第36講分類討論型問題(建議該講放第21講后教學)內(nèi)容特性分類討論思想就是將要研究的數(shù)學對象按照一定的標準劃分為若干不同的情形，然后逐類進行研究和求解的一種數(shù)學解題思想對于存在的一些不確定因素而無法解答或結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學問題，我們往往將問題劃分為若干類或若干個局部問題來解決.解題策略很多數(shù)學問題很難從整體上去解決，若將其劃分為所包含的各個局部問題，就可以逐個予以解決分類討論在解題策略上就是分而治之各個擊破具體是：(1)確定分類對象；(2)進行合理分類(理清分類“界限”，選擇分類標準，并做到不重復(fù)、不遺漏)；(3)逐類進行討論；(4)歸納并得出結(jié)論.基本思想分類討論的基本方法是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復(fù))；再對各個分類逐步進行討論，分層進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.類型一由計算化簡時，運用法則、定理和原理的限制引起的討論(2016·南通模擬)矩形一個角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個矩形的面積為()A3cm2 B4cm2 C12cm2 D4cm2或12cm2【解后感悟】解此題的關(guān)鍵是求出ABAE，注意AE1或3不確定，要進行分類討論1(1)若關(guān)于x的函數(shù)ykx22x1與x軸僅有一個公共點，則實數(shù)k的值為_(2)已知平面上有O及一點P，點P到O上一點的距離最長為6cm，最短為2cm，則O的半徑為cm.(3)若|a|3，|b|2，且ab，則ab()A5或1 B5或1 C5或1 D5或1類型二在一個動態(tài)變化過程中，出現(xiàn)不同情況引起的討論為了節(jié)約資源，科學指導(dǎo)居民改善居住條件，小王向房管部門提出了一個購買商品房的政策性方案.人均住房面積(平方米)單價(萬元/平方米)不超過30(平方米)0.3超過30平方米不超過m平方米部分(45m60)0.5超過m平方米部分0.7根據(jù)這個購房方案：(1)若某三口之家欲購買120平方米的商品房，求其應(yīng)繳納的房款；(2)設(shè)該家庭購買商品房的人均面積為x平方米，繳納房款y萬元，請求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若該家庭購買商品房的人均面積為50平方米，繳納房款為y萬元，且57y60時，求m的取值范圍 【解后感悟】本題是房款房屋單價×購房面積在實際生活中的運用，由于單價隨人均面積而變化，所以用分段函數(shù)的解析式來描述同時建立不等式組求解，解答本題時求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵2(1)在平面直角坐標系中，直線yx2與反比例函數(shù)y的圖象有唯一公共點，若直線yxb與反比例函數(shù)y的圖象有2個公共點，則b的取值范圍是()Ab>2 B2<b<2 Cb>2或b<2 Db<2(2)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OBCD是邊長為4的正方形，平行于對角線BD的直線l從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，運動到直線l與正方形沒有交點為止設(shè)直線l掃過正方形OBCD的面積為S，直線l運動的時間為t(秒)，下列能反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是()3已知拋物線y1ax2bxc(a0)與x軸相交于點A，B(點A，B在原點O兩側(cè))，與y軸相交于點C，且點A，C在一次函數(shù)y2xn的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當y1隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍類型三由三角形的形狀、關(guān)系不確定性引起的討論(2017·湖州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線ykx(k0)分別交反比例函數(shù)y和y在第一象限的圖象于點A，B，過點B作BDx軸于點D，交y的圖象于點C，連結(jié)AC.若ABC是等腰三角形，則k的值是_【解后感悟】解題的關(guān)鍵是用k表示點A、B、C的坐標，再進行分類討論4 (1)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為(1，)，M為坐標軸上一點，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為()A4 B5 C6 D8(2) (2016·北流模擬)如圖，在RtABC中，C90°，AC12，BC6，一條線段PQAB，P、Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，要使ABC和QPA全等，則AP.