第15講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)考試內(nèi)容考試要求二次函數(shù)的概念一般地，形如 (a，b，c是常數(shù)，a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)其中x是自變量，a、b、c分別為函數(shù)表達(dá)式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項b二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)aa>0a<0bc圖象開口方向拋物線開口向_，并向上無限延伸拋物線開口向_，并向下無限延伸對稱軸直線x直線x頂點坐標(biāo)最值拋物線有最低點，當(dāng)x時，y有最小值，y最小值.拋物線有最高點，當(dāng)x時，y有最大值，y最大值.增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而_；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而_，簡記左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而_；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而_，簡記左增右減2.二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系考試內(nèi)容考試要求字母或代數(shù)式字母的符號圖象的特征bcaa>0開口向_|a|越大開口越 a<0開口向_bb0對稱軸為 軸ab>0(b與a同號)對稱軸在y軸_側(cè).ab<0(b與a異號)對稱軸在y軸 側(cè)cc0經(jīng)過_.c>0與y軸_半軸相交.c<0與y軸 半軸相交b24acb24ac0與x軸有_交點(頂點).b24ac>0與x軸有 不同交點b24ac<0與x軸_交點特殊關(guān)系若abc>0，即當(dāng)x1時，y_0.若abc<0，即當(dāng)x1時，y_0.3.確定二次函數(shù)的解析式考試內(nèi)容考試要求方法適用條件及求法c一般式若已知條件是圖象上的三個點或三對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，則可設(shè)所求二次函數(shù)解析式為_.頂點式若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(最小值)，可設(shè)所求二次函數(shù)為_.交點式若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，可設(shè)所求的二次函數(shù)為 4.二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式之間的關(guān)系考試內(nèi)容考試要求二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)yax2bxc的圖象與 軸的交點的 坐標(biāo)是一元二次方程ax2bxc0的根b二次函數(shù)與不等式拋物線yax2bxc在x軸上方的部分點的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2bxc 0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2bxc 0的解集5.二次函數(shù)圖象常見的變換考試內(nèi)容考試要求平移頂點坐標(biāo)的變化，按照“橫坐標(biāo)加減左右移”、“縱坐標(biāo)加減上下移”的方法進(jìn)行c旋轉(zhuǎn)拋物線關(guān)于原點旋轉(zhuǎn)180°，此時頂點關(guān)于原點對稱，a的符號相反軸對稱拋物線關(guān)于x軸對稱，此時頂點關(guān)于x軸對稱，a的符號相反；拋物線關(guān)于y軸對稱，此時頂點關(guān)于y軸對稱，a的符號不變b考試內(nèi)容考試要求基本思想數(shù)形結(jié)合，從二次函數(shù)的圖象研究其開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、增減性、最值及其圖象的平移變化，到利用二次函數(shù)圖象求解方程與方程組，再到利用圖象求解析式和解決實際問題，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想c1(2015·臺州)設(shè)二次函數(shù)y(x3)24圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標(biāo)可能是()A(1，0) B(3，0) C(3，0) D(0，4)2(2017·金華)對于二次函數(shù)y(x1)22的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是()A對稱軸是直線x1，最小值是2B對稱軸是直線x1，最大值是2C對稱軸是直線x1，最小值是2D對稱軸是直線x1，最大值是23(2017·寧波)拋物線yx22xm22(m是常數(shù))的頂點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4(2016·舟山)把拋物線yx2先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后拋物線的表達(dá)式是_5(2015·甘孜州)若二次函數(shù)y2x2的圖象向左平移2個單位長度后，得到函數(shù)y2(xh)2的圖象，則h_【問題】如圖是yax2bxc(a0)的圖象，且點A(1，0)，B(3，0)(1)你能從圖象中想到哪些二次函數(shù)性質(zhì)；(2)若點C為(0，3)，你又能得到哪些結(jié)論【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)類型一二次函數(shù)的解析式(1)已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，8)，且過點(0，6)，則該拋物線的表達(dá)式為_；(2)已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過A(1，1)、B(0，2)、C(1，3)；則二次函數(shù)的解析式為_；(3)已知拋物線過點A(2，0)，B(1，0)，與y軸交于點C，且OC2.