2010屆高考數(shù)學復習強化雙基系列課件 35數(shù)列的求和數(shù)列求和的方法數(shù)列求和的方法將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列, 然后分別求和然后分別求和. 將數(shù)列相鄰的兩項將數(shù)列相鄰的兩項( (或若干項或若干項) )并成一項并成一項( (或一組或一組) )得到一得到一個新數(shù)列個新數(shù)列( (容易求和容易求和) ).一、一、拆項求和拆項求和二、二、并項求和并項求和例例 求和求和 Sn=12+23+n(n+1).例例 求和求和 Sn=1- -2+3- -4+5- -6+(- -1)n+1n.三、裂項求和三、裂項求和 將數(shù)列的每一項拆將數(shù)列的每一項拆( (裂開裂開) )成兩項之差成兩項之差, 使得正負項能相互使得正負項能相互抵消抵消, 剩下首尾若干項剩下首尾若干項.n2Sn=- - ,n 為偶數(shù)時為偶數(shù)時, , n 為奇數(shù)時為奇數(shù)時. n+1 2n(n+1)(n+2) 3 n+1n例例 求和求和 Sn= + + .121231n(n+1)1四、錯位求和四、錯位求和 將數(shù)列的每一項都作相同的變換將數(shù)列的每一項都作相同的變換, 然后將得到的新數(shù)列錯然后將得到的新數(shù)列錯動一個位置與原數(shù)列的各項相減動一個位置與原數(shù)列的各項相減.例例 等比數(shù)列求和公式的推導等比數(shù)列求和公式的推導. 五、倒序求和五、倒序求和 將數(shù)列的倒數(shù)第將數(shù)列的倒數(shù)第 k 項項( (k=1, 2, 3, ) )變?yōu)檎龜?shù)第變?yōu)檎龜?shù)第 k 項項, 然后然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列進行變換將得到的新數(shù)列與原數(shù)列進行變換( (相加、相減等相加、相減等) ).例例 等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和公式的推導公式的推導.典型例題典型例題(1)已知已知 an= , 求求 Sn; n(n+1)2 2n+1 (2)已知已知 an= , 求求 Sn; (2n- -1)(2n+1) (2n)2 n2+2n n2+2n+12n2+2n 2n+1Sn=(3n+2)2n- -1 Sn=3n- -2n( (公比為的等比數(shù)列公比為的等比數(shù)列) ) 23(4)Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+n1; 法法1 Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+nn- -(n- -1) =n(1+2+3+n)- -2 1+3 2+n(n- -1) =n(1+2+3+n)- -12+22+(n- -1)2- -1+2+(n- -1) 法法2 Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+n1 =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n) 而而 an=1+2+3+n= n(n+1). 12(5)Sn=3n- -1+3n- -22+3n- -322+2n- -1. (3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+(3n+1)Cn; 0 1 2 3 n n(n+1)(n+2) 6 課后練習課后練習 1.已知數(shù)列已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, 且且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求數(shù)列求數(shù)列 an 的通項公式的通項公式; (2)令令 bn=an 3n, 求數(shù)列求數(shù)列 bn 前前 n 項和的公式項和的公式.解解: (1)設數(shù)列設數(shù)列 an 的公差為的公差為 d, 則由已知得則由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n- -1) 2=2n. 故數(shù)列故數(shù)列 an 的通項公式的通項公式為為 an=2n. (2)由由 bn=an 3n=2n 3n 得數(shù)列得數(shù)列 bn 前前 n 項和項和 Sn=2 3+4 32+(2n- -2) 3n- -1+2n 3n 3Sn=2 32+4 33+(2n- -2) 3n+2n 3n+1 將將 式減式減 式得式得: - -2Sn=2(3+32+3n)- -2n 3n+1=3(3n- -1)- -2n 3n+1. Sn= +n 3n+1. 3(1- -3n) 2又又 a1=2, 2.將上題將上題 (2) 中中“ bn=an 3n ” 改為改為“ bn=an xn(x R)”, 仍求仍求 bn 的前的前 n 項和項和.解解: 令令 Sn=b1+b2+bn, 則由則由 bn=an xn=2nxn 得得:Sn=2x+4x2+(2n- -2)xn- -1+2nxn xSn=2x2+4x3+(2n- -2)xn+2nxn+1 當當 x 1 時時, 將將 式減式減 式得式得: (1- -x)Sn=2(x+x2+xn)- -2nxn+1= - -2nxn+1. 