第22講圓的基本性質(zhì)1圓的有關(guān)概念考試內(nèi)容考試要求圓的定義定義1：在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓b定義2：圓是到定點(diǎn)的距離 定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形弦連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的 叫做弦直徑直徑是經(jīng)過圓心的 ，是圓內(nèi)最 的弦弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，弧有_之分，能夠完全重合的弧叫做_.a等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.同心圓圓心相同的圓叫做同心圓2.圓的對(duì)稱性考試內(nèi)容考試要求圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過 的直線c圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為_.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧或兩條弦中有一組量 ，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等3.圓周角考試內(nèi)容考試要求圓周角的定義頂點(diǎn)在圓上，并且 都和圓相交的角叫做圓周角b圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的 c推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角 推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是 ；90°的圓周角所對(duì)的弦是 推論3圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考試內(nèi)容考試要求位置關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外b數(shù)量(d與r)的大小關(guān)系(設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d)_考試內(nèi)容考試要求基本思想分類討論思想：在很多沒有給定圖形的題目中，常常不能根據(jù)題目的條件把圖形確定下來，因此會(huì)導(dǎo)致解的不唯一性對(duì)于這種多解題必須要分類討論，分類時(shí)要注意標(biāo)準(zhǔn)一致，不重不漏如：圓周角所對(duì)的弦是唯一的，但是弦所對(duì)的圓周角不是唯一的c基本方法輔助線：有關(guān)直徑的問題，如圖，常作直徑所對(duì)的圓周角1 (2016·紹興)如圖，BD是O的直徑，點(diǎn)A、C在O上，AOB60°，則BDC的度數(shù)是()A60° B45° C35° D30°2 (2015·寧波)如圖，O為ABC的外接圓，A72°，則BCO的度數(shù)為()A15° B18° C20° D28°3(2017·紹興)如圖，一塊含45°角的直角三角板，它的一個(gè)銳角頂點(diǎn)A在O上，邊AB，AC分別與O交于點(diǎn)D，E，則DOE的度數(shù)為_ 第3題圖 第4題圖4(2017·湖州)如圖，已知在ABC中，ABAC.以AB為直徑作半圓O，交BC于點(diǎn)D.若BAC40°，則的度數(shù)是_度【問題】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，CE是直徑(1)觀察圖形，你能得到哪些信息？(2)若ADC130°，則B_，AOC_，的度數(shù)為_；(3) 若AC6，AO5，則AE_【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理圓的有關(guān)性質(zhì)，弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形等類型一圓的有關(guān)概念下列語句中，正確的是_半圓是??；長(zhǎng)度相等的弧是等弧；相等的圓心角所對(duì)的弧相等；圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是對(duì)稱軸；經(jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑；三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為6cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是1.5cm或7.5cm；A的半徑為6，圓心A(3，5)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在A內(nèi)【解后感悟】圓中相關(guān)概念經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，需要辨析，如在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等1(1)A、B是半徑為5cm的O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是()AAB>0 B0<AB<5 C0<AB<10 D0<AB10(2)下列說法中，正確的是()A同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧B相等圓周角所對(duì)弧相等C正多邊形一定是軸對(duì)稱圖形D三角形的外心到三角形各邊的距離相等(3) (2017·河北模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是_類型二圓的內(nèi)接多邊形(2017·陜西模擬)如圖，O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F.(1)若EF時(shí)，求證：ADCABC；(2)若EF42°時(shí)，求A的度數(shù)；(3)若E，F(xiàn)，且.請(qǐng)你用含有、的代數(shù)式表示A的大小【解后感悟】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)2(1)(2015·杭州)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知A70°，則C()A20° B30° C70° D110°(2) 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則ADC的大小為()A45° B50° C60° D75°(3)(2015·南京)如圖，在O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，CAD35°，則BE_.類型三圓心角與圓周角的關(guān)系(1)如圖，AB為O的直徑，諸角p，q，r，s之間的關(guān)系p2q；qr；ps180°中，正確的是()A只有和 B只有和 C只有和 D，和(2)(2015·臺(tái)州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，ECBCDC.