第9講平面直角坐標(biāo)系及函數(shù) 考點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo) 5年5考 夯基礎(chǔ) 學(xué)易 1 點(diǎn)的坐標(biāo)特征 2 點(diǎn)的對稱 3 點(diǎn)的平移 4 點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離 5 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離及中點(diǎn)坐標(biāo) 學(xué)法提點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo) 通常應(yīng)借助線段的和 差或勾股定理求出點(diǎn)到橫 縱坐標(biāo)軸的距離 然后結(jié)合點(diǎn)所在的象限確定點(diǎn)的坐標(biāo) 1 2018 青島 7 3分 如圖 將線段AB繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 得到線段A B 其中點(diǎn)A B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A B 則點(diǎn)A 的坐標(biāo)是 D A 1 3 B 4 0 C 3 3 D 5 1 考點(diǎn)二函數(shù)概念及自變量的取值范圍 近5年內(nèi)未考 1 函數(shù)概念 1 變量 某一變化過程中 可以取不同數(shù)值的量叫做變量 2 常量 某一變化過程中保持相同數(shù)值的量 叫做常量 3 函數(shù) 在某一變化過程中有兩個(gè)變量x和y 如果對于x的每一個(gè)確定的值 y都有唯一的值與它對應(yīng) 那么稱x是自變量 y是x的函數(shù) 2 函數(shù)自變量的取值范圍 學(xué)法提點(diǎn)結(jié)合函數(shù)的表達(dá)形式 確定自變量的取值范圍 2 2018 婁底 函數(shù)y 中 自變量x的取值范圍是 C A x 2B x 2C x 2且x 3D x 3 3 2018 內(nèi)蒙古包頭 3 3分 函數(shù)y 中 自變量x的取值范圍是 D A x 1B x 0C x 1D x 1 考點(diǎn)三函數(shù)的表示方法及圖象 近5年內(nèi)未考查 1 函數(shù)的表示方法 列表法 解析式法 圖象法 2 函數(shù)的圖象 一般地 對于一個(gè)函數(shù) 如果把一個(gè)自變量與自變量取這個(gè)值時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo) 那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形就是這個(gè)函數(shù)的圖象 3 描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟 列表 描點(diǎn) 連線 4 2018 紹興 如圖 一個(gè)函數(shù)的圖象由射線BA 線段BC 射線CD組成 其中點(diǎn)A 1 2 B 1 3 C 2 1 D 6 5 則此函數(shù) A A 當(dāng)x 1時(shí) y隨x的增大而增大B 當(dāng)x 1時(shí) y隨x的增大而減小 C 當(dāng)x 1時(shí) y隨x的增大而增大D 當(dāng)x 1時(shí) y隨x的增大而減小 5 2018 北京 24 6分 如圖 Q是與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點(diǎn) P是弦AB上一動點(diǎn) 連接PQ并延長交于點(diǎn)C 連接AC 已知AB 6cm 設(shè)A P兩點(diǎn)間的距離為xcm P C兩點(diǎn)間的距離為y1cm A C兩點(diǎn)間的距離為y2cm 小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn) 分別對函數(shù)y1 y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究 下面是小騰的探究過程 請補(bǔ)充完整 1 按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn) 畫圖 測量 分別得到了y1 y2與x的幾組對應(yīng)值 2 在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中 描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn) x y1 x y2 并畫出函數(shù)y1 y2的圖象 3 結(jié)合函數(shù)圖象 解決問題 當(dāng) APC為等腰三角形時(shí) AP的長度約為3 00cm或4 83cm或5 86cm 解析 1 通過畫圖觀察可得當(dāng)x 3時(shí) y1 3 00 2 如圖所示 3 3 00或4 83或5 86 在坐標(biāo)系中畫出直線y x 則三個(gè)圖象中 兩兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為 APC為等腰三角形時(shí)線段AP的長度 則AP的長度約為3 00cm或4 83cm或5 86cm 學(xué)法提點(diǎn)從函數(shù)圖象中讀取信息時(shí) 