第23講尺規(guī)作圖 考點一 考點二 考點三 考點一尺規(guī)作圖1 尺規(guī)的含義 1 幾何中 直尺沒有刻度 它的作用是 連接 畫直線 畫射線 2 圓規(guī)的作用是 截取 畫弧 畫圓 2 五種基本作圖 1 作一條線段等于已知線段 2 作一個角等于已知角 3 作已知角的平分線 4 作已知線段的垂直平分線 5 過一點作已知直線的垂線 3 尺規(guī)作圖的一般步驟 1 已知 2 求作 3 作法 4 證明 考點一 考點二 考點三 考點二根據(jù)已知的三個條件作三角形 1 已知兩邊及夾角作三角形 2 已知兩個角及夾邊作三角形 3 已知三邊作三角形 考點一 考點二 考點三 考點三三角形的外接圓和內(nèi)切圓 1 過一點的圓有無數(shù)多個 2 過兩點的圓有無數(shù)多個 它們的圓心都在這兩點連線段的垂直平分線上 3 過不在同一直線上的三點的圓 即三角形的外接圓 的圓心是三邊中垂線的交點 半徑是這個交點到一個頂點的距離 4 三角形的內(nèi)切圓 三角形內(nèi)切圓的圓心是三個角的平分線的交點 半徑是這個交點到一邊的距離 考法1 考法2 考法3 考法4 利用基本作圖 解決簡單實際問題常用的基本作圖包括 作一條線段等于已知線段 作一個角等于已知角 作已知角的平分線 作已知線段的垂直平分線 過一點作已知直線的垂線 過直線外一點作已知直線的平行線 過不在同一直線上的三點作圓等 考法1 考法2 考法3 考法4 例1 2018安徽 如圖 O為銳角三角形ABC的外接圓 半徑為5 1 用尺規(guī)作圖作出 BAC的平分線 并標(biāo)出它與劣弧的交點E 保留作圖痕跡 不寫作法 2 若 1 中的點E到弦BC的距離為3 求弦CE的長 考法1 考法2 考法3 考法4 解 1 如圖 AE為所作 2 連接OE交BC于點F 連接OC 如圖 AE平分 BAC BAE CAE 方法點撥 1 利用基本作圖作AE平分 BAC 2 連接OE交BC于點F 連接OC 根據(jù)圓周角定理得到 再根據(jù)垂徑定理得到OE BC 則EF 3 OF 2 然后在Rt OCF中利用勾股定理計算出CF 在Rt CEF中利用勾股定理可計算出CE 考法1 考法2 考法3 考法4 根據(jù)已知的三個條件作三角形能作出確定的三角形的條件有 已知兩邊及夾角 已知兩個角及夾邊 已知兩個角及其中一個角的對邊 已知三邊 已知斜邊和一條直角邊等 考法1 考法2 考法3 考法4 例2 2018廣西貴港 尺規(guī)作圖 只保留作圖痕跡 不要求寫出作法 如圖 已知 和線段a 求作 ABC 使 A C 90 AB a 分析 根據(jù)作一個角等于已知角 線段截取以及垂線的尺規(guī)作法即可求出答案 考法1 考法2 考法3 考法4 解 如圖所示 ABC為所求作的三角形 方法點撥解決本題的關(guān)鍵是掌握作一個角等于已知角的基本作圖方法 考法1 考法2 考法3 考法4 作三角形的外接圓確定一個圓的關(guān)鍵是 確定圓心和半徑 三角形外接圓的圓心是三邊中垂線的交點 半徑是這點與某一個頂點之間的距離 例3 2017江蘇無錫 如圖 已知等邊三角形ABC 請用直尺 不帶刻度 和圓規(guī) 按下列要求作圖 不要求寫作法 但要保留作圖痕跡 1 作 ABC的外心O 2 設(shè)D是AB邊上一點 在圖中作出一個正六邊形DEFGHI 使點F 點H分別在邊BC和AC上 考法1 考法2 考法3 考法4 分析 1 根據(jù)垂直平分線的作法作出AB AC的垂直平分線交于點O即為所求 2 過D點作DI BC交AC于I 分別以D I為圓心 DI長為半徑作圓弧交AB于E 交AC于H 過E點作EF AC交BC于F 過H點作HG AB交BC于G 六邊形DEFGHI即為所求正六邊形 考法1 考法2 考法3 考法4 解 1 如右圖所示 點O即為所求 2 如圖所示 六邊形DEFGHI即為所求正六邊形 考法1 考法2 考法3 考法4 例4如圖 ABC是直角三角形 ACB 90 1 實踐與操作利用尺規(guī)按下列要求作圖并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母 保留作圖痕跡 不寫作法 作 ABC的外接圓 圓心為O 以線段AC為一邊 在AC的右側(cè)作等邊 ACD 連接BD交 O于點E 連接AE 2 綜合與運用在你所作的圖中 如果AB 4 BC 2 那么AD與 O的位置關(guān)系是 考法1 考法2 考法3 考法4 解 1 如圖 2 相切方法點撥 