課時(shí)訓(xùn)練(二十四)解直角三角形的應(yīng)用(限時(shí):30分鐘)|夯實(shí)基礎(chǔ)|1.如圖K24-1,為測量一棵與地面垂直的樹的高度,在距離樹的底端30米的B處,測得樹頂?shù)难鼋茿BO為,則樹OA的 高度為()圖K24-1 A. 米B.30sin米 C.30tan米D.30cos米2.在RtABC中,C=90°,sinA=,AC=6 cm,則BC的長度為() A.6 cmB.7 cm C.8 cmD.9 cm3.如圖K24-2,一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向,距離燈塔為2海里的點(diǎn)A處.如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正 東位置,那么海輪航行的距離AB長是()圖K24-2 A.2海里 B.2sin55°海里 C.2cos55°海里 D.2tan55°海里4.2017·蘭州 如圖K24-3,小明為了測量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離),在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭 臺階BC等高的臺階DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三點(diǎn)共線),把一面鏡子水平放置在平臺上的點(diǎn)G處,測得CG=15米,然 后沿直線CG后退到點(diǎn)E處,這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測得EG=3米,小明身高EF=1.6米,則涼亭的高度 AB約為()圖K24-3 A.8.5米B.9米 C.9.5米D.10米5.如圖K24-4,為了測量某建筑物MN的高度,在平地上A處測得建筑物頂端M的仰角為30°,沿直線AN向點(diǎn)N方向前進(jìn) 16 m,到達(dá)B處,在B處測得建筑物頂端M的仰角為45°,則建筑物MN的高度等于()圖K24-4 A.8(+1)mB.8(-1)m C.16(+1)mD.16(-1)m6.2017·泰州 小明沿著坡度i為1的直路向上走了50 m,則小明沿垂直方向升高了m. 7.2017·蘇州 如圖K24-5,在一筆直的沿湖道路上有A,B兩個(gè)游船碼頭,觀光島嶼C在碼頭A北偏東60°的方向,在碼頭B 北偏西45°的方向,AC=4 km.游客小張準(zhǔn)備從觀光島嶼C乘船沿CA回到碼頭A或沿CB回到碼頭B,設(shè)開往碼頭A,B 的游船速度分別為v1,v2,若回到A,B所用時(shí)間相等,則=(結(jié)果保留根號). 圖K24-58.2018·荊州 荊州市濱江公園旁的萬壽寶塔始建于明嘉靖年間,周邊風(fēng)景秀麗.現(xiàn)在塔底低于地面約7米,某校學(xué)生測得 古塔的整體高度約為40米.其測量塔頂相對地面高度的過程如下:先在地面A處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°,再向古塔方向 行進(jìn)a米后到達(dá)B處,在B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°(如圖K24-6所示),那么a的值約為米(1.73,結(jié)果精確 到0.1). 圖K24-69.2018·濟(jì)寧 如圖K24-7,在一筆直的海岸線L上有相距2 km的A,B兩個(gè)觀測站,B站在A站的正東方向上,從A站測得 船C在北偏東60°的方向上,從B站測得船C在北偏東30°的方向上,則船C到海岸線L的距離是km. 圖K24-710.2016·鹽城 已知ABC中,tanB=,BC=6.過點(diǎn)A作BC邊上的高,垂足為點(diǎn)D,且滿足BDCD=21,則ABC面積的 所有可能值為. 11.2018·淮安 為了計(jì)算湖中小島上涼亭P到岸邊公路l的距離,某數(shù)學(xué)興趣小組在公路l上的點(diǎn)A處,測得涼亭P在北 偏東60°的方向上;從A處向正東方向行走200米,到達(dá)公路l上的點(diǎn)B處,再次測得涼亭P在北偏東45°的方向上,如圖 K24-8所示,求涼亭P到公路l的距離.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):1.414,1.732)圖K24-8|拓展提升|12.2018·宿遷 如圖K24-9,為了測量山坡上一棵樹PQ的高度,小明在點(diǎn)A處利用測角儀測得樹頂P的仰角為45°,然后 他沿著正對樹PQ的方向前進(jìn)10 m到達(dá)點(diǎn)B處,此時(shí)測得樹頂P和樹底Q的仰角分別是60°和30°.