應(yīng)分析一些特殊的點(diǎn)作為突破口 類型一平面直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo) 研真題 優(yōu)易 例1 2016 山西 11 3分 如圖是利用網(wǎng)格畫出的太原市地鐵1 2 3號線路部分規(guī)劃示意圖 若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系 表示雙塔西街的點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 1 表示桃園路的點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 0 則表示太原火車站的點(diǎn) 正好在網(wǎng)格點(diǎn)上 的坐標(biāo)是 3 0 命題亮點(diǎn)本試題借鑒PISA測試?yán)砟?問題情境來源于真實(shí)的生活情境 考查學(xué)生解決生活中實(shí)際問題的能力 解題思路遇到此類題 先根據(jù)題中的已知點(diǎn) 確立平面直角坐標(biāo)系 再確定其他點(diǎn)的坐標(biāo) 1 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)P 2 x2 1 所在的象限是 A A 第一象限B 第二象限C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限 2 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn) 3 2 關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)是 3 2 3 2018 懷柔一模 如圖是懷柔區(qū)部分景點(diǎn)的分布圖 若表示百泉山風(fēng)景區(qū)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 1 表示慕田峪長城的點(diǎn)的坐標(biāo)為 5 1 則表示雁棲湖的點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 3 類型二函數(shù)概念及自變量的取值范圍 例2函數(shù)y 中 自變量x的取值范圍是 B A x 4B x 4C x 4D x 4 命題亮點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)以及綜合解決問題的能力 解題思路遇到此類題 要結(jié)合含有自變量的代數(shù)式的特點(diǎn)來確定自變量的取值范圍 如分式應(yīng)思考分母不為零 二次根式應(yīng)思考被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)等 4 在函數(shù)y 中 自變量x的取值范圍是 C A x1 類型三函數(shù)的表示方法及圖象 例3 2018 山西適應(yīng)性 如圖1 點(diǎn)O是矩形ABCD的中心 對角線的交點(diǎn) AB 4cm AD 6cm 點(diǎn)M是邊AB上的一動點(diǎn) 過點(diǎn)O作ON OM 交BC于點(diǎn)N 設(shè)AM xcm ON ycm 今天我們將根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn) 研究函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律 下面是某同學(xué)做的一部分研究結(jié)果 請你一起參與解答 1 自變量x的取值范圍是 2 通過計(jì)算 得到了x與y的幾組值 如下表 請你補(bǔ)全表格 說明 補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留兩位小數(shù) 參考數(shù)據(jù) 3 04 6 09 3 在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中 畫出該函數(shù)的大致圖象 4 根據(jù)圖象 請寫出該函數(shù)的一條性質(zhì) 命題亮點(diǎn)本試題屬于 新材料 試題 考查學(xué)生的閱讀 理解 遷移 轉(zhuǎn)化的能力 解題思路思考兩個(gè)變量間的關(guān)系 通常借助構(gòu)造三角形 利用三角形的相似或全等來解決 本題是利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來解決問題 開放解答 解析 1 點(diǎn)M在AB邊上運(yùn)動 AB 4cm 0 x 4 2 過點(diǎn)O作OE AB OF BC 四邊形ABCD為矩形 B 90 OE AB OF BC 四邊形BEOF為矩形 EOF 90 EON FON 90 O為矩形的中心 OE 3cm OF 2cm MON 90 MOE NOE 90 MOE FON OME ONF AM xcm ME 2 x cm OE 3cm 由勾股定理可得OM OF 2cm ON ycm y 將x 2代入函數(shù)關(guān)系式可得y 2 將x 2 5代入函數(shù)關(guān)系式可得y 2 03 3 4 答案不唯一 如 該函數(shù)的圖象是軸對稱圖形 函數(shù)的最小值為2 0 x 2時(shí) y隨x的增大而減小 2 x 