則這條拋物線的解析式為_【解后感悟】解題關(guān)鍵是選擇合適的解析式：當(dāng)已知拋物線上三點求二次函數(shù)的關(guān)系式時，一般采用一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)；當(dāng)已知拋物線頂點坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸及最大或最小值)求關(guān)系式時，一般采用頂點式y(tǒng)a(xh)2k；當(dāng)已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式時，一般采用交點式y(tǒng)a(xx1)(xx2)1 (1)(2017·杭州模擬)如圖，已知拋物線yx2bxc的對稱軸為直線x1，且與x軸的一個交點為(3，0)，那么它對應(yīng)的函數(shù)解析式是_(2)(2017·長春模擬)已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點A，B關(guān)于直線x1對稱，且AB6，頂點在函數(shù)y2x的圖象上，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為_類型二二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)(1)對于拋物線y(x1)24，下列結(jié)論：拋物線的開口向下；對稱軸為直線x1；頂點坐標(biāo)為(1，4)；x1時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x1時，y有最大值是4；當(dāng)y0時，3x1；點A(2，y1)、B(1，y2)在拋物線上，則y1y2.其中正確結(jié)論是_；(2)如圖是二次函數(shù)yax2bxc的圖象，下列結(jié)論：2x1，二次函數(shù)yax2bxc的最大值為4，最小值為0；使y3成立的x的取值范圍是x0；一元二次方程ax2bxc0的兩根為x13，x21；一元二次方程ax2bxc30的兩根為x12，x20；當(dāng)二次函數(shù)的值大于一次函數(shù)yx3的值時，x取值范圍是1x0.其中正確結(jié)論是_【解后感悟】解題關(guān)鍵是正確把握解析式的特點、圖象的特點、二次函數(shù)的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合2 (1)二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，下列說法：2ab0；當(dāng)1x3時，y<0；若(x1，y1)、(x2，y2)在函數(shù)圖象上，當(dāng)x1<x2時，y1<y2；9a3bc0；4a2bc0.其中正確的是_(2)(2015·杭州)設(shè)函數(shù)y(x1)(k1)x(k3)(k是常數(shù))當(dāng)k取1和2時的函數(shù)y1和y2的圖象如圖所示，請你在同一直角坐標(biāo)系中畫出當(dāng)k取0時函數(shù)的圖象；根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的一條結(jié)論；將函數(shù)y2的圖象向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)y3的圖象，求函數(shù)y3的最小值類型三二次函數(shù)的圖象變換已知拋物線y2(x4)21.(1)將該拋物線先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后所得拋物線的解析式為_；(2)將該拋物線關(guān)于x軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為_(3)將該拋物線繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是_【解后感悟】平移的規(guī)律：左加右減，上加下減；對稱的規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的兩點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的兩點縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的兩點橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)；旋轉(zhuǎn)的規(guī)律：旋轉(zhuǎn)后的拋物線開口相反，頂點關(guān)于旋轉(zhuǎn)點對稱3(1)(2017·紹興)矩形ABCD的兩條對稱軸為坐標(biāo)軸，點A的坐標(biāo)為(2，1)一張透明紙上畫有一個點和一條拋物線，平移透明紙，使這個點與點A重合，此時拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2，再次平移透明紙，使這個點與點C重合，則該拋物線的函數(shù)表達(dá)式變?yōu)?)Ayx28x14 Byx28x14Cyx24x3 Dyx24x3(2)(2017·鹽城)如圖，將函數(shù)y(x2)21的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點A(1，m)，B(4，n)平移后的對應(yīng)點分別為點A、B.若曲線段AB掃過的面積為9(圖中的陰影部分)，則新圖象的函數(shù)表達(dá)式是()Ay(x2)22 By(x2)27Cy(x2)25 Dy(x2)24類型四二次函數(shù)的綜合問題如圖，拋物線yx22xc與x軸交于A，B兩點，它們的對稱軸與x軸交于點N，過頂點M作MEy軸于點E，連結(jié)BE交MN于點F. 