第二部分 題型研究題型四 新定義與閱讀理解題類型二新概念學習型針對演練1. 若x1，x2是關于x的方程x2bxc0的兩個實數(shù)根，且|x1|x2|2|k|(k是整數(shù))，則稱方程x2bxc0為“偶系二次方程”如方程x26x270，x22x80，x23x0，x26x270, x24x40都是“偶系二次方程”. (1)判斷方程x2x120是否是“偶系二次方程”，并說明理由；(2)對于任意一個整數(shù)b，是否存在實數(shù)c，使得關于x的方程x2bxc0是“偶系二次方程”，并說明理由. 2. 設二次函數(shù)y1，y2的圖象的頂點分別為(a，b)、(c，d)，當ac，b2d，且開口方向相同時，則稱y1是y2的“反倍頂二次函數(shù)”(1)請寫出二次函數(shù)yx2x1的一個“反倍頂二次函數(shù)”；(2)已知關于x的二次函數(shù)y1x2nx和二次函數(shù)y2nx2x；函數(shù)y1y2恰是y1y2的“反倍頂二次函數(shù)”，求n.3. 函數(shù)y和y(k0)的圖象關于y軸對稱，我們定義函數(shù)y和y(k0)相互為“影像”函數(shù)：(1)請寫出函數(shù)y2x3的“影像”函數(shù)：_；(2)函數(shù)_的“影像”函數(shù)是yx23x5; (3)若一條直線與一對“影像”函數(shù)y(x0)和y(x0)的圖象分別交于點A、B、C(點A、B在第一象限)，如圖，如果CBBA12，點C在函數(shù)y(x0)的“影像”函數(shù)上的對應點的橫坐標是1，求點B的坐標第3題圖4. 如圖，在平面直角坐標系中，已知點P0的坐標為(1，0)，將線段OP0按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1，又將線段OP1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2，如此下去，得到線段OP3，OP4，OPn(為正整數(shù))(1)求點P3的坐標； (2)我們規(guī)定：把點Pn(xn，yn)(n0，1，2，3)的橫坐標xn、縱坐標yn都取絕對值后得到的新坐標(|xn|，|yn|)稱為點Pn的“絕對坐標”，根據(jù)圖中Pn的分布規(guī)律，求出點Pn的“絕對坐標”第4題圖考向2)幾何類(杭州：2015.19；臺州：2016.23，2015、2013.24；紹興：2017.22，2013.22，2012.21)針對訓練1. (2017紹興)定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形(1)如圖，等腰直角四邊形ABCD，ABBC，ABC90°. 若ABCD1，ABCD，求對角線BD的長； 若ACBD，求證：ADCD.(2)如圖，在矩形ABCD中，AB5，BC9，點P是對角線BD上一點，且BP2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形求AE的長第1題圖2. 閱讀下面的材料：如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”，如圖，ABEF即為ABC的“友好平行四邊形”請解決下列問題：(1)仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好矩形”；(2)若ABC是鈍角三角形，則ABC顯然只有一個“友好矩形”，若ABC是直角三角形，其“友好矩形”有_個；(3)若ABC是銳角三角形，且ABACBC，如圖，請畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的“友好矩形”，并說明理由第2題圖)3. (2017常州)如圖，在四邊形ABCD中，如果對角線AC和BD相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形(1)在“平行四邊形、矩形、菱形”中，_一定是等角線四邊形(填寫圖形名稱)；若M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點，當對角線AC、BD還需要滿足_時，四邊形MNPQ是正方形；(2)如圖，已知ABC中，ABC90°，AB4，BC3，D為平面內一點若四邊形ABCD是等角線四邊形，且ADBD，則四邊形ABCD的面積是_； 設點E是以C為圓心，1為半徑的圓上的動點，若四邊形ABED是等角線四邊形，寫出四邊形ABED面積的最大值，并說明理由第3題圖4. (2017黃石)在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”在“標準矩形”ABCD中，P為DC邊上一定點，且CPBC，如下圖所示(1)如圖，求證：BABP；(2)如圖，點Q在DC上，且DQCP，若G為BC邊上一動點，當AGQ的周長最小時，求的值；(3)如圖，已知AD1，在(2)的條件下，連接AG并延長交DC的延長線于點F，連接BF，T為BF的中點，M、N分別為線段PF與AB上的動點，且始終保持PMBN，請證明：MNT的面積S為定值，并求出這個定值第4題圖5. 