word 2015年 秋 季學(xué)期研究生課程考核（讀書(shū)報(bào)告、研究報(bào)告）考核科目: 偏微分方程數(shù)值解法學(xué)生所在院（系）: 理學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)生所在學(xué)科: 數(shù)學(xué)學(xué) 生 姓 名: Hiter學(xué) 號(hào): 1XS012000學(xué) 生 類(lèi) 別:考核結(jié)果閱卷人8 / 9研究有限差分格式穩(wěn)定性的其他方法摘要偏微分方程的求解一直是大家比較關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題，而有限差分格式則是求解偏微分方程時(shí)常用并且有效的一個(gè)方法。因此，研究有限差分格式的性質(zhì)就顯得尤為重要。在課上我們已經(jīng)跟著老師學(xué)習(xí)了運(yùn)用Fourier方法研究有限差分格式的穩(wěn)定性，但是在很多研究有限差分格式穩(wěn)定性的問(wèn)題中僅僅會(huì)用Fourier方法是不夠的，所以在本篇論文中，將會(huì)介紹其他三種常用的研究有限差分格式穩(wěn)定性的方法，分別是：Hirt啟示型方法、直接方法（或稱(chēng)矩陣方法）和能量不等式方法。關(guān)鍵字：偏微分方程；有限差分格式；穩(wěn)定性AbstractThe solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a mon and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of monly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method.Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability1 前言微分方程的定解問(wèn)題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區(qū)域的邊界上要滿足的定解條件稱(chēng)為邊值條件。如果問(wèn)題與時(shí)間有關(guān)，在初始時(shí)刻所要滿足的定解條件，稱(chēng)為初值條件。不含時(shí)間而只帶邊值條件的定解問(wèn)題，稱(chēng)為邊值問(wèn)題。與時(shí)間有關(guān)而只帶初值條件的定解問(wèn)題，稱(chēng)為初值問(wèn)題。同時(shí)帶有兩種定解條件的問(wèn)題，稱(chēng)為初值邊值混合問(wèn)題。定解問(wèn)題往往不具有解析解，或者其解析解不易計(jì)算。所以要采用可行的數(shù)值解法。有限差分方法就是一種數(shù)值解法，它的基本思想是先把問(wèn)題的定義域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后在網(wǎng)格點(diǎn)上，按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式把定解問(wèn)題中的微商換成差商，從而把原問(wèn)題離散化為差分格式，進(jìn)而求出數(shù)值解。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數(shù)值穩(wěn)定性、差分格式的解與原定解問(wèn)題的真解的誤差估計(jì)、差分格式的解當(dāng)網(wǎng)格大小趨于零時(shí)是否趨于真解（即收斂性），等等。有限差分方法具有簡(jiǎn)單、靈活以及通用性強(qiáng)等特點(diǎn)，容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。在課上我們已經(jīng)跟著老師學(xué)習(xí)了運(yùn)用Fourier方法研究有限差分格式的穩(wěn)定性，但是在很多研究有限差分格式穩(wěn)定性的問(wèn)題中僅僅會(huì)用Fourier方法是不夠的，所以在本篇論文中，將會(huì)介紹其他三種常用的研究有限差分格式穩(wěn)定性的方法，分別是：Hirt啟示型方法、直接方法和能量不等式方法。