2x(1- -xn) 1- -x Sn= - - .2x(1- -xn) (1- -x)2 2nxn+1 1- -x 當當 x=1 時時, Sn=2+4+2n=n(n+1); 綜上所述綜上所述, Sn= n(n+1), x=1 時時, 2x(1- -xn) (1- -x)2 2nxn+1 1- -x - - , x 1 時時. 3.求和求和: Sn=1+(1+ )+(1+ + )+(1+ + + ).121412121412n- -1 121412n- -1 解解: an=1+ + + = =2- - . 1- - 121- - 1212n- -1 12n- -1 Sn=2n- -(1+ + + ) 121412n- -1 =2n- -2+ . 12n- -1 4.求數(shù)列求數(shù)列 n(n+1)(2n+1) 的前的前 n 項和項和 Sn.解解: 通項通項 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,Sn=2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n) n2(n+1)2 = + + 2n(n+1) 2n(n+1)(2n+1) 2= . n(n+1)2(n+2) 2 5.數(shù)列數(shù)列 an 中中, an= + + , 又又 bn= , 求求數(shù)列數(shù)列 bn 的前的前 n 項的和項的和.n+1 1 n+1 2 n+1 n anan+1 2解解: an= (1+2+n)= , n+1 1 2 nbn= =8( - - ). 2 n2 n+12 n+1 1 n1Sn=8(1- - )+( - - )+( - - )+( - - ) 1213121314n+1 1 n1=8(1- - ) n+1 1 n+1 8n = . 6.已知已知 lgx+lgy=a, 且且 Sn=lgxn +lg(xn- -1y)+lg(xn- -2y2)+lgyn, 求求 Sn. 解解: Sn=lgxn+lg(xn- -1y)+lg(xn- -2y2)+lgyn,又又 Sn=lgyn +lg(xyn- -1)+lg(xn- -1y)+lgxn,2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)n+1 項項 =n(n+1)lg(xy).lgx+lgy=a, lg(xy)=a.Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 注注: 本題亦可用對數(shù)的運算性質(zhì)求解本題亦可用對數(shù)的運算性質(zhì)求解: Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 Sn=lgxn+(n- -1)+3+2+1 y1+2+3+(n- -1)+n, 8.求求數(shù)列數(shù)列 1, 2+3, 4+5+6, 7+8+9+10, 的通項的通項 an 及前及前 n 項和項和Sn.解解: an= +1+ +2+ +nn(n- -1) 2 n(n- -1) 2 n(n- -1) 2 n2(n- -1) 2 = + = n3+ n. n(n+1) 2 1212 Sn= (13+23+n3)+ (1+2+n)1212n(n+1) 2 = 2+ 1212n(n+1) 2 = (n4+2n3+3n2+2n). 187.求證求證: Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1) 2n. 0 1 2 n 證證: 令令 Sn=Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn. 0 1 2 n 又又 Sn=(2n+1)Cn+(2n- -1)Cn +3Cn+Cn, n n- -1 1 0 2Sn=2(n+1)(Cn+Cn+Cn)=2(n+1) 2n. 0 1 n Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1) 2n.0 1 2 n 9.已知遞增的等比數(shù)列已知遞增的等比數(shù)列 an 前前 3 項之積為項之積為 512, 且這三項分別且這三項分別減去減去 1, 3, 9 后又成等差數(shù)列后又成等差數(shù)列, 求數(shù)列求數(shù)列 的前的前 n 項和項和.an n 解解: 設設等比數(shù)列等比數(shù)列 an 的公比為的公比為 q, 依題意得依題意得:a1a2a3=512a23=512a2=8.前三項分別減去前三項分別減去 1, 3, 9 后又成等差數(shù)列后又成等差數(shù)列,( - -1)+(8q- -9)=2(8- -3) q=2 或或 q= ( (舍去舍去) ).q812an=a2qn- -2=8 2n- -2=2n+1.所求數(shù)列的前所求數(shù)列的前 n 項和項和 Sn= + + 122 223 2n+1 n2n+1 n- -1 123 224 Sn= + + + 122n+2 n- - 得得: Sn= + + - -2n+1 1 122 123 122n+2 nSn= + + - -12n 122 2n+1 n12=1- - - - .12n 2n+1 n 10.已知數(shù)列已知數(shù)列 an 中中, a1=1, (2n+1)an=(2n- -3)an- -1(n2, n N*), 求數(shù)列求數(shù)列 an 的前的前 n 項和項和 Sn. = . an- -1 an 2n- -3 2n+1 Sn=a1+a2+an 解解: (2n+1)an=(2n- -3)an- -1, 則則 = , , = , = . an- -2 an- -1 2n- -5 2n- -1 a2 a3 37a1 a2 15 = . a1 an (2n+1)(2n- -1) 3 an=(2n+1)(2n- -1)3 = ( - - ). 