專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計(jì)算與證明類型一 特殊平行四邊形的閱讀理解問(wèn)題1. 閱讀下列材料：我們定義：若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則稱這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形如正方形就是和諧四邊形.結(jié)合閱讀材料，完成下列問(wèn)題：（1）下列哪個(gè)四邊形一定是和諧四邊形（ ）A 平行四邊形 B 矩形C 菱形 D 以上答案都不對(duì)（2）如圖，等腰RtABD中，BAD=90°. 若點(diǎn)C為平面上一點(diǎn)，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，請(qǐng)直接寫(xiě)出ABC的度數(shù).2 一張長(zhǎng)方形紙片，剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)長(zhǎng)方形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形 如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形（1）判斷與操作：如圖2，矩形ABCD長(zhǎng)為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫(huà)出裁剪線；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）探究與計(jì)算：已知矩形ABCD的一邊長(zhǎng)為20，另一邊長(zhǎng)為a（a20），且它是3階奇異矩形，請(qǐng)畫(huà)出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫(xiě)出a的值 3. 如圖，ABC中，已知BAC45°，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的長(zhǎng).小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題.請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問(wèn)題：（1）分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫(huà)出ABD、ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，求證：四邊形AEGF是正方形；（2）設(shè)AD=x，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.類型二 特殊平行四邊形的探究性問(wèn)題4. 如圖，ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交ACB內(nèi)角平分線CE于點(diǎn)E（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想ABC的形狀并證明你的結(jié)論.5. 翻閱第四章同步，我們?cè)鲞^(guò)以下題目：在此基礎(chǔ)上，思考并解答以下新問(wèn)題：（1）當(dāng)BAC60°時(shí)，四邊形ADEF是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）當(dāng)ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.6. 如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連結(jié)BE，DG，觀察猜想BE與DG之間的大小關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想.7 如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AFBE（1）求證：AF=BE；（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MPNQMP與NQ是否相等？并說(shuō)明理由8. 如圖，ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連結(jié)EF，AEF、CFE的平分線交于點(diǎn)G，BEF、DFE的平分線交于點(diǎn)H.（1）求證：四邊形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過(guò)G作MNEF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，過(guò)H作PQEF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP，此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，請(qǐng)?jiān)谙铝锌蛑醒a(bǔ)全他的證明思路.由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證?荀MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件 ，MNEF，故只要證GM=FQ，即證MGEQFH，易證 、 . 故只要證MGE=QFH，易證MGE=GEF，QFH=EFH， ，即可得證.參考答案專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計(jì)算與證明1. （1）C （2）等腰RtABD中，BAD=90°，AB=AD. AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，分三種情況討論：若AD=CD，如圖1，則凸四邊形ABCD是正方形，ABC=90°；若AD=AC，如圖2，則AB=AC=BC，ABC是等邊三角形，ABC=60°；若AC=DC，如圖3，則可求得ABC=150°.2. （1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：（2）裁剪線的示意圖如下：3. （1）證明：由題意可得：ABDABE，ACDACF DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45°，EAF=90° 又ADBC，E=ADB=90°，F(xiàn)=ADC=90° 四邊形AEGF是矩形，又AE=AD，AF=AD，AE=AF 矩形AEGF是正方形（2）設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x BD=2，DC=3，BE=2，CF=3，BG=x-2，CG=x-3，在RtBGC中，BG2+CG2=BC2，（x-2）2+（x-3）2=52 化簡(jiǎn)得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍去），所以AD=x=64. （1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形 如圖AO=CO，EO=FO，四邊形AECF為平行四邊形，設(shè)ABC的外角為ACG，CE平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=×180°=90°，四邊形AECF是矩形；（3）ABC是直角三角形，四邊形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90°，MNBC，BCA=AOM，BCA=90°，ABC是直角三角形5. （1）不是，此時(shí)FAD180°，四邊形ADEF將變成一線段；（2）當(dāng)ABC滿足ABAC且BAC60°時(shí)，四邊形ADEF是菱形，理由略；（3）當(dāng)ABC滿足BAC150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形，理由略；（4）當(dāng)ABC滿足ABAC且BAC150°時(shí)，四邊形ADEF是正方形，理由略.6. BE=GD，BEDG，延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)H，先證BCEDCG，得BE=DG，CDG=EBC. CDG+CGD=90°，CGD+EBC=90°，GHB=90°，BEGD.7. （1）在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90°，DAF+BAF=90°，AFBE，ABE+BAF=90°，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF，ABAD，BAED，ABEDAF（ASA），AF=BE；（2）MP與NQ相等理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AFMP交CD于F，過(guò)點(diǎn)B作BENQ交AD于E，ABCD，ADBC，四邊形AMPF與四邊形BNQE是平行四邊形，AF=PM，BE=NQ，在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90°，DAF+BAF=90°，AFBE，ABE+BAF=90°，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF，ABAD，BAED，ABEDAF（ASA），AF=BE，MP=NQ8. （1）證明：EH平分BEF，F(xiàn)EH=BEF，F(xiàn)H平分DFE，EFH=DFE，ABCD，BEF+DFE=180°，F(xiàn)EH+EFH=（BEF+DFE）=×180°=90°，F(xiàn)EH+EFH+EHF=180°，EHF=180°-（FEH+EFH）=180°-90°=90，同理可得：EGF=90°，EG平分AEF，GEF=AEF，EH平分BEF，F(xiàn)EH=BEF，點(diǎn)A、E、B在同一條直線上，AEB=180°，F(xiàn)EG+FEH=（AEF+BEF）=×180°=90°，即GEH=90°，四邊形EGFH是矩形；（2）答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件FG平分CFE，MNEF，故只要證GM=FQ，即證MGEQFH，易證GE=FH，GME=FQH，故只要證MGE=QFH，易證MGE=GEF，QFH=EFH，GEF=EFH，即可得證.7