已知點A的坐標(biāo)為(1，0)(1)求該拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)；(2)求EMF與BNF的面積之比【解后感悟】拋物線與x軸的交點問題；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法的應(yīng)用；曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；相似三角形的判定和性質(zhì)4 (1)(2016·長春)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C的坐標(biāo)為(4，3)，D是拋物線yx26x上一點，且在x軸上方，則BCD面積的最大值為_(2) (2015·湖州)如圖，已知拋物線C1ya1x2b1xc1和C2ya2x2b2xc2都經(jīng)過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一個交點分別為M、N，如果點A與點B，點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱，則拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是 和 .類型五二次函數(shù)的應(yīng)用(2017·杭州模擬)九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，得到某種運動服每月的銷量與售價的相關(guān)信息如下表：售價(元/件)100110120130月銷量(件)200180160140已知該運動服的進(jìn)價為每件60元，設(shè)售價為x元(1)請用含x的式子表示：銷售該運動服每件的利潤是_元；月銷量是_件；(直接填寫結(jié)果)(2) 設(shè)銷售該運動服的月利潤為y元，那么售價為多少時，當(dāng)月的利潤最大，最大利潤是多少？【解后感悟】此題是二次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題意，列出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵5(2017·重慶模擬)我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm(鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同)，建立直角坐標(biāo)系如圖1所示(圖2是備用圖)，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2.(1)求C1和C2的解析式；(2)如果炒菜鍋里的水位高度是1dm，求此時水面的直徑；(3)如果將一個底面直徑為3dm，高度為3dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由【探索研究題】如圖，一段拋物線：yx(x3)(0x3)，記為C1，它與x軸交于點O，A1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點A3；如此進(jìn)行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段拋物線C13上，則m_【方法與對策】本題是數(shù)形規(guī)律探究能力圖形類規(guī)律探索題，通常先把圖形型問題轉(zhuǎn)化為數(shù)字型問題，再從數(shù)字的特點來尋找規(guī)律，解題關(guān)鍵從操作中前面幾個點的坐標(biāo)位置變化，猜想、歸納出一般變化規(guī)律該題型是圖形變換和規(guī)律的探究題，是中考命題方向【配方漏括號】用配方法求二次函數(shù)yx2x圖象的頂點坐標(biāo)及對稱軸參考答案第15講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【考點概要】1yax2bxc上下減小增大增大減小 2.上下小y左右原點正負(fù)唯一兩個沒有><3.yax2bxcya(xm)2kya(xx1)(xx2)4.x橫><【考題體驗】1B2.B3.A4.y(x2)235.2【知識引擎】【解析】(1)對稱軸是直線x1等；(2)當(dāng)x1時，y的最小值為4等【例題精析】例1(1)y2(x1)28；(2)yx22x2；(3)yx2x2或yx2x2例2(1)；(2)例3(1)y2x21；(2)y2(x4)21；(3)y2(x4)21例4(1)點A在拋物線yx22xc上，(1)22·(1)c0，解得：c3，拋物線的解析式為yx22x3.yx22x3(x1)24，拋物線的頂點M(1，4)；(2)A(1，0)，拋物線的對稱軸為直線x1，點B(3，0)EM1，BN2.EMBN，EMFBNF. 例5(1)(x60)；(2x400)(2)依題意可得：y(x60)×(2x400)2x2520x240002(x130)29800，當(dāng)x130時，y有最大值9800.所以售價為每件130元時，當(dāng)月的利潤最大為9800元【變式拓展】1(1)yx22x3(2)yx2x2(1)(2)根據(jù)題意可得函數(shù)圖象為：圖象都經(jīng)過點(1，0)和點(1，4)；圖象總交x軸于點(1，0)；k取0和2時的函數(shù)圖象關(guān)于點(0，2)成中心對稱；平移后的函數(shù)y3的表達(dá)式為：y3(x3)22，當(dāng)x3時，函數(shù)y3的最小值為2.3. (1)A(2)D4. (1)15(2)yx22xyx22x5.(1)由于拋物線C1、C2都過點A(3，0)、B(3，0)，可設(shè)它們的解析式為：ya(x3)(x3)；拋物線C1還經(jīng)過D(0，3)，則有：3a(03)(03)，解得：a，即：拋物線C1：yx23(3x3)；拋物線C2還經(jīng)過C(0，1)，則有：1a(03)(03)，解得：a，即：拋物線C2：yx21(3x3)(2)當(dāng)炒菜鍋里的水位高度為1dm時，y2，即x232，解得：x±，此時水面的直徑為2dm.(3)鍋蓋能正常蓋上，理由如下：當(dāng)x時，拋物線C1：y×3，拋物線C2：y×1，而3，鍋蓋能正常蓋上【熱點題型】【分析與解】C1：yx(x3)(0x3)C2：y(x3)(x6)(3x6)C3：y(x6)(x9)(6x9)C4：y(x9)(x12)(9x12)C13：y(x36)(x39)(36x39)，當(dāng)x37時，y2，所以，m2.【錯誤警示】yx2x(x24x3)(x2)21(x2)2，該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(2，)，對稱軸是直線x2.13