若CBD39°，求BAD的度數(shù)；求證：12.【解后感悟】解題利用圖形聯(lián)想，揭示數(shù)量關(guān)系，如等腰三角形、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等知識(shí)；圓周角定理及其推論建立了圓心角、弦、弧、圓周角之間的關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉(zhuǎn)化；當(dāng)圖中出現(xiàn)同弧或等弧時(shí)，常?？紤]到弧所對(duì)的圓周角或圓心角，“一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半”，通過弧把角聯(lián)系起來注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3 (1)(2017·衢州模擬)如圖，已知O是ABD的外接圓，AB是O的直徑，CD是O的弦，ABD58°，則BCD等于_(2)(2017·巴中模擬)如圖，ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在O上，頂點(diǎn)C在O的直徑BE上，連結(jié)AE，E36°，則ADC的度數(shù)是_(3) (2017·濰坊模擬)如圖，半徑為5的A中，弦BC，ED所對(duì)的圓心角分別是BAC，EAD.已知DE6，BACEAD180°，則弦BC的弦心距等于_類型四圓的綜合運(yùn)用(2017·臺(tái)州)如圖，已知等腰直角三角形ABC，點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B，C重合)，PE是ABP的外接圓O的直徑(1)求證：APE是等腰直角三角形；(2)若O的直徑為2，求PC2PB2的值【解后感悟】解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用4(2017·麗水)如圖，在RtABC中，CRt，以BC為直徑的O交AB于點(diǎn)D，切線DE交AC于點(diǎn)E.(1)求證：AADE；(2)若AD16，DE10，求BC的長(zhǎng)【探索研究題】(2017·杭州)如圖，已知ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)C在劣弧AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DEBC，DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與O交于點(diǎn)G，設(shè)GAB，ACB，EAGEBA，(1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過畫圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù)：30°40°50°60°120°130°140°150°150°140°130°120°猜想：關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明；(2)若135°，CD3，ABE的面積為ABC的面積的4倍，求O半徑的長(zhǎng)【方法與對(duì)策】本題涉及圓周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，這樣要聯(lián)想，并及時(shí)調(diào)整圖形，揭示數(shù)量關(guān)系特征，從而解決問題，這是中考命題的熱點(diǎn)【忽視圓周角頂點(diǎn)可能在優(yōu)弧上，也可能在劣弧上】一條弦的長(zhǎng)度等于它所在的圓的半徑，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是_參考答案第22講圓的基本性質(zhì)【考點(diǎn)概要】1等于線段弦長(zhǎng)優(yōu)弧、半圓、劣弧等弧2圓心圓心相等3.兩邊一半相等直角直徑互補(bǔ)4.drdrdr【考題體驗(yàn)】1D2.B3.90°4.140【知識(shí)引擎】【解析】(1)由圓心角、圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形可知：BEAOC, BD180°， CAE90°等；(2)50°，100°，80°；(3)8.【例題精析】例1例2(1)EF，DCEBCF，ADCEDCE，ABCFBCF，ADCABC；(2)由(1)知ADCABC，EDCABC，EDCADC，ADC90°，A90°42°48°； (3)連結(jié)EF，如圖，四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，ECDA，ECD12，A12，A12EF180°，2A180°，A90°.例3(1)A；(2)BCCD，.BACCADCBD.CBD39°，BACCAD39°.BADBACCAD78°.ECBC，CBECEB，CBE1CBD，CEB2BAC，又BACCBD，12.例4(1)ABAC，BAC90°，CABC45°，AEPABP45°，PE是直徑，PAE90°，APEAEP45°，APAE，PAE是等腰直角三角形. (2)作PMAC于M，PNAB于N，則四邊形PMAN是矩形，PMAN，PCM，PNB都是等腰直角三角形，PCPM，PBPN，PC2PB22(PM2PN2)2(AN2PN2)2PA2PE2224.(也可以證明ACPABE，PBE是直角三角形)【變式拓展】1 (1)D(2)C(3)3<r<52.(1)D(2)C (3)215°3.(1)32°(2)54°(3)3 4.(1)連結(jié)OD，DE是切線，ODE90°，ADEBDO90°，ACB90°，AB90°，ODOB，BBDO，ADEA.(2)連結(jié)CD.ADEA，AEDE，BC是O的直徑，ACB90°，EC是O的切線，EDEC，AEEC，DE10，AC2DE20，在RtADC中，DC12，設(shè)BDx，在RtBDC中，BC2x2122，在RtABC中，BC2(x16)2202，x2122(x16)2202，解得x9，BC15.【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)猜想：90°，180°，連結(jié)OB，由圓周角定理可知：2BCA360°BOA，OBOA，OBAOAB，BOA180°2，2360°(180°2)，90°，D是BC的中點(diǎn)，DEBC，OE是線段BC的垂直平分線，BECE，BEDCED，EDC90°，BCAEDCCED，90°CED，CED，CEDOBA，O、A、E、B四點(diǎn)共圓，EBOEAG180°，EBAOBAEAG180°，180°；(2)當(dāng)135°時(shí)，此時(shí)圖形如圖所示，45°，135°，BOA90°，BCE45°，由(1)可知：O、A、E、B四點(diǎn)共圓，BEC90°，ABE的面積為ABC的面積的4倍，4，3，設(shè)CE3x，ACx，由(1)可知：BC2CD6，BCE45°，CEBE3x，由勾股定理可知：(3x)2(3x)262，x，BECE3，AC，AEACCE4，在RtABE中，由勾股定理可知：AB2(3)2(4)2，AB5，BAO45°，AOB90°，在RtAOB中，設(shè)半徑為r，由勾股定理可知：AB22r2，r5，O半徑的長(zhǎng)為5.【錯(cuò)誤警示】30°或150°12