設(shè)PQAB,且垂 足為C. (1)求BPQ的度數(shù); (2)求樹PQ的高度(結(jié)果精確到0.1 m,1.73).圖K24-913.2018·泰州 日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況,如圖K24-10,當(dāng)前后房屋都朝向正南時(shí),日照間距系數(shù)=L(H-H1), 其中L為樓間水平距離,H為南側(cè)樓房高度,H1為北側(cè)樓房底層窗臺至地面高度.如圖,山坡EF朝北,EF長為15 m, 坡度為i=10.75,山坡頂部平地EM上有一高為22.5 m的樓房AB,底部A到E點(diǎn)的距離為4 m. (1)求山坡EF的水平寬度FH; (2)欲在AB樓正北側(cè)山腳的平地FN上建一樓房CD,已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為0.9 m,要使該樓的 日照間距系數(shù)不低于1.25,底部C距F處至少多遠(yuǎn)?圖K24-10參考答案1.C2.C解析 sinA=,設(shè)BC=4x,AB=5x,又AC2+BC2=AB2,62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍),則BC=4x=8 cm,故選C.3.C解析 根據(jù)cosA=得AB=PA·cosA=2cos55°.故選C.4.A解析 由題意可知AGC=FGE,又FEG=ACG=90°,FEGACG,FEAC=EGCG,1.6AC=315,AC=8,AB=AC+BC=8.5米.5.A解析 設(shè)BN=x,則AN=16+x.在RtBMN中,MN=x·tan45°=x.在RtAMN中,16+x=x,解得x=8(+1).建筑物MN的高度等于8(+1)m.6.25解析 如圖,過點(diǎn)B作BEAC于點(diǎn)E,坡度i=1,tanA=1=,A=30°,AB=50 m,BE=AB=25(m).小明沿垂直方向升高了25 m.7.解析 根據(jù)“特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用”,作CDAB,垂足為D,AC=4,CAB=30°,CD=2.在RtBCD中,CBD=45°,BC=2.開往碼頭A,B的游船回到A,B所用時(shí)間相等,=.8.24.1解析 如圖所示,延長AB交古塔于點(diǎn)D,則ADCD.由題意可知,CD=40-7=33(米),在RtBCD中,CBD=45°,CD=BD=33米,AD=AB+BD=a+33(米),在RtACD中,tanCAD·AD=CD,即(a+33)=33,a=33(-1)24.1.9.解析 過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D,根據(jù)題意得:CAD=90°-60°=30°,CBD=90°-30°=60°,ACB=CBD-CAD=30°,CAB=ACB,BC=AB=2 km,在RtCBD中,CD=BC·sin60°=2×=(km),因此,答案為:.10.8或24解析 設(shè)CD=x,由BDCD=21,得BD=2x,若點(diǎn)D在線段BC上,如圖,BC=BD+CD=3x=6,x=2,BD=4,由tanB=,得AD=BD=×4=,SABC=×6×=8;若點(diǎn)D在線段BC的延長線上,如圖,BC=BD-CD=x=6,BD=12,由tanB=,得AD=BD=×12=8,SABC=×6×8=24.故答案為8或24.11.解:過P作PCAB于C,在RtACP中,tanAPC=tan60°=,即AC=PCtan60°=PC,同理可得,BC=PC,AB=AC-BC=PC-PC=200,PC=100(+1)273,答:涼亭P到公路l的距離約為273米.12.解:(1)PBC為直角三角形,且PBC=60°,BPQ=90°-60°=30°.(2)PBQ=PBC-QBC=60°-30°=30°,BPQ=30°,BQ=PQ.設(shè)CQ的長度為x,則PQ=BQ=2x,BC=CQ=x.A=45°,AC=PC.AB=10,2x+x=3x=10+x.x=.PQ=2×15.8(m).13.解:(1)在RtEFH中,=i=10.75,EH2+FH2=EF2=152,FH=9,EH=12,答:山坡EF的水平寬度FH的長度為9 m.(2)過點(diǎn)A作AGCF,交CF的延長線于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作PKAG于點(diǎn)K,則KG=PC=0.9,AG=EH=12,BK=BA+AG-KG=22.5+12-0.9=33.6,1.25,PK1.25BK=1.25×33.6=42,CG42,FH=9,HG=EA=4,CF29,答:底部C距F處至少29 m.11