2 Hirt啟示性方法2.1 方法概述Hirt啟示性方法是一種近似分析方法。主要是把差分格式在某確定點(diǎn)上作泰勒級(jí)數(shù)近似展開(kāi)，把高階誤差略去，只留下最低階的誤差項(xiàng)。如果差分格式是相容的，那么這樣得到的新的微分方程（稱(chēng)之為第一微分近似或修正微分方程）與原來(lái)的微分方程相比只增加了一些含小參數(shù)的較高階導(dǎo)數(shù)的附加項(xiàng)。Hirt方法就是利用第一微分近似的適應(yīng)性來(lái)研究差分格式的穩(wěn)定性。Hirt方法的判別準(zhǔn)則是這樣的：如果第一微分近似是適定的，那么原來(lái)微分方程的差分格式是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。其實(shí)所述的微分格式是原來(lái)微分方程問(wèn)題的相容的差分格式，那么也可以看作第一微分近似問(wèn)題的相容的差分格式。如果第一微分近似問(wèn)題是不適定的，那么它的差分格式將不穩(wěn)定1。2.2 操作方法先給出幾個(gè)方程 （2.1） （2.2） （2.3）考慮對(duì)流方程（2.1）的差分格式（2.3），在點(diǎn)進(jìn)行Taylor技術(shù)展開(kāi)，有利用對(duì)流方程（2.1），有因此，在點(diǎn)上，有差分方程（2.3）可以得到略去高階誤差項(xiàng)，得出第一微分方程近似要使上面的拋物型方程有意義，必須有而上面的不等號(hào)改為等號(hào)，則就化為原來(lái)的對(duì)流方程。在這兩種情況下，相應(yīng)的問(wèn)題是適定的。即第一微分近似適定的條件是由此得出差分格式（2.3）的穩(wěn)定性條件是，其中。此結(jié)論與Fourier方法分析得到的結(jié)論是一致的。下面我們?cè)賮?lái)分析逼近對(duì)流方程（2.1）（仍設(shè)）的差分格式（2.2）的穩(wěn)定性。模仿上面的推導(dǎo)可以得到它的第一微分近似是可以看出的系數(shù)小于0，因此第一微分近似是不適定的，從而推出差分格式（2.2）是不穩(wěn)定的。3 直接方法關(guān)于拋物型方程初值問(wèn)題的差分格式的穩(wěn)定性問(wèn)題，可以用直接方法（或稱(chēng)矩陣方法）來(lái)研究。下面用具體例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)方法的基本思想及使用方法?？紤]常系數(shù)擴(kuò)散方程的初值問(wèn)題 （3.1）采用顯示差分格式來(lái)逼近，即 （3.2）其中。先把差分格式（3.2）寫(xiě)成 （3.3）其中?？梢园眩?.3）寫(xiě)成向量形式，即 （3.4）如果令并考慮到，則（3.4）式可以寫(xiě)成 （3.5）其中 （3.6）從顯示格式出發(fā)，得到方程組（3.5）式，也可以理解為較為一般的形式，即對(duì)于逼近初值問(wèn)題（3.2）的其他二層格式也可以化為（3.5）式的形式。當(dāng)然此時(shí)不是（3.6）式所表示的形式。如果差分格式是二層隱式格式。則為這種形式。因此（3.5）式這種形式可理解為既包含二層顯示格式又包含二層隱士格式的較為一般的形式。引入誤差向量，其中是差分方程（3.5）的精確值（理論值），是差分方程（3.5）經(jīng)數(shù)值求解得到的值（包括了舍入誤差等）。顯然，滿足 （3.7）從而推出 （3.8）差分格式（3.5）的穩(wěn)定性就要求 （3.9）其中為向量的2-數(shù)。由于因此（3.9）式成立的充分必要條件為 （3.10）上述采用2-數(shù)，當(dāng)然也可以采用其他類(lèi)型的數(shù)。對(duì)于穩(wěn)定性條件（3.10），可以仿Fourier方法中的推導(dǎo)，得到一些結(jié)論：（1）譜半徑條件 （3.11）是差分格式穩(wěn)定的一個(gè)必要條件，其中為常數(shù)。（2）如果矩陣是一個(gè)正規(guī)矩陣，則（3.11）式也是格式穩(wěn)定的一個(gè)充分條件。下面討論差分格式（3.5），（3.6）的穩(wěn)定性。矩陣（3.6）是對(duì)稱(chēng)矩陣，所以只要使條件（3.11）成立即可?，F(xiàn)在來(lái)計(jì)算的特征值。