《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第36講 分類討論型問題講解篇》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第36講 分類討論型問題講解篇（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第36講　分類討論型問題 (建議該講放第21講后教學) 內容 特性 分類討論思想就是將要研究的數(shù)學對象按照一定的標準劃分為若干不同的情形，然后逐類進行研究和求解的一種數(shù)學解題思想．對于存在的一些不確定因素而無法解答或結論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學問題，我們往往將問題劃分為若干類或若干個局部問題來解決. 解題 策略 很多數(shù)學問題很難從整體上去解決，若將其劃分為所包含的各個局部問題，就可以逐個予以解決．分類討論在解題策略上就是分而治之各個擊破．具體是： (1)確定分類對象； (2)進行合理分類(理清分類“界限”，選擇分類標準，并做到不重復、不遺漏)； (3)逐類進行

2、討論； (4)歸納并得出結論. 基本 思想 分類討論的基本方法是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復)；再對各個分類逐步進行討論，分層進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論. 類型一　由計算化簡時，運用法則、定理和原理的限制引起的討論 　(2016·南通模擬)矩形一個角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個矩形的面積為(　　) A．3cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．4cm2或12cm2 【

3、解后感悟】解此題的關鍵是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不確定，要進行分類討論． 1．(1)若關于x的函數(shù)y＝kx2＋2x－1與x軸僅有一個公共點，則實數(shù)k的值為____________________． (2)已知平面上有⊙O及一點P，點P到⊙O上一點的距離最長為6cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為　　　　　　　　cm. (3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，則a＋b＝(　　) A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1 類型二　在一個動態(tài)變化過程中，出現(xiàn)不同情況引起的討論 　為了節(jié)約資源，科學指導居民改善居住條件，小

4、王向房管部門提出了一個購買商品房的政策性方案. 人均住房面積(平方米) 單價(萬元/平方米) 不超過30(平方米) 0.3 超過30平方米不超過m平方米部分(45≤m≤60) 0.5 超過m平方米部分 0.7 根據(jù)這個購房方案： (1)若某三口之家欲購買120平方米的商品房，求其應繳納的房款； (2)設該家庭購買商品房的人均面積為x平方米，繳納房款y萬元，請求出y關于x的函數(shù)關系式； (3)若該家庭購買商品房的人均面積為50平方米，繳納房款為y萬元，且57＜y≤60時，求m的取值范圍． 　 　　　　　　　 【解后感悟】本題是房款＝房屋單價×購房面積在實際

5、生活中的運用，由于單價隨人均面積而變化，所以用分段函數(shù)的解析式來描述．同時建立不等式組求解，解答本題時求出函數(shù)解析式是關鍵． 2．(1)在平面直角坐標系中，直線y＝－x＋2與反比例函數(shù)y＝的圖象有唯一公共點，若直線y＝－x＋b與反比例函數(shù)y＝的圖象有2個公共點，則b的取值范圍是(　　) A．b>2 B．－22或b<－2 D．b<－2 (2)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OBCD是邊長為4的正方形，平行于對角線BD的直線l從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，運動到直線l與正方形沒有交點為止．設

6、直線l掃過正方形OBCD的面積為S，直線l運動的時間為t(秒)，下列能反映S與t之間函數(shù)關系的圖象是(　　) 3．已知拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于點A，B(點A，B在原點O兩側)，與y軸相交于點C，且點A，C在一次函數(shù)y2＝x＋n的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當y1隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍． 　　　　　　　　 類型三　由三角形的形狀、關系不確定性引起的討論 　(2017·湖州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝kx(k＞0)分別交反比例函數(shù)y＝和y＝在第一象限的圖象于點A，B，過點B作BD⊥x軸于點D，

7、交y＝的圖象于點C，連結AC.若△ABC是等腰三角形，則k的值是________． 【解后感悟】解題的關鍵是用k表示點A、B、C的坐標，再進行分類討論． 4． (1)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為(1，)，M為坐標軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為(　　)　　 A．4 B．5 C．6 D．8 (2) (2016·北流模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射

8、線AX上運動，要使△ABC和△QPA全等，則AP＝　　　　　　　　. (3) (2016·臨淄模擬)如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動點，N在CD上，且CN＝CD，若AB＝1，設BM＝x，當x＝　　　　　　　　時，以A、B、M為頂點的三角形和以N、C、M為頂點的三角形相似． 類型四　由特殊四邊形的形狀不確定性引起的討論 　(2017·鄂州模擬)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動

9、點也隨之停止運動，設運動時間為t秒． (1)當t為何值時，四邊形ABQP成為矩形？ (2)當t為何值時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形？ (3)四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點的速度(勻速運動)，使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度． 【解后感悟】解本題的關鍵是用方程(組)的思想解決問題，涉及四邊形的知識，同時也是存在性問題，解答時要注意分類討論及數(shù)形結合． 5．(1)(2016·鹽城模擬)在平面直角坐標系中有三點A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，