對于一個四邊形給出如下定義：如一組對角相等且有一組鄰邊相等，則稱這個四邊形為奇特四邊形，如圖中，BD，ABAD；如圖中，AC，ABAD則這樣的四邊形均為奇特四邊形(1)在圖中，若ABAD4，A60°，C120°，請求出四邊形ABCD的面積； (2)在圖中，若ABAD4，AC45°，請直接寫出四邊形ABCD面積的最大值；(3)如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且BEDF，連接EF，取EF的中點G，連接CG并延長交AD于點H，若EBBCm，問四邊形BCGE的面積是否為定值？如果是，請求出這個定值(用含m的代數(shù)式表示)；如果不是，請說明理由第5題圖6. 類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”(1)如圖，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”請寫出你添加的一個條件；(2)小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形，她的猜想正確嗎？請說明理由；(3)如圖，小紅作了一個RtABC，其中ABC90°，AB2，BC1，并將RtABC沿ABC的平分線BB方向平移得到ABC，連接AA，BC.小紅要使平移后的四邊形ABCA是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離(即線段BB的長)?第6題圖7. (2017江西)我們定義：如圖，在ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(0°180°)得到AB，把AC繞點A逆時針旋轉得到AC，連接BC.當180°時，我們稱ABC是ABC的“旋補三角形”，ABC邊BC上的中線AD叫做ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”特例感知(1)在圖，圖中，ABC是ABC的“旋補三角形”，AD是ABC的“旋補中線”如圖，當ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關系為AD_BC；如圖，當BAC90°，BC8時，則AD長為_猜想論證(2)在圖中，當ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關系，并給予證明拓展應用(3)如圖，在四邊形ABCD中，C90°，D150°，BC12，CD2，DA6.在四邊形內部是否存在點P，使PDC是PAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求PAB的“旋補中線”長；若不存在，說明理由第7題圖答案1. 解：(1)不是理由如下：解方程x2x120，得x14，x23，|x1|x2|432×|3.5|，3.5不是整數(shù)，方程x2x120不是“偶系二次方程”；(2)存在理由如下：方程x26x270，x26x270是“偶系二次方程”，假設cmb2n，當b6，c27時，有2736mn，x20是“偶系二次方程”，n0，m，cb2.又x23x0也是“偶系二次方程”，當b3時，c×32，可設cb2，對任意一個整數(shù)b，當cb2時，b24acb24c4b2，x，x1b，x2b，|x1|x2|b|b|2|b|.b是整數(shù)，對于任意一個整數(shù)b，存在實數(shù)c，當且僅當cb2時，關于x的方程，x2bxc0是“偶系二次方程”2. 解：(1)yx2x1，y(x)2，二次函數(shù)yx2x1的頂點坐標為(，)，二次函數(shù)yx2x1的一個“反倍頂二次函數(shù)”的頂點坐標為(，)，反倍頂二次函數(shù)的解析式為y(x)2x2x；(2)y1y2x2nxnx2x(n1)x2(n1)x(n1)(x2x)(n1)(x)2，頂點的坐標為(，)，y1y2x2nxnx2x(1n)x2(n1)x(1n)(x2x)(1n)(x)2，頂點的坐標為(，)，由于函數(shù)y1y2恰是y1y2的“反倍頂二次函數(shù)”，則2×，解得n.3. 解：(1)y2x3；【解法提示】令xx得y2x3.