期末復(fù)習(xí)四 平行四邊形 復(fù)習(xí)目標(biāo) 要求 知識(shí)與方法 了解 多邊形的概念，多邊形內(nèi)角和公式，外角和 平行四邊形的概念，四邊形的不穩(wěn)定性，平行線之間距離的概念 中心對(duì)稱概念及性質(zhì) 三角形中位線的概念及性質(zhì) 反證法的含義及基本步驟 理解 平行四邊形的性質(zhì)與判定 在直角坐標(biāo)系中求已知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo) 會(huì)用反證法證明簡單命題 運(yùn)用 作簡單圖形關(guān)于已知點(diǎn)中心對(duì)稱的圖形 用平行四邊形的判定與性質(zhì)解決有關(guān)圖形的論證和計(jì)算等問題 綜合運(yùn)用三角形、平行四邊形相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題 必備知識(shí)與防范點(diǎn) 一、必備知識(shí)： 1． 四邊形的內(nèi)角和等于 ，外角和等于 ． n邊形的內(nèi)角和等于 ，外角和等于 ． n邊形對(duì)角線條數(shù)為 ． 2． 中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)：對(duì)稱中心平分連結(jié)兩個(gè) 的線段．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為 ． 3． 夾在兩條平行線間的 相等，夾在 間的垂線段相等． 4． 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形對(duì)邊 ；對(duì)角 ； 互相平分． 5． 平行四邊形的判斷：一組對(duì)邊 的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊 的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線 的四邊形是平行四邊形． 6． 三角形的中位線 第三邊，并且等于第三邊的 ． 7． 一般先假設(shè)命題不成立，從假設(shè)出發(fā)經(jīng)過推理得出和 矛盾，或者與 、 、 等矛盾，從而得出假設(shè)不成立是錯(cuò)誤的，即原命題正確． 二、防范點(diǎn)： 1． 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形； 2． 反證法與舉反例有著本質(zhì)的區(qū)別，反證法是證明真命題，而舉反例是證假命題. 例題精析 考點(diǎn)一 多邊形內(nèi)角和、外角和 例1 （1）一個(gè)多邊形的外角和與內(nèi)角和共1620°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 . （2）一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角之外，其余各角之和為2570°，則這個(gè)內(nèi)角是 ． 反思：n邊形的內(nèi)角和必為180°的倍數(shù)，少一個(gè)內(nèi)角或多一個(gè)角的問題可以用180°的整數(shù)倍去解決問題． 考點(diǎn)二 平行四邊形的判定與性質(zhì) 例2 如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ） A． OA＝OC，OB＝OD B． ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD C． AD∥BC，AD＝BC D． AB＝CD，AO＝CO 例3 如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，求證： （1）四邊形AECF是平行四邊形； （2）AE＝CF. 反思：本題從ABCD性質(zhì)入手，判定四邊形AECF是平行四邊形. 本題證明方法多樣，也可不添線，用一組對(duì)邊平行且相等或兩組對(duì)邊相等來證明. 考點(diǎn)三 三角形中位線定理 例4 （宜昌中考）如圖，要測(cè)定被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)的距離. 可以在AB外選一點(diǎn)C，連結(jié)AC，BC，并分別找出它們的中點(diǎn)D，E，連結(jié)ED. 現(xiàn)測(cè)得AC=30m，BC=40m，DE=24m，則AB=（ ） A． 50m B. 48m C. 45m D. 35m 例5 如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD=2AD，E、F、G分別是OA、OB、CD的中點(diǎn)，求證： （1）ED⊥CA；（2）EF=EG. 反思：中點(diǎn)＋等腰三角形聯(lián)想三線合一，中點(diǎn)＋直角聯(lián)想斜邊中線定理，中點(diǎn)＋平行聯(lián)想兩三角形全等，兩個(gè)中點(diǎn)想到中位線定理. 考點(diǎn)四 與平行四邊形有關(guān)的計(jì)算 例6 探究：如圖1，在平行四邊形ABCD的形外分別作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，連結(jié)AC、EF，在圖中找一個(gè)與△FAE全等的三角形，并加以證明. 應(yīng)用：以ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖2，連結(jié)EF，GH，IJ，KL． 若ABCD的面積為6，則圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積和為 ． 反思：本題證△FAE≌△ABC（SAS）難點(diǎn)是證∠FAE＝∠ABC，主要從周角入手. 在應(yīng)用中關(guān)鍵是找到陰影三角形與之全等的三角形，如△FAE≌△ABC，△LDK≌△BCD. 類似地，若將等腰直角三角形變成等邊三角形（見第四章專業(yè)提升二第4題），方法也相似. 考點(diǎn)五 平行四邊形的拓展探究 例7 在同步4.4—4.6復(fù)習(xí)課中我們?cè)鲞^以下題目： 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE. 求證：DE∥CB. 變式1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等腰△ACD，且AD=DC，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE． 