10、在直角坐標系中再找一個點D，使這四個點構成平行四邊形，則D點坐標為　　　　　　　　. (2)(2016·江陰模擬)如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，射線AG∥BC，點E從點A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運動，點F從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動．如果點E、F同時出發(fā)，設運動時間為t(s)，當t＝　　　　　　　　s時，以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形． (3) (2016·金華模擬)如圖，B(6，4)在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，A(5，2)，點C在x軸上，點D在函數(shù)y＝x＋1上，以A、B、C、D四個點為頂點構成平行四邊形，寫出所有滿足條件的D點的坐標　　　　

11、　　　　. (4)(2016·蕭山模擬)已知在平面直角坐標系中，點A、B、C、D的坐標依次為(－1，0)，(m，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p≤n.若以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是菱形，則n的值是　　　　　　　　. 類型五　由直線與圓的位置關系不確定性引起的討論 　如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經(jīng)過點O，OP＝10cm，射線PN與⊙O相切于點Q.A、B兩點同時從點P出發(fā)，點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動．設運動時間為t(s)． (1)求PQ的長； (2)當t為何值時，直線AB與⊙O相切？

12、 【解后感悟】本題是直線與圓的位置關系應用，題目設置具有創(chuàng)新性．解決本題的關鍵是抓住直線與圓的兩種情況位置關系，及其對應數(shù)量關系進行分析． 6． (2016·泗洪模擬)如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y＝x2－1上運動，當⊙P與x軸相切時，圓心P的坐標為　　　　　　　　. 【壓軸把關題】 如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是(－3，0)，(0，6)，動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從點B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動．以CP，CO為鄰邊構造?PCOD，在線段OP延長線上取點E，使PE＝AO，設點P運動的時間為t

13、秒． (1)當點C運動到線段OB的中點時，求t的值及點E的坐標； (2)當點C在線段OB上時，求證：四邊形ADEC為平行四邊形； (3)在線段PE上取點F，使PF＝1，過點F作MN⊥PE，截取FM＝2，F(xiàn)N＝1，且點M，N分別在第一、四象限，在運動過程中，設?PCOD的面積為S. ①當點M，N中，有一點落在四邊形ADEC的邊上時，求出所有滿足條件的t的值； ②若點M，N中恰好只有一個點落在四邊形ADEC內部(不包括邊界)時，直接寫出S的取值范圍． 【方法與對策】本題是四邊形的綜合題，對于第(3)題解題的關鍵是正確分幾種不同情況求解．①當點C在BO上時，第一種

14、情況，當點M在CE邊上時，由△EMF∽△ECO求解，第二種情況，當點N在DE邊上時，由△EFN∽△EPD求解； 當點C在BO的延長線上時，第一種情況，當點M在DE邊上時，由EMF∽△EDP求解，第二種情況，當點N在CE邊上時，由△EFN∽△EOC求解；②當1≤t＜時和當＜t≤5時，分別求出S的取值范圍．這種雙動點型、分類討論問題是中考命題常用的策略． 【分類討論應不重復、不遺漏】 在△ABC中，P是AB上的動點(P異于A，B)，過點P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線．如圖，∠A＝36°，AB＝AC，當點P在AC的垂直平分

15、線上時，過點P的△ABC的相似線最多有________條． 參考答案 第36講　分類討論型問題 【例題精析】 例1　∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，①當AE＝1cm時，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm＋3cm＝4cm＝BC，此時矩形的面積是1cm×4cm＝4cm2；②當AE＝3cm時，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，此時矩形的面積是：3cm×4cm＝12cm2；故選D. 　

16、例2　(1)由題意，得三口之家應繳購房款為：0.3×90＋0.5×30＝42(萬元)； (2)由題意，得①當0≤x≤30時，y＝0.3×3x＝0.9x；②當30＜x≤m時，y＝0.9×30＋0.5×3×(x－30)＝1.5x－18；③當x＞m時，y＝0.9×30＋0.5×3(m－30)＋0.7×3×(x－m)＝2.1x－18－0.6m.∴y＝(45≤m≤60)． (3)由題意，得①當50≤m≤60時，y＝1.5×50－18＝57(舍)．②當45≤m＜50時，y＝2.1×50－0.6m－18＝87－0.6m.∵57＜y≤60，∴57＜87－0.6m≤60，∴45≤m＜50.綜合①②得45≤m

17、＜50. 例3　∵點B是y＝kx和y＝的交點，y＝kx＝，解得：x＝，y＝3，∴點B坐標為，點A是y＝kx和y＝的交點，y＝kx＝，解得：x＝，y＝，∴點A坐標為，∵BD⊥x軸，∴點C橫坐標為，縱坐標為＝，∴點C坐標為，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，則＝3－，解得：k＝；②AC＝BC，則＝3－，解得：k＝；故答案為k＝或.　 例4　(1)∵∠ABC＝90°，AP∥BQ，∴當AP＝BQ時，四邊形ABQP成為矩形，由運動知，AP＝t，CQ＝3t，∴BQ＝22－3t，∴t＝22－3t，解得t＝.∴當t＝時，四邊形ABQP成為矩形；　(2)當P、Q兩點與A、B兩點構成的四邊形