令階方陣則可以表示為其中為階單位矩陣。由此可知，關(guān)鍵是求出的特征值和特征向量。設(shè)和分別為的特征值和特征向量，寫(xiě)成分量的形式有 （3.12）先求出，再求出的特征值。由于為對(duì)稱(chēng)矩陣，所以其特征值為實(shí)數(shù)。由Gerschgorin定理知，其中為矩陣的元素。由此得到。（3.12）式的第一式為常系數(shù)線性差分方程。設(shè)其解具有如下形式：將它代入（3.12）式的第一式，便得到關(guān)于的一元二次方程此方程稱(chēng)為（3.12）式的第一式的特征方程。由于，所以其解為其中?？梢钥吹饺?，則。因此差分方程（3.12）的解可以表示為由，得到。再由，得到，從而有由此可推。，有。所以得到，可以得到。注意到，則的特征值為。從而得到的特征值為當(dāng)時(shí)，。因此顯示格式的穩(wěn)定性條件為。下面討論隱式格式的穩(wěn)定性?？梢园央[式格式寫(xiě)成向量形式其中，。利用前面已經(jīng)求得的的特征值，可以得到的特征值由此可知，從而有。注意的為對(duì)稱(chēng)矩陣，所以也為對(duì)稱(chēng)矩陣，利用直接方法結(jié)論（2）知，擴(kuò)散方程隱式格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。從上面的敘述看來(lái)，利用直接方法來(lái)分析拋物型方程的初值問(wèn)題的差分格式并不困難。但在實(shí)際應(yīng)用中卻存在著一定的限制。上面討論穩(wěn)定性的兩個(gè)例子中式依據(jù)了特殊矩陣才求出了階矩陣、的特征值。一般說(shuō)來(lái)，計(jì)算高階矩陣的特征值是相當(dāng)困難的，因此直接方法應(yīng)用也就很困難了。4 能量不等式方法4.1 方法概述在討論線性常系數(shù)差分格式的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，建立了判別差分格式的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，從而比較容易地判斷一些差分格式的穩(wěn)定性。但對(duì)于變系數(shù)問(wèn)題和非線性問(wèn)題，一般不能采用Fourier方法和直覺(jué)法來(lái)討論差分格式的穩(wěn)定性。而對(duì)于上述這些問(wèn)題，能量不等式方法是研究差分格式穩(wěn)定性的有力工具。用能量不等式方法討論差分格式穩(wěn)定性是從穩(wěn)定性的定義出發(fā)，通過(guò)一系列估計(jì)式來(lái)完成的。這個(gè)方法是偏微分方程中常用的能量方法的離散模擬，在此我們僅通過(guò)例子敘述其基本思想。4.2 操作方法考慮變系數(shù)對(duì)流方程的初值問(wèn)題 （4.1）假定，建立差分格式 （4.2）其中。下面用能量不等式方法來(lái)討論這個(gè)差分格式的穩(wěn)定性。先把它改變形式為其中為網(wǎng)格比。用乘上式的兩邊，得如果滿足條件 （4.3）則有移項(xiàng)得用乘上面不等式的兩邊，并對(duì)求和，令則有如果 （4.4）則有由此可得由于問(wèn)題是線性的，因此上述不等式就證明了差分格式（4.2）的穩(wěn)定性。由此看出，條件（4.4）是微分方程問(wèn)題中給定的。而差分格式穩(wěn)定性條件就是（4.3式）式。如果即為常系數(shù)問(wèn)題，那么（4.4）式滿足，而條件（4.3）就化為，這與我們?cè)谡n上所學(xué)的用Fourier方法得到的結(jié)論一致。5 結(jié)論在本篇論文中，從微分方程的基本概念出發(fā)，先介紹了微分方程中比較基本的概念，然后又介紹了有限差分格式的性質(zhì)。在介紹有限差分格式時(shí)從三種求解有限差分格式穩(wěn)定性的方法出發(fā)，分別是：Hirt啟示性方法、直接方法（或矩陣方法）和能量不等式方法。在介紹這三種的方法時(shí)也是先從基本思想出發(fā)，然后分別闡述其方法原理、公式推導(dǎo)和實(shí)際應(yīng)用等。但是求解有限差分格式穩(wěn)定性的方法很多，作者也僅僅介紹了三種方法，希望能起到拋磚引玉的作用。參考文獻(xiàn)1 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