求證：DE∥CB； 變式2：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等腰△ACD，且AD=DC，DA⊥AB，以AB為一邊向形外作等腰△ABF，且AF=BF，∠FAB=∠CBA. 點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE． 求證：DE=AF. 反思：將做過的題目進(jìn)行分類整理，融會(huì)貫通是一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 考點(diǎn)六 坐標(biāo)平面內(nèi)的平行四邊形 例8 在平面直角坐標(biāo)中，有點(diǎn)O（0，0），A（-1，1），B（2，2）. （1）求點(diǎn)C，使以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. （2）如圖，連結(jié)OA，過點(diǎn)B作直線l∥OA，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、點(diǎn)E，若點(diǎn)Q在直線l上，在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)P，使以O(shè)、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形. 反思：（1）坐標(biāo)平面內(nèi)的平行四邊形各頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和相等；（2）尋找菱形，轉(zhuǎn)化為尋找等腰三角形，把復(fù)雜問題簡單化. 校內(nèi)練習(xí) 1． （葫蘆島中考）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，則∠P的度數(shù)是（ ） A． 60° B． 65° C． 55° D． 50° 2. 用反證法證明“已知a<|a|，求證：a必為負(fù)數(shù)”時(shí)第一步應(yīng)假設(shè) . 3. 如圖，在ABCD中，AB=6，BC=10，對(duì)角線AC⊥AB，點(diǎn)E、F在BC、AD上，且BE=DF. （1）求證：四邊形AECF是平行四邊形； （2）①當(dāng)四邊形AECF是菱形時(shí)，求BE的長； ②當(dāng)四邊形AECF是矩形時(shí)，求BE的長. 4． 如圖，P是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP，BE⊥CP于點(diǎn)E，AD⊥CP，交CP的延長線于點(diǎn)D，試解答下列問題： （1）如圖1所示，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)AE，BD. 求證：四邊形ADBE是平行四邊形； （2）如圖2所示，當(dāng)P不為AB的中點(diǎn)時(shí)，取AB中點(diǎn)Q，連結(jié)QD，QE. 求證：△QDE是等腰三角形. 參考答案 期末復(fù)習(xí)四 平行四邊形 【必備知識(shí)與防范點(diǎn)】 1. 360° 360° （n-2）×180° 360° 2. 對(duì)稱點(diǎn) （-x，-y） 3. 平行線段 兩條平行線 4. 平行且相等 相等 對(duì)角線 5. 平行且相等 平行（或相等） 互相平分 6. 平行于 一半 7. 反證法 已知條件 定義 基本事實(shí) 定理 【例題精析】 例1 （1）9 （2）130° 例2 D 例3 （1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD. ∵BE=DF，∴OE=OF. ∴四邊形AECF為平行四邊形. （2）∵AECF，∴AE＝CF. 例4 B 例5 （1）∵平行四邊形ABCD，∴OB＝OD，又∵BD＝2AD，∴DA＝OD，又∵E為OA中點(diǎn)，∴DE⊥AC. （2）∵DE⊥AC，G為CD中點(diǎn)，∴EG＝0.5DC，又∵E為OA中點(diǎn)，F(xiàn)為OB中點(diǎn)，∴EF＝0.5AB，又∵ABCD，∴AB＝CD，∴EG＝EF. 例6 探究：△FAE≌△ABC，理由：AF＝AB，AE＝AD＝BC，∠FAE＝360°－2×90°－∠BAD＝180°－∠BAD＝∠ABC，∴△FAE≌△ABC（SAS）. 應(yīng)用：12． 例7 變式1：證明與原題類似，可用兩種方法證明. 方法一：連結(jié)CE，證△DEA≌△DEC（SSS），利用三線合一得DE⊥AC，又AC⊥BC，∴DE∥BC；方法二：延長AD交BC延長線于點(diǎn)G，通過證DE是△AGB的中位線得平行. 變式2：連結(jié)FE，∵AF＝BF，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴FE⊥AB，又AD⊥AB，∴FE∥AD，∵∠FAB=∠CBA，∴AF∥BC，由變式1得：DE∥BC，∴AF∥DE，∴四邊形ADEF為平行四邊形，∴DE＝AF. 例8 （1）C（1，3）或C（3，1）或C（－3，－1）； （2）尋找O、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，先尋找△ODQ為等腰三角形，再確定點(diǎn)P. 當(dāng)DO為腰，Q1（0，4），P1（4，4）；Q2（4－2，2），P2（-2，2）；Q3（4＋2，－2），P3（2，－2）. 當(dāng)DO為底時(shí)，Q4（2，2），P4（2，－2）. 故這樣的點(diǎn)P有4個(gè)，它們是P1（4，4），P2（-2，2），P3（2，－2），P4（2，－2）. 【校內(nèi)練習(xí)】 1. A 2. a≥0 3. （1）證CE＝AF，CE∥AF得四邊形AECF是平行四邊形； （2）①BE＝CE＝5時(shí)，四邊形AECF是菱形； ②BE＝3.6. 4. （1）∵P為AB中點(diǎn)，∴AP=BP，∵BE⊥CP，AD⊥CP，∴∠ADP=∠BEP=90°，∵∠APD=∠BPE，∴在△ADP和△BEP中：∠APD=∠BPE，∠ADP=∠BEP，AP=BP，∴△ADP≌△BEP（AAS），∴DP=EP，∴四邊形ADBE是平行四邊形； （2）如圖，延長DQ交BE于F，∵AD∥BE，∴∠ADQ=∠BFQ，在△ADQ和△BFQ中， ∠ADQ=∠BFQ，∠AQD=∠BQF，AQ=BQ，∴△ADQ≌△BFQ（AAS），∴DQ=QF，∵BE⊥DC，∴QE是直角三角形DEF斜邊上的中線，∴QE=QF=QD，即DQ=QE，∴△QDE是等腰三角形. 8