4時(shí) y隨x的增大而增大等 5 如圖 正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長為2的正方形ABCD的邊上 若設(shè)AE x 正方形EFGH的面積為y 今天我們將根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn) 研究函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律 請完成下面的解答部分 1 請寫出函數(shù)y與x的關(guān)系式 并寫出自變量x的取值范圍 2 通過計(jì)算 得到了x與y的幾組值 如下表 請補(bǔ)全表格 3 在平面直角坐標(biāo)系中 畫出該函數(shù)的大致圖象 4 根據(jù)圖象 請寫出該函數(shù)的一條性質(zhì) 解析 1 如圖所示 四邊形ABCD是邊長為2的正方形 A B 90 AB 2 1 2 90 四邊形EFGH為正方形 HEF 90 EH EF 1 3 90 2 3 在 AHE與 BEF中 A B 2 3 EH FE AHE BEF AAS AE BF x AH BE 2 x 在Rt AHE中 由勾股定理得EH2 AE2 AH2 x2 2 x 2 2x2 4x 4 0 x 2 故答案為y 2x2 4x 4 0 x 2 2 當(dāng)x 1時(shí) 代入y 2x2 4x 4 得y 2 當(dāng)x 2時(shí) 代入y 2x2 4x 4 得y 4 3 4 答案不唯一 當(dāng)1 x 2時(shí) y隨x的增大而增大 當(dāng)0 x 1時(shí) y隨x的增大而減小 命題點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo) 試真題 練易 1 2017 山西 13 3分 如圖 已知 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A 0 4 B 1 1 C 2 2 將 ABC向右平移4個(gè)單位 得到 A B C 點(diǎn)A B C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A B C 再將 A B C 繞點(diǎn)B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到 A B C 點(diǎn)A B C 的對應(yīng)點(diǎn)分別為A B C 則點(diǎn)A 的坐標(biāo)為 6 0 命題點(diǎn)二函數(shù)概念及自變量的取值范圍 2 2018 云南 7 4分 函數(shù)y 的自變量x的取值范圍為 B A x 0B x 1C x 0D x 1 3 2018 黑龍江 在函數(shù)y 中 自變量x的取值范圍是x 2且x 0 易錯(cuò)題 2018 廣東 10 3分 如圖 點(diǎn)P是菱形ABCD邊上的一動點(diǎn) 它從點(diǎn)A出發(fā)沿A B C D路徑勻速運(yùn)動到點(diǎn)D 設(shè) PAD的面積為y P點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為x 則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為 A 探難疑 知易 解析當(dāng)P在AB上運(yùn)動時(shí) 過點(diǎn)P作PE DA 交DA的延長線于點(diǎn)E 設(shè)P的運(yùn)動速度為v EAP 則AP vx 在Rt AEP中 PE APsin vxsin S PAD AD PE AD vxsin y AD vxsin x AD sin v都是定值 y是x的正比例函數(shù) 由此排除C D 當(dāng)P在BC上運(yùn)動時(shí) 設(shè)AD與BC之間的距離為h 則S PAD AD h PAD的面積不變 由此排除A 故選B 答案B 錯(cuò)解C 錯(cuò)誤鑒定1 當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時(shí) 將AD作為 ADP的底 平行線AD與BC間距離保持不變 因此 ADP的面積應(yīng)不變 2 通過用含變量的關(guān)系式表示不同時(shí)段 ADP的面積 即可獲得準(zhǔn)確判斷 2018 烏魯木齊 10 4分 如圖1 在矩形ABCD中 E是AD上一點(diǎn) 點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE ED DC運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)停止 點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)停止 速度均為每秒1個(gè)單位長度 如果點(diǎn)P Q同時(shí)開始運(yùn)動 設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t BPQ的面積為y 已知y與t的函數(shù)圖象如圖2所示 以下結(jié)論 BC 10 cos ABE 當(dāng)0 t 10時(shí) y t2 當(dāng)t 12時(shí) BPQ是等腰三角形 當(dāng)14 t 20時(shí) y 110 5t中正確的有 B 圖1圖2A 2個(gè)B 3個(gè)C 4個(gè)D 5個(gè)