18、是平行四邊形時，就是(1)中的情形，此時t＝.當P、Q兩點與C、D兩點構成的四邊形是平行四邊形時，∵PD∥QC，∴當PD＝QC時，四邊形PQCD為平行四邊形．此時，16－t＝3t，t＝4；當P、Q兩點與B、D兩點構成的四邊形是平行四邊形時，同理，16－t＝22－3t，t＝3；當P、Q兩點與A、C兩點構成的四邊形是平行四邊形時，同理，t＝3t，t＝0，不符合題意；故當t＝或t＝4或t＝3時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形． （3）四邊形PBQD不能成為菱形．理由如下：∵PD∥BQ，∴當PD＝BQ＝BP時，四邊形PBQD能成為菱形．由PD＝BQ，得16－t＝

19、22－3t，解得t＝3，當t＝3時，PD＝BQ＝13，AP＝AD－PD＝16－13＝3.在Rt△ABP中，AB＝8，根據(jù)勾股定理得，BP＝＝＝≠13，∴四邊形PBQD不能成為菱形；如果Q點的速度改變?yōu)関cm/s時，能夠使四邊形PBQD在時刻ts為菱形，由題意得，解得故點Q的速度為2cm/s時，能夠使四邊形PBQD在某一時刻為菱形． 例5　(1)連結OQ，∵PN與⊙O相切于點Q，∴OQ⊥PN，即∠OQP＝90°.∵OP＝10，OQ＝6，∴PQ＝＝8(cm)． (2)過點O作OC⊥AB，垂足為C.∵點A的運動速度為5cm/s，點B的運動速度為4cm/s，運動時間為ts，∴PA＝5t，PB＝

20、4t.∵PO＝10，PQ＝8，∴＝＝.∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△POQ，∴∠PBA＝∠PQO＝90°.∵∠BQO＝∠CBQ＝∠OCB＝90°，∴四邊形OCBQ為矩形，∴BQ＝OC.∵⊙O的半徑為6，∴BQ＝OC＝6時，直線AB與⊙O相切．①當AB運動到如圖1所示的位置時，BQ＝PQ－PB＝8－4t，由BQ＝6，得8－4t＝6，t＝0.5.②當AB運動到如圖2所示的位置時，BQ＝PB－PQ＝4t－8，由BQ＝6，得4t－8＝6，t＝3.5.綜上，當t＝0.5s或3.5s時，直線AB與⊙O相切． 【變式拓展】 1．(1)0或－1　(2)4或2　(3)C　2.(1)C　(2)D 3．

21、根據(jù)OC長為8可得一次函數(shù)中的n的值為8或－8.分類討論：①n＝8時，易得A(－6，0)，如圖1，∵拋物線經(jīng)過點A、C，且與x軸交點A、B在原點的兩側，∴拋物線開口向下，則a＜0，∵AB＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A、B關于對稱軸對稱，∴對稱軸為直線x＝＝2，要使y1隨著x的增大而減小，∵a＜0，∴x≥2；②n＝－8時，易得A(6，0)，如圖2，∵拋物線過A、C兩點，且與x軸交點A，B在原點兩側，∴拋物線開口向上，則a＞0，∵AB＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A、B關于對稱軸對稱，∴對稱軸為直線x＝＝－2，要使y1隨著x的增大而減小，且a＞0，∴x≤－2.

22、 4．(1)C　(2)6或12　(3)或　5.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4)　(2)2或6　(3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6)　(4)2，5，18　6.(，2)或(－，2) 【熱點題型】 【分析與解】(1)∵OB＝6，C是OB的中點，∴BC＝OB＝3.∴2t＝3，即t＝s.∴OE＝＋3＝，E(，0)． (2)如圖1，連結CD交OP于點G，在?PCOD中，CG＝DG，OG＝PG，∵AO＝PE，∴AG＝EG .∴四邊形ADEC是平行四邊形． (3)①(Ⅰ)當點C在線段BO上時，第一種情況：如圖2，當點M在CE邊上時，∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO.∴＝，即＝，

23、解得t＝1.第二種情況：如圖3，當點N在DE邊時，∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD.∴＝即＝，解得t＝.(Ⅱ)當點C在BO的延長線上時，第一種情況：如圖4，當點M在DE邊上時，∵MF∥PD，∴EMF∽△EDP.∴＝即＝，解得t＝.第二種情況：如圖5，當點N在CE邊上時，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC.∴＝即＝，解得t＝5.綜上所述，所有滿足條件的t的值為1，，，5.②＜S≤或＜S≤20. 【錯誤警示】當PD∥BC時，△APD∽△ABC，當PE∥AC時，△BPE∽△BAC，連結PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，點P在AC的垂直平分線上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB∽△ACB，故過點P的△ABC的相似線最多有3條．故答案為：3. 12