是說折疊變換就是全等變換另外本題考查了一種常見的解題思路，證明兩條線段相等或兩個角相等，可以證明它們所在的兩個三角形全等3. (1)(2015·莆田)數(shù)學(xué)興趣小組開展以下折紙活動：對折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN.觀察，探究可以得到ABM的度數(shù)是()A25° B30° C36° D45°(2) (2016·河南)如圖，已知ADBC，ABBC，AB3.點E為射線BC上一個動點，連結(jié)AE，將ABE沿AE折疊，點B落在點B處，過點B作AD的垂線，分別交AD，BC于點M，N.當(dāng)點B為線段MN的三等分點時，BE的長為.類型四軸對稱變換解決最小值問題(2015·內(nèi)江)如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PDPE最小，則這個最小值為()A. B2 C2 D.【解后感悟】此題主要運用了軸對稱求最短路線以及正方形、等邊三角形的性質(zhì)，把線段PD與PE長度之和轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵4(2016·百色)如圖，正ABC的邊長為2，過點B的直線lAB，且ABC與ABC關(guān)于直線l對稱，D為線段BC上一動點，則ADCD的最小值是()A4 B3 C2 D2【探索研究題】(2017·臺州)如圖，矩形EFGH四個頂點分別在菱形ABCD的四條邊上，BEBF，將AEH，CFG分別沿邊EH，F(xiàn)G折疊，當(dāng)重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的時，則為()A. B2 C. D4【方法與對策】利用菱形的翻折變換(折疊問題)為背景給出問題的信息，借助基本圖形，即陰影部分是菱形，揭示數(shù)量關(guān)系，設(shè)AB4y，BEx，從而得出陰影部分邊長為4y2x，再由重疊部分面積是菱形ABCD面積的，可得陰影部分邊長為y，根據(jù)4y2xy，求出x，從而得出答案【對稱圖形的概念理解不透】以下圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A等邊三角形 B矩形 C等腰梯形 D平行四邊形參考答案第27講圖形與變換第1課時圖形軸對稱與中心對稱【考點概要】1重合對稱軸重合對稱軸垂直平分相等對稱軸全等2.180°180°對稱中心對稱中心 平分全等【考題體驗】1B2.D3.B4.【知識引擎】【解析】(1)(2)(3)軸對稱和軸對稱圖形、中心對稱和中心對稱圖形以及對稱變換畫圖【例題精析】例1(1)A(2)12例2(1)如圖所示：點A1的坐標(biāo)(2，4)； (2)如圖所示，點A2的坐標(biāo)(2，4)例3(1)如圖，過點M作MFDC于點F，在邊長為2的菱形ABCD中，A60°，M為AD中點，2MDADCD2，F(xiàn)DM60°，F(xiàn)MD30°，F(xiàn)DMD，F(xiàn)MDM×cos30°，MC，ECMCME1.故答案為：1.(2)證明：由折疊知，1CEF，又由平行四邊形的性質(zhì)知，CDAB，2CEF，12. 由折疊知，BFBF，又DEBF，DEBF，由知12，GEGF，又由平行四邊形的性質(zhì)知，CDAB，DEFEFB，由折疊知，EFBEFB，DEFEFB，即DEG1GFB2，DEGGFB，DEGBFG(SAS)，DGBG.例4由題意，可得BE與AC交于點P.點B與D關(guān)于AC對稱，PDPB，PDPEPBPEBE最小正方形ABCD的面積為12，AB2.又ABE是等邊三角形，BEAB2.故所求最小值為2.故選B.【變式拓展】1(1)C(2)D(3)32(1)(2)畫出下列其中一個即可(3) 根據(jù)對稱中心的性質(zhì)，可得對稱中心的坐標(biāo)是D1D的中點，D1，D的坐標(biāo)分別是(0，3)，(0，2)，對稱中心的坐標(biāo)是(0，2.5)A，D的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0，2)，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的邊長都是：422，B，C的坐標(biāo)分別是(2，4)，(2，2)，A1D12，D1的坐標(biāo)是(0，3)，A1的坐標(biāo)是(0，1)，B1，C1的坐標(biāo)分別是(2，1)，(2，3)，綜上，可得頂點B，C，B1，C1的坐標(biāo)分別是(2，4)，(2，2)，(2，1)，(2，3)3. (1)B(2)或4.A【熱點題型】【分析與解】依題可得陰影部分是菱形設(shè)BEx，AB4y.陰影部分邊長為4y2x.又重疊部分面積是菱形ABCD面積的，陰影部分邊長為y.4y2xy.xy，AE(4)yy，.故答案為A.【錯誤警示】B等邊三角形只是軸對稱圖形，等腰梯形也只是軸對稱圖形，平行四邊形只是中心對稱圖形，故選B.11