ABC是直角三角形 作 ABC的外接圓關(guān)鍵是找到圓心 我們可以作AB的垂直平分線與AB的交點即為圓心O 以點O為圓心以AO為半徑作圓 即得到 ABC的外接圓 分別以點A C為圓心 以AC為半徑畫弧 兩弧交于點D 即為等邊 ACD 判斷AD與 O的位置關(guān)系 關(guān)鍵是判斷OA與AD是否垂直 考法1 考法2 考法3 考法4 作三角形的內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓的圓心是三條角平分線的交點 半徑是這個交點到某一邊的距離 用圓規(guī) 直尺作圖 不寫作法 但要保留作圖痕跡 例5 2017浙江嘉興 如圖 已知 ABC B 40 1 在圖中 用尺規(guī)作出 ABC的內(nèi)切圓O 并標(biāo)出 O與邊AB BC AC的切點D E F 保留痕跡 不必寫作法 2 連接EF DF 求 EFD的度數(shù) 分析 1 直接利用基本作圖即可得出結(jié)論 2 利用四邊形的性質(zhì) 三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論 考法1 考法2 考法3 考法4 解 1 如圖1 O即為所求 圖1圖2 2 如圖2 連接OD OE OD AB OE BC ODB OEB 90 B 40 DOE 140 EFD 70 考法1 考法2 考法3 考法4 例6為美化校園 學(xué)校準(zhǔn)備在如圖所示的三角形 ABC 空地上修建一個面積最大的圓形花壇 請在圖中畫出這個圓形花壇 解 面積最大的圓形花壇即 ABC的內(nèi)切圓 如圖 分別作 BAC和 ACB的平分線 交于點O 以O(shè)為圓心 以O(shè)到BC的距離為半徑畫圓即得 考法1 考法2 考法3 考法4 方法點撥1 設(shè) ABC的內(nèi)切圓的半徑為r 周長為p 則其面積S pr 這個公式在關(guān)于三角形內(nèi)切圓的有關(guān)計算中有重要的地位 2 三角形能覆蓋的最大的圓即其內(nèi)切圓 1 2017甘肅武威 如圖 已知 ABC 請用圓規(guī)和直尺作出 ABC的一條中位線EF 不寫作法 保留作圖痕跡 2 2016甘肅蘭州 如圖 已知 O 用尺規(guī)作 O的內(nèi)接正四邊形ABCD 寫出結(jié)論 不寫做法 保留作圖痕跡 解 如圖 四邊形ABCD即為所求 3 2015甘肅武威 如圖 已知在 ABC中 A 90 1 請用圓規(guī)和直尺作出 P 使圓心P在AC邊上 且與AB BC兩邊都相切 保留作圖痕跡 不寫作法和證明 2 若 B 60 AB 3 求 P的面積 解 1 如圖所示 則 P為所求作的圓 2 B 60 BP平分 ABC ABP 30 4 2017甘肅蘭州 在數(shù)學(xué)課上 同學(xué)們已經(jīng)探究過 經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線 的尺規(guī)作圖過程 已知 直線l和l外一點P 求作 直線l的垂線 使它經(jīng)過點P 作法 如圖 1 在直線l上任取兩點A B 2 分別以點A B為圓心 AP BP長為半徑畫弧 兩弧相交于點Q 3 作直線PQ 參考以上材料作圖的方法 解決以下問題 1 以上材料作圖的依據(jù)是 2 已知 直線l和l外一點P 求作 P 使它與直線l相切 尺規(guī)作圖 不寫作法 保留作圖痕跡 解 1 線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等 5 2015甘肅慶陽 如圖 在 ABC中 C 60 A 40 1 用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線 交AC于點D 交AB于點E 保留作圖痕跡 不要求寫作法和證明 2 求證 BD平分 CBA 1 解 如圖1所示 2 證明 連接BD 如圖2所示 C 60 A 40 CBA 80 DE是AB的垂直平分線 A DBA 40 DBA CBA BD平分 CBA 6 2018甘肅 如圖 在 ABC中 ABC 90 1 作 ACB的平分線交AB邊于點O 再以點O為圓心 OB的長為半徑作 O 要求 不寫做法 保留作圖痕跡 2 判斷 1 中AC與 O的位置關(guān)系 解 1 如圖所示 2 相切 過O點作OD AC于D點 CO平分 ACB OB OD 即d r O與直線AC相切