第23講直線與圓的位置關(guān)系1直線和圓的位置關(guān)系：考試內(nèi)容考試要求直線和圓的位置圖形(設(shè)r是O的半徑，d是圓心O到直線l的距離)公共點(diǎn)個數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系公共點(diǎn)名稱直線名稱a相交2d<r交點(diǎn)割線相切1dr切點(diǎn)切線相離0d>r無無2.圓的切線考試內(nèi)容考試要求切線的判定(1)與圓有_公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義法).bc(2)到圓心的距離等于_的直線是圓的切線.(3)過半徑外端點(diǎn)且 半徑的直線是圓的切線切線的性質(zhì)(1)切線與圓只有_公共點(diǎn).(2)切線到圓心的距離等于圓的_.(3)切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的 切線長過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和 之間的線段長叫做這點(diǎn)到圓的切線長切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的_條切線，它們的切線長_，這一點(diǎn)和圓心的連線_兩條切線的夾角.3.三角形與圓考試內(nèi)容考試要求確定圓的條件不在 直線的三個點(diǎn)確定一個圓b三角形的外心經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓， 的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形；外心到三角形 的距離相等ab三角形的內(nèi)心與三角形各邊都相切的圓叫三角形的 ，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫圓的外切三角形，內(nèi)心到三角形 的距離相等拓展直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓半徑的求法：若a，b是RtABC的兩條直角邊，c為斜邊，則：直角三角形的外接圓半徑R；直角三角形的內(nèi)切圓半徑r.考試內(nèi)容考試要求基本思想分類討論思想：圓是一種極為重要的幾何圖形，由于圖形位置、形狀及大小的不確定，經(jīng)常出現(xiàn)多結(jié)論情況，解題時漏解出錯時有發(fā)生，解決這類問題，一定要仔細(xì)分析，縝密思考，分類討論，逐一解答(1)由于點(diǎn)在圓周上的位置的不確定而分類討論；(2)由于弦所對弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論；(3)由于弦的位置不確定而分類討論；(4)由于直線與圓的位置關(guān)系的不確定而分類討論c基本方法判斷一直線是否為圓的切線的方法：連半徑，證垂直；作垂線，證半徑1 (2016·衢州)如圖，AB是O的直徑，C是O上的點(diǎn)，過點(diǎn)C作O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E，若A30°，則sinE的值為()A. B. C. D.2(2015·湖州)如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，OA交小圓于點(diǎn)D，若OD2，tanOAB，則AB的長是()A4 B2 C8 D43 (2015·嘉興)如圖，ABC中，AB5，BC3，AC4，以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切，則C的半徑為()A2.3 B2.4 C2.5 D2.64 (2017·杭州)如圖，AT切O于點(diǎn)A，AB是O的直徑若ABT40°，則ATB_.【問題】(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的P的圓心P的坐標(biāo)為(3，0)，將P沿x軸正方向平移，使P與y軸相切，則平移的距離為_(2)通過(1)的解答，你能聯(lián)想直線與圓相切的哪些知識【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理直線與圓的位置關(guān)系，以及切線的判定和性質(zhì)類型一直線與圓位置關(guān)系的判斷(2017·無錫模擬)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知P(6，8)，M為OP中點(diǎn)，以P為圓心，6為半徑作P，則下列判斷正確的有_點(diǎn)O在P外；點(diǎn)M在P上；x軸與P相離；y軸與P相切【解后感悟】直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和O相交dr；直線l和O相切dr；直線l和O相離dr.1 (1)(2015·張家界)如圖，O30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC6，以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是()A相離 B相交 C相切 D以上三種情況均有可能(2)(2017·鎮(zhèn)江模擬)已知O的半徑r3，設(shè)圓心O到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點(diǎn)的個數(shù)為m，給出下列命題：若d5，則m0；若d5，則m1；若1d5，則m3；若d1，則m2；若d1，則m4.其中正確命題的個數(shù)是( )A1 B2 C3 D5類型二圓的切線性質(zhì)的運(yùn)用(2015·銅仁)如圖，已知三角形ABC的邊AB是O的切線，切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過圓心O并與圓相交于點(diǎn)D、C，過C作直線CEAB，交AB的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：CB平分ACE；(2)若BE3，CE4，求O的半徑【解后感悟】本題運(yùn)用了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，連結(jié)切點(diǎn)和圓心構(gòu)造垂直或直角三角形是進(jìn)行有關(guān)證明和計算的常用方法，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵2(1)(2015·瀘州)如圖，PA、PB分別與O相切于A、B兩點(diǎn)，若C65°，則P的度數(shù)為()A65° B130° C50° D100°(2)(2016·隨州)如圖1，PT與O1相切于點(diǎn)T，PAB與O1相交于A、B兩點(diǎn)，可證明PTAPBT，從而有PT2PA·PB.請應(yīng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖2，PAB、PCD分別與O2相交于A、B、C、D四點(diǎn)，已知PA2，PB7，PC3，則CD.類型三圓的切線判定的運(yùn)用(1)(2017·沈陽模擬)如圖，AB是O的直徑，BC交O于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E，要使DE是O的切線，需添加的條件是_(不添加其他字母和線條)(2) (2017·杭州市西湖區(qū)模擬)如圖，ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交AC于E，交BC于D，DFAC于F.