(2)yx23x5；【解法提示】令xx得yx23x5.(3) 如解圖，作CCx軸，BBx軸，AAx軸垂足分別為C、B、A，第3題解圖設點B(m，)，A(n，)，其中m0，n0，由題意，將x1代入y中解得y2，點C(1，2)，CC2，BB ，AA ，又ABnm，BCm1，CCBBAA，CBAB12, 則BCAB12，則，消去n化簡得到3m22m30, 解得m或(舍棄)， ，點B坐標為(，)4. 解：(1)根據(jù)題意，得OP32OP24OP18OP08, 根據(jù)等腰直角三角形的性質，得P3(4，4); (2)由題意知，旋轉8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉中，點分別落在坐標象限的角平分線上或x軸或y軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，各點的“絕對坐標”可分三種情況：當Pn的n0，4，8，12，則點在x軸上，則“絕對坐標”為(2n，0) ，當Pn的n2，6，10，14，則點在y軸上，則“絕對坐標”為(0，2n) ；當Pn的n1，3，5，7，9，則點在各象限的角平分線上，則“絕對坐標”為(2n1，2n1)考向2幾何類針對演練1. 解：(1)ABCD1，ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，又ABBC，ABCD是菱形又ABC90°，四邊形ABCD為正方形，BD；如解圖，連接AC，BD，第1題解圖ABBC，ACBD，ABDCBD，又BDBD，ABDCBD，ADCD；(2)若EF與BC垂直，則AEEF，BFEF，四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合條件；若EF與BC不垂直，當AEAB時，如解圖，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，第1題解圖AEAB5；當BFAB時，如解圖，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，第1題解圖BFAB5.DEBF，PEDPFB，DE2.5，AE92.56.5.綜上所述，AE的長為5或6.5.2. 解：(1)三角形的一邊與矩形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上；(2)2；【解法提示】如解圖的矩形BCAF、矩形ABED為RtABC的兩個“友好矩形”；第2題解圖 (3)此時共有3個“友好矩形”，如解圖的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK，其中的矩形ABHK的周長最小理由如下：矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK均為ABC的“友好矩形”，這三個矩形的面積相等，令其為S，設矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK的周長分別為L1，L2，L3，ABC的邊長BCa，CAb，ABc，則L12a，L22b，L32c，L1L2(2a)(2b)(ba)2(ab)2(ab)·，而abS，ab，L1L20，即L1L2，同理可得，L2L3，L3最小，即矩形ABHK的周長最小3. 解：(1)矩形；【解法提示】平行四邊形和菱形的對角線不相等，矩形的對角線相等，故矩形一定是等角線四邊形垂直；【解法提示】四邊形ABCD是等角線四邊形，ACBD，M、N、P、Q 分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，MNPQAC，PNMQBD，MNPQPNMQ，四邊形MNPQ是菱形，根據(jù)“有一個角是直角的菱形是正方形”可知需要四邊形MNPQ有一個角是直角，又易知MNPQAC，PNQMBD，要使四邊形MNPQ是正方形需要ACBD.(2)32；ADBD，D在AB的垂直平分線上，四邊形ABCD是等角線四邊形，ACBD，在RtABC中，ABC90°，AB4，BC3，AC5，BD5，如解圖，取AB的中點為M，則DMAB，第3題解圖在RtADM中，ADBD5，AMBM2，由勾股定理得DM；S四邊形ABCDSABDSBCDAB·DMBC·BM×4××3×232；四邊形ABED面積最大值為18，理由如下：如解圖，設AE與BD交于點O，夾角為，則第3題解圖S四邊形ABEDSAEDSABEAE·ODsinAE·OBsinAE·BDsin，AEBD，S四邊形ABEDAE2sin，當AE最大，且90°時，四邊形ABED的面積最大，此時延長AC交圓C于E，則AE最大為516，四邊形ABED的最