(3) (2016·臨淄模擬)如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動點，N在CD上，且CNCD，若AB1，設(shè)BMx，當x時，以A、B、M為頂點的三角形和以N、C、M為頂點的三角形相似類型四由特殊四邊形的形狀不確定性引起的討論(2017·鄂州模擬)如圖1，在四邊形ABCD中，ADBC，AB8cm，AD16cm，BC22cm，ABC90°，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒(1)當t為何值時，四邊形ABQP成為矩形？(2)當t為何值時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形？(3)四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點的速度(勻速運動)，使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度【解后感悟】解本題的關(guān)鍵是用方程(組)的思想解決問題，涉及四邊形的知識，同時也是存在性問題，解答時要注意分類討論及數(shù)形結(jié)合5(1)(2016·鹽城模擬)在平面直角坐標系中有三點A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐標系中再找一個點D，使這四個點構(gòu)成平行四邊形，則D點坐標為.(2)(2016·江陰模擬)如圖，在等邊三角形ABC中，BC6cm，射線AGBC，點E從點A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運動，點F從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動如果點E、F同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t(s)，當ts時，以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形(3) (2016·金華模擬)如圖，B(6，4)在函數(shù)yx1的圖象上，A(5，2)，點C在x軸上，點D在函數(shù)yx1上，以A、B、C、D四個點為頂點構(gòu)成平行四邊形，寫出所有滿足條件的D點的坐標.(4)(2016·蕭山模擬)已知在平面直角坐標系中，點A、B、C、D的坐標依次為(1，0)，(m，n)，(1，10)，(7，p)，且pn.若以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是菱形，則n的值是.類型五由直線與圓的位置關(guān)系不確定性引起的討論如圖，已知O的半徑為6cm，射線PM經(jīng)過點O，OP10cm，射線PN與O相切于點Q.A、B兩點同時從點P出發(fā)，點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動設(shè)運動時間為t(s)(1)求PQ的長；(2)當t為何值時，直線AB與O相切？【解后感悟】本題是直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用，題目設(shè)置具有創(chuàng)新性解決本題的關(guān)鍵是抓住直線與圓的兩種情況位置關(guān)系，及其對應(yīng)數(shù)量關(guān)系進行分析6 (2016·泗洪模擬)如圖，已知P的半徑為2，圓心P在拋物線yx21上運動，當P與x軸相切時，圓心P的坐標為.【壓軸把關(guān)題】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是(3，0)，(0，6)，動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從點B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動以CP，CO為鄰邊構(gòu)造PCOD，在線段OP延長線上取點E，使PEAO，設(shè)點P運動的時間為t秒(1)當點C運動到線段OB的中點時，求t的值及點E的坐標；(2)當點C在線段OB上時，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；(3)在線段PE上取點F，使PF1，過點F作MNPE，截取FM2，F(xiàn)N1，且點M，N分別在第一、四象限，在運動過程中，設(shè)PCOD的面積為S.當點M，N中，有一點落在四邊形ADEC的邊上時，求出所有滿足條件的t的值；若點M，N中恰好只有一個點落在四邊形ADEC內(nèi)部(不包括邊界)時，直接寫出S的取值范圍【方法與對策】本題是四邊形的綜合題，對于第(3)題解題的關(guān)鍵是正確分幾種不同情況求解當點C在BO上時，第一種情況，當點M在CE邊上時，由EMFECO求解，第二種情況，當點N在DE邊上時，由EFNEPD求解；當點C在BO的延長線上時，第一種情況，當點M在DE邊上時，由EMFEDP求解，第二種情況，當點N在CE邊上時，由EFNEOC求解；當1t時和當t5時，分別求出S的取值范圍這種雙動點型、分類討論問題是中考命題常用的策略【分類討論應(yīng)不重復(fù)、不遺漏】在ABC中，P是AB上的動點(P異于A，B)，過點P的一條直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的ABC的相似線如圖，A36°，ABAC，當點P在AC的垂直平分線上時，過點P的ABC的相似線最多有_條參考答案第36講分類討論型問題【例題精析】例1四邊形ABCD是矩形，ABCD，ADBC，ADBC，AEBCBE，BE平分ABC，ABECBE，AEBABE，ABAE，當AE1cm時，AB1cmCD，AD1cm3cm4cmBC，此時矩形的面積是1cm×4cm4cm2；當AE3cm時，AB3cmCD，AD4cmBC，此時矩形的面積是：3cm×4cm12cm2；故選D.