給出以下五個結(jié)論：BDDC；CFEF；A2FDC；DF是O的切線其中正確結(jié)論的序號是_【解后感悟】(1)解決本類題目可以是將最終的結(jié)論當(dāng)做條件，而答案就是使得條件成立的結(jié)論；(2)解答此題的關(guān)鍵是兩個基本圖形的公共部分(即點(diǎn)D，E和直徑AB)的運(yùn)用；在涉及切線問題時，常連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，要想證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線如果已知直線過圓上某一點(diǎn)，則作出過這一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑；如果直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑3(2017·黃石模擬)已知：如圖，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E.(1)請說明DE是O的切線；(2)若B30°，AB8，求DE的長類型四三角形的內(nèi)切圓問題(1)如圖，圓D是ABC的內(nèi)切圓，A40°，則BDC的度數(shù)是_(2)在ABC中，已知C90°，BC3，AC4，則它的內(nèi)切圓半徑是_【解后感悟】求證三角形內(nèi)切圓問題時，常用到面積法：SABC(abc)r，其中r為ABC的內(nèi)切圓半徑，a，b，c為ABC的三條邊的長度；已知直角三角形的三邊長為a，b，c(其中c為斜邊)，則其內(nèi)切圓半徑r；解三角形與圓相切問題時，常利用切線長定理及勾股定理等列方程(組)來求半徑的長4(1)如圖，在RtABC中，C90°，B60°，內(nèi)切圓O與邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，則DEF為()A55° B60° C75° D80°(2)(2015·濱州)若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2，則其內(nèi)切圓半徑的長為()A. B22 C2 D.2(3)(2015·遵義)將正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于點(diǎn)E，AB，則四邊形AB1ED的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.類型五圓的綜合性問題如圖，已知AB是O的直徑，BCAB，連結(jié)OC，弦ADOC，直線CD交BA的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：直線CD是O的切線；(2)若DE2BC，求ADOC的值【解后感悟】此題運(yùn)用切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)解題注意掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5 (1)(2017·永新模擬)如圖，以點(diǎn)P(2，0)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)M(a，b)是P上的一點(diǎn)，則的最大值是_(2) (2017·衢州)如圖，在直角坐標(biāo)系中，A的圓心A的坐標(biāo)為(1，0)，半徑為1，點(diǎn)P為直線yx3上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長PQ的最小值是_【探索研究題】(2015·河池)我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”如圖，直線l：ykx4與x軸、y軸分別交于A、B，OAB30°，點(diǎn)P在x軸上，P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動時，使得P成為整圓的點(diǎn)P的個數(shù)是()A6 B8 C10 D12【方法與對策】通過問題中信息，理解整圓的概念，構(gòu)建半徑與點(diǎn)P橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，建模為二元一次方程整數(shù)解的問題這類定義型閱讀理解題是中考熱點(diǎn)題型【直線與圓的位置關(guān)系的陷阱】已知O的半徑為2，直線l上有一點(diǎn)P滿足PO2，則直線l與O的位置關(guān)系是()A相切 B相離 C相離或相切 D相切或相交參考答案第23講直線與圓的位置關(guān)系【考點(diǎn)概要】2唯一半徑垂直于一個半徑半徑切點(diǎn)兩相等平分3.同一外接圓外心三個頂點(diǎn) 內(nèi)切圓內(nèi)心三邊【考題體驗(yàn)】1A2.C3.B4.50°【知識引擎】【解析】(1)當(dāng)P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為1；當(dāng)P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為5.平移的距離為1或5. (2)直線與圓的位置關(guān)系；切線的判定和性質(zhì)【例題精析】例1例2 (1)證明：如圖1，連結(jié)OB，AB是O的切線，OBAB，CEAB，OBCE，13，OBOC，12，23，CB平分ACE；(2)如圖2，連結(jié)BD，CEAB，E90°，BC5，CD是O的直徑，DBC90°，EDBC，DBCBEC，BC2CD·CE，CD，OCCD，O的半徑. 例3(1)D為BC中點(diǎn)(答案不唯一)； (2)例4(1)110°； (2)1例5(1)證明：連結(jié)DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.又OAOD，DAOADO，CODCOB.在COD和COB中，CODCOB(SAS)，CDOCBO90°.又點(diǎn)D在O上，CD是O的切線(2)CODCOB.CDCB.DE2BC，ED2CD.ADOC，EDAECO.【變式拓展】1 (1)C(2)C2.(1)C(2)3.(1)連結(jié)OD，則ODOB，BODB.ABAC，BC.ODBC.ODAC.ODEDEC90°.DE是O的切線(2)連結(jié)AD，AB是O的直徑，ADB90°.BDAB·cosB8×4.又ABAC，CDBD4，CB30°.DECD2.4. (1)C(2)B(3)B 5(1)(2)2【熱點(diǎn)題型】【分析與解】直線l：ykx4與x軸、y軸分別交于A、B，B(0，4)，OB4，在RtAOB中，OAB30°，OAOB×412，P與l相切，設(shè)切點(diǎn)為M，連結(jié)PM，則PMAB，PMPA，設(shè)P(x，0)，PA12x，P的半徑PMPA6x，x為整數(shù)，PM為整數(shù)，x可以取0，2，4，6，8，10，6個數(shù)，使得P成為整圓的點(diǎn)P個數(shù)是6.故選A.【錯誤警示】當(dāng)OP垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d2r，O與直線l相切；當(dāng)OP不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d2r，O與直線l相交，故直線l與O的位置關(guān)系是相切或相交故選D.11