大面積為×6218.4. (1)證明：如解圖所示，第4題解圖PCBC，BCP90°，BPBC，又矩形ABCD為“標準矩形”，ABBC，ABBP；(2)解：如解圖，作點Q關于直線BC對稱的點F，連接AF交BC于點E，連接QE、GF，第4題解圖DQCP，CQDPCF且AQ為定值，EQEF，GQGF，AQ為定值，要使AGQ的周長最小時，只需AGGQAGGF最小，顯然AGGFAFAEEFAEEQ，即當點G與點E重合時，AGQ的周長最小，此時，11，當AGQ的周長最小時，1；(3)證明：如解圖，MN交AF于點K，連接KT，第4題解圖由(2)可知，CFDP，PFAB且PFAB，四邊形ABFP為平行四邊形，又由PMBN，MFAN，MFKNAK，點K為AF與MN的中點，又點T為BF的中點，KT為FAB的中位線，SFKTSTMKSTKN，SMNT2SFKTSFABS平行四邊形ABFP×，MNT的面積S為定值，這個定值為.5. 解：(1)如解圖，設AC與BD交于點O；第5題解圖ABAD，A60°，ABD是等邊三角形，ABADBD4, ABDADB60°，ABCADC，CBD CDB，BCD120°，CBDCDB30°，CBCD，ABAD，ACBD，BOOD2，OAAB·sin60°2，OCOB·tan30°，S四邊形ABCD·BD·OA·BD·OC·BD·(OAOC)；(2)；【解法提示】如解圖，作DHAB于H，過點B、D、C作圓，連接BD，第5題解圖CC45°，當CBCD時，BDC的面積最大，此時四邊形ABCD的面積最大，易證四邊形ABCD是菱形，在RtAHD中，A45 °，AHD90°，AD4，AHHD2，四邊形ABCD的面積AB·DH8，四邊形ABCD的面積的最大值為8.(3)四邊形BCGE的面積是定值，理由如下：如解圖，連接EC、CF，作FMBC于M.第5題解圖在BCE和DCF中，BCEDCF(SAS)，CECF，EGGF，SECGSFCG，四邊形CDFM是矩形，BCDCMF，DFBECM，BMm，BEFMm，F(xiàn)CM，DCF，BCE的面積相等，S四邊形BCGE·S四邊形BEFM··m·mm2.6. 解：(1)ABBC或BCCD或CDAD或ADAB；(2)解：小紅的結論正確理由如下：四邊形的對角線互相平分，這個四邊形是平行四邊形，四邊形是“等鄰邊四邊形”，這個四邊形有一組鄰邊相等，這個“等鄰邊四邊形”是菱形；(3)由ABC90°，AB2，BC1，得：AC，將RtABC平移得到RtABC，BBAA，ABAB，ABAB2，BCBC1，ACAC，()如解圖，當AAAB時，BBAAAB2；第6題解圖 ()如解圖，當AAAC時，BBAAAC ；第6題解圖()當ACBC時，如解圖，延長CB交AB與點D，則CBAB，第6題解圖BB平分ABC，ABBABC45°，BBDABB45°，BDBD，設BDBDx，則CDx1，BBx，根據(jù)在RtBCD中，BC2CD2BD2即x2(x1)25，解得：x1或x2(不合題意，舍去)，BBx；第6題解圖()當 BCAB2時，如解圖，與()方法同理可得： x或x(舍去)，BBx.故應平移2或或或的距離7. 解：(1)，4；【解法提示】如解圖中，第7題解圖ABC是等邊三角形，ABBCACABAC，DBDC，ADBC，BAC 60°，BACBAC180°，BAC120°，BC30°，ADABBC.如解圖中，第7題解圖BAC90°，BACBAC180°，BACBAC90°，ABAB，AC AC，BAC BAC，BCBC，BDDC，AD BCBC4；(2)猜想：ADBC.理由：如解圖中，延長AD到M，使得ADDM，連接BM，CM，第7題解圖BDDC，AD DM ，四邊形ACMB是平行四邊形，ACBMAC，BACBAC180°， BACABM180°，BACMBA, ABAB，BACABM ，BC AM，ADBC；(3)存在理由：如解圖中，延長AD交BC的延長線于M，作BEAD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作PCD的中線PN，連接DF交PC于O，第7題解圖ADC150°，MDC30°，在RtDCM中，CD2，DCM90°，MDC30°，CM2，DM4，M60°，在RtBEM中，BEM90°，BMBCCM14，MBE30°，EMBM7，DEEMDM3，AD6，AEDE, BEAD，PAPD，PBPC，在RtCDF中，CD2，CF6，CDFCPE60°，易證FCPCFD，CDPF，CDPF，四邊形CDPF是矩形，CDP90°，ADPADCCDP60°，ADP是等邊三角形，APD60°，BPFCPF60°，BPC120°，APDBPC180°，PDC是PAB的“旋補三角形”，在RtPDN中，PDN90°，PDAD6，DN，PN.23