例2(1)由題意，得三口之家應(yīng)繳購房款為：0.3×900.5×3042(萬元)； (2)由題意，得當0x30時，y0.3×3x0.9x；當30xm時，y0.9×300.5×3×(x30)1.5x18；當xm時，y0.9×300.5×3(m30)0.7×3×(xm)2.1x180.6m.y(45m60) (3)由題意，得當50m60時，y1.5×501857(舍)當45m50時，y2.1×500.6m18870.6m.57y60，57870.6m60，45m50.綜合得45m50.例3點B是ykx和y的交點，ykx，解得：x，y3，點B坐標為，點A是ykx和y的交點，ykx，解得：x，y，點A坐標為，BDx軸，點C橫坐標為，縱坐標為，點C坐標為，BAAC，若ABC是等腰三角形，ABBC，則3，解得：k；ACBC，則3，解得：k；故答案為k或.例4(1)ABC90°，APBQ，當APBQ時，四邊形ABQP成為矩形，由運動知，APt，CQ3t，BQ223t，t223t，解得t.當t時，四邊形ABQP成為矩形；(2)當P、Q兩點與A、B兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時，就是(1)中的情形，此時t.當P、Q兩點與C、D兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時，PDQC，當PDQC時，四邊形PQCD為平行四邊形此時，16t3t，t4；當P、Q兩點與B、D兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時，同理，16t223t，t3；當P、Q兩點與A、C兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時，同理，t3t，t0，不符合題意；故當t或t4或t3時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形 （3）四邊形PBQD不能成為菱形理由如下：PDBQ，當PDBQBP時，四邊形PBQD能成為菱形由PDBQ，得16t223t，解得t3，當t3時，PDBQ13，APADPD16133.在RtABP中，AB8，根據(jù)勾股定理得，BP13，四邊形PBQD不能成為菱形；如果Q點的速度改變?yōu)関cm/s時，能夠使四邊形PBQD在時刻ts為菱形，由題意得，解得故點Q的速度為2cm/s時，能夠使四邊形PBQD在某一時刻為菱形例5(1)連結(jié)OQ，PN與O相切于點Q，OQPN，即OQP90°.OP10，OQ6，PQ8(cm) (2)過點O作OCAB，垂足為C.點A的運動速度為5cm/s，點B的運動速度為4cm/s，運動時間為ts，PA5t，PB4t.PO10，PQ8，.PP，PABPOQ，PBAPQO90°.BQOCBQOCB90°，四邊形OCBQ為矩形，BQOC.O的半徑為6，BQOC6時，直線AB與O相切當AB運動到如圖1所示的位置時，BQPQPB84t，由BQ6，得84t6，t0.5.當AB運動到如圖2所示的位置時，BQPBPQ4t8，由BQ6，得4t86，t3.5.綜上，當t0.5s或3.5s時，直線AB與O相切【變式拓展】1(1)0或1(2)4或2(3)C2.(1)C(2)D3根據(jù)OC長為8可得一次函數(shù)中的n的值為8或8.分類討論：n8時，易得A(6，0)，如圖1，拋物線經(jīng)過點A、C，且與x軸交點A、B在原點的兩側(cè)，拋物線開口向下，則a0，AB16，且A(6，0)，B(10，0)，而A、B關(guān)于對稱軸對稱，對稱軸為直線x2，要使y1隨著x的增大而減小，a0，x2；n8時，易得A(6，0)，如圖2，拋物線過A、C兩點，且與x軸交點A，B在原點兩側(cè)，拋物線開口向上，則a0，AB16，且A(6，0)，B(10，0)，而A、B關(guān)于對稱軸對稱，對稱軸為直線x2，要使y1隨著x的增大而減小，且a0，x2.4(1)C(2)6或12(3)或5.(1)(3，0)或(1，2)或(3，4)(2)2或6(3)(2，2)或(6，2)或(10，6)(4)2，5，186.(，2)或(，2)【熱點題型】【分析與解】(1)OB6，C是OB的中點，BCOB3.2t3，即ts.OE3，E(，0) (2)如圖1，連結(jié)CD交OP于點G，在PCOD中，CGDG，OGPG，AOPE，AGEG .四邊形ADEC是平行四邊形 (3)()當點C在線段BO上時，第一種情況：如圖2，當點M在CE邊上時，MFOC，EMFECO.，即，解得t1.第二種情況：如圖3，當點N在DE邊時，NFPD，EFNEPD.即，解得t.()當點C在BO的延長線上時，第一種情況：如圖4，當點M在DE邊上時，MFPD，EMFEDP.即，解得t.第二種情況：如圖5，當點N在CE邊上時，NFOC，EFNEOC.即，解得t5.綜上所述，所有滿足條件的t的值為1，5.S或S20.【錯誤警示】當PDBC時，APDABC，當PEAC時，BPEBAC，連結(jié)PC，A36°，ABAC，點P在AC的垂直平分線上，APPC，ABCACB72°，ACPPAC36°，PCB36°，BB，PCBA，CPBACB，故過點P的ABC的相似線最多有3條故答案為：3.12