321 2n- -1 1 2n+1 321 2n- -1 1 2n+1 = (1- - )+( - - )+( - - )+( - - ) 13151315173n 2n+1 = . 解解: (1) a1C - -a2C +a3C =a1- -2a1q+a1q2=a1(1- -q)2. 222210 11.已知已知 an 是是 首首 項項 為為 a1, 公公 比比 為為 q 的的 等等 比比 數(shù)數(shù) 列列. (1)求和求和: a1C2- -a2C2+a3C2, a1C3- -a2C3+a3C3- -a4C3 ; (2)由由(1)的結果歸納概的結果歸納概括出關于正整數(shù)括出關于正整數(shù) n 的一個結論的一個結論, 并加以證明并加以證明; (3)設設q1, Sn是是an的前的前 n 項和項和, 求求 S1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn.00011122233n3210a1C - -a2C +a3C - -a4C =a1- -3a1q+3a1q2- -a1q3=a1(1- -q)3. 3333(2) 歸納概括的結論為歸納概括的結論為: a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C =a1(1- -q)n, 其中其中, 3n210nnnnnn 為正整數(shù)為正整數(shù). 證明如下證明如下: a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C 3n210nnnnn=a1C - -a1qC +a1q2C - -a1q3C +(- -1)na1qnC 3n210nnnnn=a1C - -qC +q2C - -q3C +(- -1)nqnC 3n210nnnnn=a1(1- -q)n. a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C =a1(1- -q)n. 3n210nnnnn解解: (3)記記 t= , 則由則由 Sn=t(1- -qn) 得得: 1- -q a1 0123nS1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn =t(1- -q)Cn- -(1- -q2)Cn+(1- -q3)Cn+ +(- -1)n(1- -qn+1)Cn 012n0123n- -tqCn- -qCn+q2Cn- -q3Cn+ +(- -1)nqnCn=tCn- -Cn+Cn- -Cn+ +(- -1)nCn 012n3=t(1- -1)n - -tq(1- -q)n =- -tq(1- -q)n, 從而有從而有: 0123nS1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn =- -tq(1- -q)n =- - (1- -q)n. 1- -q a1q 11.已知已知 an 是是 首首 項項 為為 a1, 公公 比比 為為 q 的的 等等 比比 數(shù)數(shù) 列列. (1)求和求和: a1C2- -a2C2+a3C2, a1C3- -a2C3+a3C3- -a4C3 ; (2)由由(1)的結果歸納概的結果歸納概括出關于正整數(shù)括出關于正整數(shù) n 的一個結論的一個結論, 并加以證明并加以證明; (3)設設q1, Sn是是an的前的前 n 項和項和, 求求 S1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn.00011122233n(1)證證: 由已知由已知 S1=a1=a, Sn=aqn- -1, 當當 n2 時時, an=Sn- -Sn- -1=aqn- -1- -aqn- -2=a(q- -1)qn- -2. 在在 an中中, 從第從第 2 項開始成等比數(shù)列項開始成等比數(shù)列. 12.數(shù)列數(shù)列 an 中中, a1=a, 前前 n 項和項和 Sn 構成公比為構成公比為 q(q 1) 的等比的等比數(shù)列數(shù)列. (1)求證求證: 在在 an中中, 從第從第 2 項開始成等比數(shù)列項開始成等比數(shù)列; (2)當當 a=250, q= 時時, 設設 bn=log2|an|, 求求 |b1|+|b2|+|bn|.12an+1an = =q(n2), a(q- -1)qn- -2 a(q- -1)qn- -1 (2)解解: 由由(1)知知 an= a, n=1, a(q- -1)qn- -2, n2. 當當 a=250, q= 時時, b1=log2|a1|=log2250=50, 12 n2 時時, bn=log2|an|=log2|250( - -1)( )n- -2|=51- -n, 1212bn=51- -n(n N*). 當當 1n51 時時, |b1|+|b2|+|bn| =(51- -1)+(51- -2)+(51- -n) =51n- -n(n+1) 2=- - n2+ n; 101212當當 n52 時時, |b1|+|b2|+|bn|= + 50(50+1) 2(n- -51)(1+n- -51) 2= n2- - n+2550. 101212 n2- - n+2550, n52. 101212綜上所述綜上所述 |b1|+|b2|+|bn|=- - n2+ n, 1n51, 101212=(50+49+1)+1+2+(n- -51) =51n- -(1+2+n)